Pi
Za ostala značenja, vidi Pi (razvrstavanje).
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Greek_lc_pi_icon.svg/170px-Greek_lc_pi_icon.svg.png)
Matematička konstanta
Numerička vrednost
- 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923
Važna posledica transcedentnosti ovog broja je činjenica da nije konstruktibilan. Ovo znači da je nemoguće izraziti
Geometrijski oblik | Formula |
---|---|
obim kruga poluprečnika -{r}- i prečnika -{d}- | |
Površina kruga poluprečnika -{r}- | |
Površina elipse sa poluosama -{a}- i -{b}- | |
Zapremina kugle poluprečnika -{r}- | |
Površina kugle poluprečnika -{r}- | |
Zapremina valjka visine -{H}- i poluprečnika -{r}- | |
Površina valjka visine -{H}- i poluprečnika -{r}- | |
Zapremina kupe visine -{H}- i poluprečnika -{r}- | |
Površina kupe visine -{H}- i poluprečnika -{r}- |
Takođe, ugao od 180° (u stepenima) iznosi
Dosta formula u analizi sadrži
- Lajbnicova formula:
- Ovaj često navođeni beskonačni red najčešće se piše u gornjem obliku, dok je tehnički ispravan zapis:
- Integral verovatnoće, poznat iz kalkulusa (vidi takođe i Funkcija greške i Normalna raspodela):
- Bazelski problem, koji je prvi rešio Ojler (vidi takođe i Rimanova zeta-funkcija):
- i, uopšte, je racionalni umnožak broja za svako prirodno n.
- Vrednost Gama-funkcije u tački 1/2:
- Ojlerov identitet (kojeg je Ričard Fejnman nazvao "najizvanrednijom formulom u matematici"):
- Osobina Ojlerove
φ -funkcije:
- Površina jedne četvrtine jediničnog kruga:
- Specijalan slučaj Ojlerove formule za :
- Osnovni slučaj Teoreme o ostacima:
Neki rezultati iz Teorije Brojeva:
- Verovatnoća da su dva slučajno izabrana cela broja uzajamno prosta je 6/
π 2. - Verovatnoća da je slučajno izabran ceo broj beskvadratan je 6/
π 2. - U proseku, broj načina da se dati prirodan broj napiše kao zbir dva savršena kvadrata (redosled sabiraka je bitan) je
π /4.
Ovde, "verovatnoća", "prosek" i "nasumičan" su uzeti u smislu granične vrednosti; tj. posmatra se verovatnoća odgovarajućeg događaja u skupu brojeva -{ {1,2, ... N} }-, a zatim uzima granična vrednost te verovatnoće kada -{N→∞}- (-{N}- je "jako veliko").
U teoriji dinamičkih sistema (vidi takođe ergodička teorija), za skoro svako realno -{x0}- u intervalu [0,1],
gde su -{xi}- iterirane vrednosti logističkog preslikavanja za -{r = 4}-.
U fizici, pojava broja
U verovatnoći i statistici postoji puno raspodela, čiji analitički izrazi sadrže
- Gustina raspodele verovatnoće za normalnu raspodelu sa matematičkim očekivanjem
μ i standardnom devijacijomσ :
- Gustina raspodele verovatnoće za (standardnu) Košijevu raspodelu:
Treba primetiti da se, kako je za svaku Funkciju gustine raspodele verovatnoće -{f(x)}-, pomoću gornjih formula može dobiti još integralnih formula za
Zanimljiva empirijska aproksimacija broja
Simbol "
Evo kratke hronologije broja
Vreme | Osoba | Vrednost (svetski rekordi su masni) |
---|---|---|
20. vek pne. | Vavilonci | 25/8 = 3.125 |
20. vek pne. | Egipatski matematički papirus (Rajndov papirus) | (16/9)² = 3.160493... |
12. vek pne. | Kinezi | 3 |
sredina 6. veka pne. | 1 Kraljevi 7:23 | 3 |
434. pne. | Anaksagora je pokušao da kvadrira krug lenjirom i šestarom | |
3. vek pne. | Arhimed | 223/71 < (3.140845... < |
20. pne. | Vitruvije | 25/8 = 3.125 |
