正接せいせつ定理ていり

三角さんかく法ほうにおける正接せいせつ定理ていり（せいせつていり）とは、三角形さんかっけいの2つの角かくと2つの辺あたりの関係かんけいを示しめした定理ていりである。

公式こうしき[編集へんしゅう]

図ず1 において以下いかの式しきが成なり立たつ。

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.

正接せいせつ定理ていりは正弦せいげん定理ていりや余弦よげん定理ていりほど一般いっぱん的てきではないが、三角形さんかっけいの2つの角かくと2辺へんの長ながさのうちどれか1つが不明ふめいの場合ばあいは正弦せいげん定理ていりの代かわりにこの定理ていりを使用しようしても残のこりの値ねを出だすことができる。

球面きゅうめん上じょうの三角形さんかっけいにおける正接せいせつ定理ていりは、13世紀せいきにナスィールッディーン・トゥースィーが著書ちょしょ Treatise on the Quadrilateral で言及げんきゅうしている^[1]^[2]。

証明しょうめい[編集へんしゅう]

この定理ていりの証明しょうめいは、正弦せいげん定理ていりから始はじまる。

d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}

と置おく。変形へんけいすると

a=d\sin \alpha

および

b=d\sin \beta

となる。

定理ていりの左辺さへんに代入だいにゅうする。

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.

ここで、以下いかの和かず積つもる公式こうしきを使用しようする。

\sin {\alpha }\pm \sin {\beta }=2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}

最終さいしゅう的てきに以下いかのようになる。

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad \blacksquare

この証明しょうめいを変形へんけいして以下いかの式しきを導みちびくことができる。

\tan {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}

正接せいせつ定理ていりは、三角形さんかっけいの2辺へん a, b とその間あいだの角かく $\gamma$ が与あたえられているときに他たの辺あたりと角かくの値ねを求もとめるために使用しようできる。 $\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\cot[{\frac {\gamma }{2}}]$ より $\alpha -\beta$ を求もとめることができ、 $\alpha +\beta =180^{\circ }-\gamma$ も分わかるので角かくの値ねを求もとめることができる。残のこった辺あたり c の値ねは正弦せいげん定理ていりなどで出だすことができる。余弦よげん定理ていりを使用しようして $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$ とすることもできるが、コンピューターで計算けいさんする場合ばあいには $\gamma$ が0に近ちかく $a$ と $b$ もほぼ等ひとしいときに桁けた落おちの危険きけん性せいがあるため正接せいせつ定理ていりのほうが都合つごうがよい。