Topologie
D'Topologie (gr. τόπος, 'Plaz', and λόγος, 'Léier') ass e Gebitt vun der Mathematik, dat sech mat Eegenschafte vu geometreschen Objeten befaasst, déi ënner kontinuéierlechen Deformatiounen onverännert bleiwen.
De Begrëff Topologie gouf fir d'éischt ëm 1840 vum Johann Benedict Listing gebraucht.
Grondbegrëffer
Topologesche Raum
En topologesche Raum ass duerch en Tupel definéiert, wou e belibegen net eidelen Ensembel ass an en Ensembel vu Sousensemble vun mat gewëssenen Eegenschaften. D'Elementer vun nennt een oppe Sousensemble vun a se musse follgend Axiomer erfëllen:
- Den eidelen Ensembel an selwer sinn oppen.
- D'Unioun vu belibeg villen oppenen Ensemblen ass oppen.
- De Schnëtt vun endlech villen oppenen Ensemblen ass oppen.
D'Komplement vun engem oppenen Ensembel ass en zouenen Ensembel. En Ensembel deen opp an zou ass nennt een zoppen[Source?].
Wann e belibege Sousensembel ass, dann nennt een d'Clôture vun dee klengsten zouenen Ensembel, deen enthält, an dat Bannescht vun dee gréissten oppenen Ensembel, deen an enthalen ass. D'Differenz vun deenen zwee nennt een de Bord vun . Dat Baussecht vun ass d'Komplement vun der Clôture, also .
Kontinuéierlech Funktiounen
Eng Funkioun tëscht topologesche Raim an ass kontinuéierlech, wann d'Urbild vun all oppenem Ensembel an en oppenen Ensembel an ass. Wann bijektiv ass an den Inverse och kontinuéierlech ass, dann nennt een en Homeomorphismus, an an sinn dann homeomorph.
Konvergenz
An engem topologesche Raum kann ee Konvergenz definéieren. Eng Suite an engem topologesche Raum konvergéiert géint eng Limitt , wann et fir all oppenen Ensembel , deen enthält, eng Zuel gëtt, soudatt fir all gëllt, dass . A Wierder seet een, dass fir all Ëmgebung vun d'Suite iergendwann an läit.
Metresch Raim
All metresche Raum huet eng induzéiert Topologie, där hir oppen Ensemblen Unioune vun oppene Bäll sinn. Eng Topologie, déi vun iergendenger Metrik induzéiert gëtt, nennt ee metresch Topologie. D'Konvergenz am Sënn vun der Metrik ass dann equivalent zur Konvergenz am Sënn vun der induzéierter Topologie.
Mannifalten
Topologesch Raim kënnen enorm pathologesch[onkloer] sinn, z. B. dem Alexander seng behaarte Sphär. Par conter hu Mannifalten, wéi z. B. d'Sphär, den Torus oder d'Klein-Fläsch, vill méi agreabel Eegenschaften.
Deelgebitter
An der allgemenger Topologie ginn topologesch Raim a kontinuéierlech Funktiounen ënnersicht. Wichtegt Konzepter si Limitten a Konvergenzen.
An der Differentialtopologie geet et ëm topologesch Eegenschafte vu Mannifalten an hiren Abettungen.
An der algebrescher Topologie definéiert een algebresch Invariante vun topologesche Raim, z. B. d'Fundamentalgrupp. Domat kann ee weisen, datt zwéi Raim net homeomorph sinn.
Um Spaweck
Commons: Topologie – Biller, Videoen oder Audiodateien |