Grupa permutacji

Grupa permutacji – grupa wszystkich permutacji ustalonego zbioru skończonego z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako permutacja odwrotna). Rząd (tj. liczba elementów) grupy permutacji zbioru $n$ -elementowego wynosi $n!$ (zob. silnia).

Grupy permutacji były punktem wyjścia teorii grup: zaczęto je badać w związku z poszukiwaniem ogólnych rozwiązań równań algebraicznych. Grupy symetryczne o więcej niż dwóch elementach nie są przemienne (abelowe), a o więcej niż czterech elementach nie są rozwiązalne: zgodnie z teorią Galois jest to powód, dla którego równania algebraiczne stopnia większego niż cztery nie mają rozwiązań ogólnych (tzw. twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę permutacji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup permutacji dotyczą również dowolnych grup skończonych^[a].

Nazewnictwo i oznaczenia

Grupy permutacji bywają nazywane również grupami symetrycznymi, choć termin ten należy raczej traktować ogólnie; niektóry autorzy^[1] „grupami permutacji” nazywają podgrupy właściwe grupy symetrycznej (tu: wszystkich permutacji danego zbioru). Niekiedy używa się również nazwy grupa bijekcji (funkcji wzajemnie jednoznacznych), jednak zwykle nazwa ta odnosi się do grup przekształceń dowolnych zbiorów (w tym nieskończonych).

Zwykle^[2]^[3]^[4] grupy permutacji zbioru $n$ -elementowego oznacza się symbolem $S_{n};$ grupy bijekcji zbioru $X$ oznaczane są często^[2] $\mathrm {S} (X),$ choć stosuje się też inne oznaczenia, np. $\mathrm {Bij} (X)$ ^[5], $\mathrm {Sym} (X)$ dla grup bijekcji, czy $\Sigma _{n},$ $\Pi (n)$ ^[5] dla grupy permutacji.

Przykłady

Jeśli $X=\varnothing$ jest zbiorem pustym, to istnieje jedno trywialne uporządkowanie tego zbioru: $\varnothing \to \varnothing$ (permutacja pusta). Gdy $X=\{x\}$ jest zbiorem jednoelementowym, to grupa permutacji znowu zawiera wyłącznie tylko permutację trywialną $(x)\mapsto (x).$ Jeżeli $X=\{a,b\}$ jest zbiorem dwuelementowym, to istnieją tylko dwie permutacje tego zbioru: $(a,b)\mapsto (a,b)$ (tożsamość) oraz $(a,b)\mapsto (b,a)$ (transpozycja).

Uwagi

↑ Dotyczy to również ogólnie grup symetrycznych/bijekcji (zob. Nazewnictwo i oznaczenia): wtedy wnioski ich dotyczące rozszerzają się na dowolne grupy (również nieskończone).

Przypisy

↑ Kurosch A.G.: Gruppentheorie. Berlin: Akademie Verlag, 1953, s. 59–62.
↑ ^a ^b Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, wydanie III, s. 35–37. ISBN 83-01-03903-5.
↑ Serge Lang: Algebra, tłum. Ryszard Bittner, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973, s. 70.
↑ Jerzy Browkin, Teoria ciał, Biblioteka Matematyczna, tom 49, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 37 i kolejne.
↑ ^a ^b Komorowski Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 2–3.

Linki zewnętrzne

Paweł Lubowiecki, Struktury algebraiczne cz. III Grupa symetryczna, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Permutation Group, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-10-10].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Symmetric Group, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-05].
Permutation group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].

[1] Dotyczy to również ogólnie grup symetrycznych/bijekcji (zob. Nazewnictwo i oznaczenia): wtedy wnioski ich dotyczące rozszerzają się na dowolne grupy (również nieskończone).

[2] Kurosch A.G.: Gruppentheorie. Berlin: Akademie Verlag, 1953, s. 59–62.

[gleichgewicht-3] Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, wydanie III, s. 35–37. ISBN 83-01-03903-5.

[lang-4] Serge Lang: Algebra, tłum. Ryszard Bittner, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973, s. 70.

[browkin-5] Jerzy Browkin, Teoria ciał, Biblioteka Matematyczna, tom 49, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 37 i kolejne.

[komorowski-6] Komorowski Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 2–3.

[a]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]