Função injectiva

Uma função injectiva.

Uma função diz-se injectiva (ou injetora) se e somente se quaisquer que sejam $x_{1}$ e $x_{2}$ (pertencentes ao domínio da função), $x_{1}$ é diferente de $x_{2}$ implica que f($x_{1}$) é diferente de f($x_{2}$):

$x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Graficamente, uma função f é injectiva se e somente se nenhuma recta horizontal intersecta o seu gráfico em mais do que um ponto.

É importante notar que, neste tipo de função, o contradomínio tem uma cardinalidade sempre maior ou igual à do domínio. Além disso, podem haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função.

Exemplo

• A função $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,$ definida por f(x) = x² não é injectiva, pois f(a) = f(-a). Isto é, o domínio da função admite que dois objectos distintos tenham a mesma imagem. Noutras palavras, existem dois valores diferentes que possam substituir a variável x para que o valor da função f(x) seja igual a 4. Esses valores são 2 e -2.
• A função $f:[0,+\infty [\rightarrow [0,+\infty [$ definida por f(x) = x² é injectiva, pois implica que f(a) deve ser diferente de f(b), para a diferente de b. Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 4, poderíamos substituir a variável x somente pelo número 2.

Aplicações lineares

• Uma transformação linear T:U→V é dita injetora (ou injetiva) se, e somente se, o seu núcleo ker(T) — ou ainda, N(T) — contiver apenas o vetor nulo e, pois, tiver dimensão zero — isto é, dim(ker(T)) = 0.

A demonstração segue adiante:

→ Hipótese: T não é injetora → T(u) = T(v), com u ≠ v, para algum u, v ∈ U.

Das propriedades da transformação linear:

→ T(u) - T(v) = 0 ⇔ T(u-v) = 0

Como u ≠ v ⇔ u - v ≠ 0, então:

→ {u - v} ⊆ ker(T) .:. ker(T) ≠ {0} → dim(ker(T)) > 0.

O caso de T ser injetora é exclusivo e podemos afirmar que se T é injetora ↔ ker(T) = {0} ↔ dim(ker(T)) = 0.

• Uma transformação linear A:E→F também é dita injetiva se, e somente se, leva vetores L.I em vetores L.I. (LI = linearmente independentes)

Segue a demonstração:

→ Prova da ida:

Hipótese: A é injetiva

Tese: A leva vetores LI em vetores LI.

Se v1, v2, ..., vn ∈ E são linearmente independentes provaremos que A(v1), A(v2), ..., A(vn) ∈ F são linearmente independentes.

Com efeito se αあるふぁ1.A(v1) + αあるふぁ2.A(v2) + ... + αあるふぁn.A(vn) = 0

Usando a linearidade de A:

⇒ A(αあるふぁ1.v1) + A(αあるふぁ2.v2) + ... + A(αあるふぁn.vn) = 0

⇒ A(αあるふぁ1.v1 + αあるふぁ2.v2 + ... + αあるふぁn.vn) = 0

Então temos que αあるふぁ1.v1 + αあるふぁ2.v2 + ... + αあるふぁn.vn pertence ao núcleo de A, e como A é injetiva, Ker(A) = {0}, ou seja,

αあるふぁ1.v1 + αあるふぁ2.v2 + ... + αあるふぁn.vn = 0, como v1, v2, ..., vn são LI tem-se αあるふぁ1 = αあるふぁ2 = ... = αあるふぁn = 0, ou seja A(v1), A(v2), ..., A(vn) são linearmente independentes.

← Prova da volta:

Hipótese: A leva vetores LI em vetores LI.

Tese: A é injetiva.

Sendo v ≠ 0, v ∈ E ⇒ {v} é LI então {A(v)} é LI ⇒ A(v) ≠ 0, portanto Ker(A) = {0} e A é injetiva.

Segue-se desse teorema que se E tem dimensão finita, dim(F) ≥ dim(E), assim por exemplo não existe transformação linear injetiva de R³ em R².

Ver também

• Wikilivros

• Função sobrejetiva
• Função bijectiva
• Teorema da função inversa

Ligações externas

• Aula sobre os tipos de funções