130 | Čang Hong | √10 = 3.162277... |
150 | Ptolomej | 377/120 = 3.141666... |
250 | Vang Fau | 142/45 = 3.155555... |
263 | Liu Hui | 3.14159 |
480 | Zu Čongži | 3.1415926 < |
499 | Arjabhata | 62832/20000 = 3.1416 |
598 | Bramagupta | √10 = 3.162277... |
800 | Muhamed Al Horezmi | 3.1416 |
12. vek | Baskara | 3.14156 |
1220 | Fibonači | 3.141818 |
1400 | Madava | 3.14159265359 |
Svi podaci od 1424. su dati u brojevima tačnih decimalnih mesta (dm). | ||
1424 | Džamšid Masud Al Kaši | 16 dm |
1573 | Valentus Oto | 6 dm |
1593 | Fransoa Vijet | 9 dm |
1593 | Adrijen van Romen | 15 dm |
1596 | Ludolf van Cojlen | 20 dm |
1615 | Ludolf van Cojlen | 32 dm |
1621 | Vilebrord Snel (Snelije), Ludolfov učenik | 35 dm |
1665 | Isak Njutn | 16 dm |
1699 | Abraham Šarp | 71 dm |
1700 | Seki Kova | 10 dm |
1706 | Džon Mejčin | 100 dm |
1706 | Vilijam Džouns uveo grčko slovo ' |
|
1730 | Kamata | 25 dm |
1719 | De Lanji izračunao 127 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna | 112 dm |
1723 | Takebe | 41 dm |
1734 | Leonard Ojler usvojio grčko slovo ' |
|
1739 | Macunaga | 50 dm |
1761 | Johan Hajnrih Lambert dokazao da je |
|
1775 | Ojler ukazao na mogućnost da bi |
|
1789 | Jurij Vega izračunao 140 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna | 137 dm |
1794 | Adrijan-Mari Ležandr pokazao da je i |
|
1841 | Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna | 152 dm |
1844 | Zaharija Daze i Štrasnicki | 200 dm |
1847 | Tomas Klauzen | 248 dm |
1853 | Leman | 261 dm |
1853 | Raderford | 440 dm |
1853 | Vilijam Šenks | 527 dm |
1855 | Rihter | 500 dm |
1874 | Vilijam Šenks je posvetio 15 godina izračunavanju 707 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna (grešku je otkrio D. F. Ferguson 1946. godine) | 527 dm |
1882 | Lindeman dokazao da je |
|
1946 | D. F. Ferguson koristeći stoni kalkulator | 620 dm |
1947 | 710 dm | |
1947 | 808 dm | |
Svi rekordi od 1949. nadalje izračunati su pomoću elektronskih računara. | ||
1949 | DŽ. V. Vrenč, jr. i L. R. Smit bili su prvi koji su koristili elektronski računar (Enijak) da izračunaju |
2,037 dm |
1953 | Maler pokazao da pi; nije Liuvilov broj | |
1955 | DŽ. V. Vrenč, jr. i L. R. Smit | 3,089 dm |
1961 | 100,000 dm | |
1966 | 250,000 dm | |
1967 | 500,000 dm | |
1974 | 1,000,000 dm | |
1992 | 2,180,000,000 dm | |
1995 | Jasumasa Kanada | > 6,000,000,000 dm |
1997 | Kanada i Takahaši | > 51,500,000,000 dm |
1999 | Kanada i Takahaši | > 206,000,000,000 dm |
2002 | Kanada i tim | > 1,240,000,000,000 dm |
2003 | Kanada i tim | > 1,241,100,000,000 dm |
April 2004 | Kanada i tim | 1.3511 bilion cifara ukupno |
Zbog transcedentne prirode broja
Pored toga, sledeća numerička formula daje aproksimaciju
Egipatski pisar po imenu Ahmes je izvor najstarijeg poznatog teksta koji daje približnu vrednost broja
Kineski matematičar Liu Hui je izračunao
Indijski matematičar i astronom Arjabhata dao je preciznu aproksimaciju za
Kineski matematičar i astronom Zu Čongži je izračunao
Iranski matematičar i astronom Gijat ad-din Džamšid Kašani (1350–1439) je izračunao
- 2
π = 6.2831853071795865
Nemački matematičar Ludolf van Cojlen (oko 1600) je izračunao prvih 35 decimala. Bio je tako ponosan na svoje dostignuće da ih je dao urezati u svoj nadgrobni spomenik.
