正弦せいげん定理ていり

正弦せいげん定理ていり（せいげんていり、英えい:law of sines）とは三角形さんかっけいの内角ないかくの正弦せいげん（サイン）とその対辺たいへんの長ながさの関係かんけいを示しめしたものである。正弦せいげん法則ほうそくともいう。多おおくの場合ばあい、平面へいめん三角さんかく法ほうにおける定理ていりを指さすが、球面きゅうめん三角さんかく法ほうなどでも類似るいじの定理ていりが知しられており、同おなじように正弦せいげん定理ていりと呼よばれている。

概要がいよう

△ABC において、BC = a, CA = b, AB = c, 外接がいせつ円えんの半径はんけいを R とすると、

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R$

が成なり立たつという定理ていりである。これより一いち辺へんとその両りょう端はしの角かくから他ほかの二に辺へんが分わかり、三角さんかく測量そくりょうの基礎きそとなっている定理ていりである。

これは A, B, C に関かんして対等たいとうな表現ひょうげんであるから、その内うちの1つだけを取とり出だした

${\frac {a}{\sin A}}=2R$ あるいは ${a}=2R{\sin A}$

を正弦せいげん定理ていりであると表現ひょうげんすることもできる。

証明しょうめい

以下いかの証明しょうめいでは角度かくどは弧こ度ど法ほうで表あらわしている。なお πぱい = 180°である。

0 < ∠A < πぱい/2 のとき

直径ちょっけい BD を取とる。

円周えんしゅう角かくの定理ていりより ∠A = ∠D である。

△BDC において、BD は直径ちょっけいだから、

${\text{BD}}=2R,\angle {\text{BCD}}={\frac {\pi }{2}}$

である。よって、正弦せいげんの定義ていぎより、

$\sin D={\frac {a}{2R}}$

である。ゆえに

$\sin A=\sin D={\frac {a}{2R}}$

変形へんけいすると

${\frac {a}{\sin A}}=2R$

が得えられる。∠B, ∠C についても同様どうように示しめされる。

∠A = πぱい/2 のとき

BC = a = 2R であり、

$\sin A=\sin {\frac {\pi }{2}}=1$

であるから、

${\frac {a}{\sin A}}=2R$

は成なり立たつ。

πぱい/2 < ∠A < πぱい のとき

直径ちょっけい BD を取とる。

円えんに内接ないせつする四角形しかっけいの性質せいしつから、

$\angle {\text{D}}=\pi -\angle {\text{A}}$

である。つまり、

$\sin A=\sin D$

となる。 BD は直径ちょっけいだから、

${\text{BD}}=2R,\angle {\text{BCD}}={\frac {\pi }{2}}$

である。よって、正弦せいげんの定義ていぎより、

$\sin A=\sin D={\frac {a}{2R}}$

である。変形へんけいすると

${\frac {a}{\sin A}}=2R$

が得えられる。∠B, ∠C についても同様どうように示しめされる。

以上いじょうより正弦せいげん定理ていりが成なり立たつ。

また、逆ぎゃくに正弦せいげん定理ていりを仮定かていすると、「円周えんしゅう角かくの定理ていり」、「内接ないせつ四角形しかっけいの定理ていり」（円えんに内接ないせつする四角形しかっけいの対たい角かくの和わは 180°であるという定理ていり）を導みちびくことができる。

球面きゅうめん三角さんかく法ほうにおける正弦せいげん定理ていり

球面きゅうめん上じょうの三角形さんかっけい ABC において、弧こ BC, CA, AB の長ながさを球たまの半径はんけいで割わったものをそれぞれ a, b, c とすると、

${\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}$

が成なり立たつ。これを球面きゅうめん三角さんかく法ほうにおける正弦せいげん定理ていりと呼よぶ。

関連かんれん項目こうもく

• 三角さんかく関数かんすう
• 余弦よげん定理ていり
• 正接せいせつ定理ていり
• 余よ接せっ定理ていり

外部がいぶリンク

• 世界せかい大だい百科ひゃっか事典じてん 第だい2版はん『正弦せいげん定理ていり』 - コトバンク
• 『正弦せいげん定理ていりの意味いみと6通とおりの証明しょうめい・頻出ひんしゅつの応おう用例ようれい』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり
• Weisstein, Eric W. "Law of Sines". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Russell, Robert A. [in 英語えいご]. "Generalized Law of Sines". mathworld.wolfram.com (英語えいご).