Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
De tangensregel is een stelling uit de goniometrie die stelt dat in een willekeurige driehoek in het platte vlak met zijden
a
,
b
{\displaystyle a,\ b}
en
c
{\displaystyle c}
en de overstaande hoeken
α あるふぁ
,
β べーた
{\displaystyle \alpha ,\beta }
en
γ がんま
{\displaystyle \gamma }
geldt, dat:
a
−
b
a
+
b
=
tan
1
2
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
tan
1
2
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}}
In de zeventiende eeuw werd de tangensregel bewezen met meetkunde[ 1] :, vanaf de negentiende eeuw met goniometrische verbanden.
Omdat:
tan
1
2
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
=
tan
1
2
(
180
∘
−
γ がんま
)
=
tan
(
90
∘
−
1
2
γ がんま
)
=
cot
1
2
γ がんま
{\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )=\tan {\tfrac {1}{2}}(180^{\circ }-\gamma )=\tan(90^{\circ }-{\tfrac {1}{2}}\gamma )=\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }
kan de tangensregel ook worden geschreven als:
a
−
b
a
+
b
=
tan
1
2
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
cot
1
2
γ がんま
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }}}
Bewijs
Volgens de sinusregel is:
a
sin
α あるふぁ
=
b
sin
β べーた
=
k
(
k
≠
0
)
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}=k\;(k\neq 0)}
Dus:
a
=
k
⋅
sin
α あるふぁ
{\displaystyle a=k\cdot \sin \alpha }
en
b
=
k
⋅
sin
β べーた
{\displaystyle b=k\cdot \sin \beta }
, waarmee:
a
−
b
a
+
b
=
k
⋅
sin
α あるふぁ
−
k
⋅
sin
β べーた
k
⋅
sin
α あるふぁ
+
k
⋅
sin
β べーた
=
sin
α あるふぁ
−
sin
β べーた
sin
α あるふぁ
+
sin
β べーた
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {k\cdot \sin \alpha -k\cdot \sin \beta }{k\cdot \sin \alpha +k\cdot \sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}}
De som- en verschilregel voor sinussen, dat zijn twee van de vier regels van Simson , zijn:
sin
α あるふぁ
±
sin
β べーた
=
2
sin
1
2
(
α あるふぁ
±
β べーた
)
⋅
cos
1
2
(
α あるふぁ
∓
β べーた
)
{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm \beta )\cdot \cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha \mp \beta )}
Daarmee is dan:
a
−
b
a
+
b
=
sin
1
2
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
⋅
cos
1
2
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
sin
1
2
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
⋅
cos
1
2
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
=
sin
1
2
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
cos
1
2
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
:
sin
1
2
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
cos
1
2
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\cdot \cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\cdot \cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}:{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}}
Zodat inderdaad:
a
−
b
a
+
b
=
tan
1
2
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
tan
1
2
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}}
Bronnen, noten en/of referenties
↑ H. Hietbrink, tangensregel, Pythagoras 60-6, juni 2021