Slovenački matematičar Jurij Vega je 1789. izračunao prvih 140 decimala, od kojih je prvih 137 bilo tačno i držao je svetski rekord 52 godine—sve do 1841—kada je Vilijam Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, od kojih su prva 152 bila tačna. Vega je poboljšao formulu Džona Mejčina iz 1706; njegov metod se spominje i danas.
Nijedna od gore datih formula ne može da posluži kao efikasni način nalaženja približnih vrednosti broja
zajedno sa Tejlorovim razvojem funkcije -{arctan(x)}-. Ova formula se najlakše proverava korišćenjem polarnih koordinata kompleksnih brojeva, krenuvši od:
Formule ove vrste su poznate kao formule slične Mejčinovoj.
Ekstremno dugački decimalni razvoji broja
Prvih milion cifara brojeva
- –K. Takano (1982).
- –F. C. V. Štermer (1896).
Ove približne vrednosti imaju toliko puno cifara da više nemaju nikakvog praktičnog značaja, izuzev za testiranje novih superračunara i (očigledno) za ustanovljavanje novih rekorda u izračunavanju broja
1996. godine Dejvid H. Bejli je, zajedno sa Piterom Borvajnom i Sajmonom Plufeom, otkrio novu formulu za
Ova formula omogućava da se lako izračuna -{k}-ta binarna ili heksadecimalna cifra broja
Ostale formule koje su do sada korišćene za izračunavanje približnih vrednosti
- —Njutn.
- —Ojler.
Na računarima sa Majkrosoft Vindous operativnim sistemom, program PiFast može se koristiti za brzo izračunavanje velikog broja cifara. Najveći broj cifara broja
Otvoreno pitanje o ovom broju koje naviše pritiska jeste da li je
Bejli i Krendal su pokazali 2000. godine da postojanje gore pomenute Bejli-Borvajn-Plufe formule i sličnih formula povlači da se tvrđenje o normalnosti broja
Takođe nije poznato da li su
Džon Harison (1693–1776) je stvorio muzički sistem izveden iz
U ne-euklidskoj geometriji, zbir uglova trougla može da bude manji ili veći od
Posmatrajmo, kao primer, Kulonov zakon:
- .
Ovde, je naprosto površina lopte poluprečnika -{r}-. U ovoj formi, ovo je pogodan način opisivanja inverzne kvadratne veze između sile i rastojanja -{r}- od tačkastog izvora. Naravno, bilo bi moguće da se ovaj zakon opiše na druge, ali manje zgodne—ili u nekim slučajevima zgodnije načine. Ako koristimo Plankovo naelektrisanje, Kulonov se zakon može opisati kao čime se uklanja potreba za
- Kontakt (Kontakt)—naučno-fantastično delo Karla Sagana, a kasnije filmska adaptacija Džodi Foster. Sagan razmatra mogućnost potpisa, koji su u decimalni razvoj broja
π ugradili stvaraoci univerzuma. π (film)—O vezi između brojeva i prirode: otkrivanje takve veze a da niste numerolog.- -{Time's Eye}- (Oko vremena)—Naučna fantastika Artura Č. Klarka i Stivena Bakstera. U svetu koji su prestrojile vanzemaljske sile, primećuje se sferična naprava čiji je odnos obima i prečnika po svim ravnima—tačan ceo broj 3.
Postoji celo polje humorističkog, ali i ozbiljnog izučavanja koje uključuje korišćenje mnemonika za lakše pamćenje cifara
14. mart (3/14 u SAD) je Pi dan kojeg proslavlja veliki broj ljubitelja ovog broja. 22. jula, proslavlja se Dan aproksimacije broja pi (22/7 je popularna aproksimacija).
Štaviše, mnogi ljudi govore i o "pi sati" (3:14:15 je malo manje od pi sati; 3:08:30 bi bilo najbliže broju
Još jedan primer matematičkog humora je sledeća aproksimacija
- Grčko slovo
π - Kalkulus
- Geometrija
- Trigonometrijske funkcije
- Pi kroz eksperiment
- Dokaz da je
π transcedentno - Jednostavan dokaz da je 22/7 veće od
π - Pi (film)
- Pi dan
- Lusi tjuning
- Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Pristupljeno 2013-06-05. English translation by Catriona and David Lischka.
