Виетова формула

Виетова формула — формула во математиката именувана по францускиот математичар Франсоа Виет. Тоа е следнава претстава на математичката константа πぱい во форма на бесконечен производ:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$

Изразот од десната страна на равенката треба да се толкува како гранична вредност

$\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}={\frac {2}{\pi }}$

каде $a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}$ со почетен услов $a_{1}={\sqrt {2}}$ .

По средувањето, можно е да се добие формулата за <span typeof="mw:Entity" id="mwGA">πぱい</span> во облик:

$\lim _{\mathbf {n} \to \infty }2^{\mathbf {n} +1}{\sqrt {2-\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{\mathbf {n} }}}\;=\;\pi$ .

Доказ

Со користење на формулата за синус на двоен агол:

$\,\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x$

прво треба да се докаже еднаквоста:

${{\sin(2^{n}x)} \over {2^{n}\sin x}}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos(2^{i}x)$

што важи за сите позитивни цели броеви n. Ако претпоставиме дека x = y/2ⁿ и ако двете страни на равенката се поделени со cos (y/2) се добива:

${{\sin y} \over {\cos({y \over 2})}}\cdot {1 \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).$

Со повторна употреба на формулата за синус на двоен агол sin y = 2sin(y/2) cos(y/2) добиваме:

${{2\sin({y \over 2})} \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).$

Ако го замениме y со πぱい ја добиваме еднаквоста:

${2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=2}^{n}\cos \left({\pi \over {2^{i}}}\right)\ .$

Останува да се поврзат факторите од десната страна на оваа равенка со соодветниот a_n. Ако сега се користи формулата за косинус на половина агол,

$2\cos(x/2)={\sqrt {2+2\cos x}},$

се добива дека $b_{i}=2\cos \left({\pi \over {2^{i+1}}}\right)$ ја задоволува рекурзивната врска $\,b_{i+1}={\sqrt {2+b_{i}}}$ со почетна состојба $b_{1}=2\cos \left({\pi \over 4}\right)={\sqrt {2}}=a_{1}$. Затоа a_n = b_n за сите позитивни цели броеви n.

Виетовата формула тогаш се добива кога ќе претпоставиме дека n → ∞. Овде треба да се забележи дека:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}={2 \over \pi }$

како последица на фактот што $\lim _{x\rightarrow 0}\,{x \over {\sin x}}=1$ (ова следи од Лопиталовото правило).

Надворешни врски

• Формули за бројот пи