Função injectiva

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Uma função injectiva.

Uma função diz-se injectiva (ou injetora) se e somente se quaisquer que sejam $x_{1}$ e $x_{2}$ (pertencentes ao domínio da função), $x_{1}$ é diferente de $x_{2}$ implica que f($x_{1}$) é diferente de f($x_{2}$):

$x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

(Graficamente, uma função f é injectiva se e somente se nenhuma recta horizontal intersecta o seu gráfico em mais do que um ponto.) E REPARAREM QUE ISTO ESTA MAL? CAMBADA DE BURROS! é que é mesmo a definição de NÃO injetiva que está aqui... enganar o pessoal é muito mau!

É importante notar que, neste tipo de função, o contradomínio tem uma cardinalidade sempre maior ou igual à do domínio. Além disso, podem haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função.

Exemplo

• A função $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,$ definida por f(x) = x² não é injectiva, pois f(a) = f(-a). Isto é, o domínio da função admite que dois objectos distintos tenham a mesma imagem. Noutras palavras, podemos supor que existem dois valores diferentes que possam substituir a variável x para que o valor da função f(x) seja igual a 4. Esses valores são 2 e -2.
• A função $f:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )$ definida por f(x) = x² é injectiva, pois implica que f(a) deve ser diferente de f(b), para a diferente de b. Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 4, poderíamos substituir a variável x somente pelo número 2.

Aplicações lineares

Uma transformação linear T:U→V é dita injetora (ou injetiva) se, e somente se, o seu núcleo ker(T) — ou ainda, N(T) — contiver apenas o vetor nulo e, pois, tiver dimensão zero — isto é, dim(ker(T)) = 0.

A demonstração segue adiante:

→ Hipótese: T não é injetora → T(u) = T(v), com u ≠ v, para algum u, v ∈ U.

Das propriedades da transformação linear:

→ T(u) - T(v) = 0 ⇔ T(u-v) = 0

Como u ≠ v ⇔ u - v ≠ 0, então:

→ {u - v} ⊆ ker(T) .:. ker(T) ≠ {0} → dim(ker(T)) > 0.

O caso de T ser injetora é exclusivo e podemos afirmar que se T é injetora ↔ ker(T) = {0} ↔ dim(ker(T)) = 0.

Ver também

• Wikilivros

• Função sobrejectiva
• Função bijectiva
• Teorema da função inversa

Ligações externas

• Aula sobre os tipos de funções