- Ayers, Frank (1964). Calculus. McGraw-Hill. ISBN 978-0-070-02653-7.
- Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1997). Pi: a Source Book. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20571-7.
- Beckmann, Peter (1989) [1974]. History of Pi. St. Martin's Press. ISBN 978-0-88029-418-8.
- Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1987). Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley. ISBN 978-0-471-31515-5.
- Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). A History of Mathematics (2 izd.). Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
- Bronshteĭn, Ilia; Semendiaev, K. A. (1971). A Guide Book to Mathematics. H. Deutsch. ISBN 978-3-871-44095-3.
- Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (1999). The Number Pi. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3246-2., English translation by Stephen Wilson.
- Joseph, George Gheverghese (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13526-7. Pristupljeno 2013-06-05.
- Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-200-8.
- Reitwiesner, George (1950). „An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places”. Mathematical Tables and Other Aids to Computation 4 (29): 11–15. DOI:10.2307/2002695.
- Roy, Ranjan (1990). „The Discovery of the Series Formula for pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha”. Mathematics Magazine 63 (5): 291–306. DOI:10.2307/2690896.
- Schepler, H. C. (1950). „The Chronology of Pi”. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 23 (3): 165–170 (Jan/Feb), 216–228 (Mar/Apr), and 279–283 (May/Jun). DOI:10.2307/3029284.. issue 3 Jan/Feb, issue 4 Mar/Apr, issue 5 May/Jun
- Blatner, David (1999). The Joy of Pi. Walker & Company. ISBN 978-0-8027-7562-7.
- Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1984). „The Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions”. SIAM Review 26: 351–365. DOI:10.1137/1026073.
- Borwein, Jonathan; Borwein, Peter; Bailey, David H. (1989). „Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi”. The American Mathematical Monthly 96: 201–219. DOI:10.2307/2325206.
- Chudnovsky, David V. and Chudnovsky, Gregory V., "Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan", in Ramanujan Revisited (G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, pp 375–396, 468–472
- Cox, David A., "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss", L' Ensignement Mathematique, 30(1984) 275–330
- Delahaye, Jean-Paul, "Le Fascinant Nombre Pi", Paris: Bibliothèque Pour la Science (1997) ISBN 2902918259
- Engels, Hermann (1977). „Quadrature of the Circle in Ancient Egypt”. Historia Mathematica 4: 137–140. DOI:10.1016/0315-0860(77)90104-5.
- Euler, Leonhard, "On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series", in Introduction to Analysis of the Infinite. Book I, translated from the Latin by J. D. Blanton, Springer-Verlag, 1964, pp 137–153
- Heath, T. L., The Works of Archimedes, Cambridge, 1897; reprinted in The Works of Archimedes with The Method of Archimedes, Dover, 1953, pp 91–98
- Huygens, Christiaan, "De Circuli Magnitudine Inventa", Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden 1724, pp 384–388
- Lay-Yong, Lam; Tian-Se, Ang (1986). „Circle Measurements in Ancient China”. Historia Mathematica 13: 325–340. DOI:10.1016/0315-0860(86)90055-8.
- Lindemann, Ferdinand (1882). „Ueber die Zahl pi”. Mathematische Annalen 20: 213–225. DOI:10.1007/bf01446522. Arhivirano iz originala na datum 2015-01-22. Pristupljeno 2015-04-28.
- Matar, K. Mukunda; Rajagonal, C. (1944). „On the Hindu Quadrature of the Circle" (Appendix by K. Balagangadharan)”. Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society 20: 77–82.
- Niven, Ivan, "A Simple Proof that pi Is Irrational", Bulletin of the American Mathematical Society, 53:7 (July 1947), 507
- Ramanujan, Srinivasa, "Modular Equations and Approximations to
π ", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, XLV, 1914, 350–372. Reprinted in G.H. Hardy, P.V. Seshu Aiyar, and B. M. Wilson (eds), Srinivasa Ramanujan: Collected Papers, 1927 (reprinted 2000), pp 23–29 - Shanks, William, Contributions to Mathematics Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals, 1853, pp. i–xvi, 10
- Shanks, Daniel; Wrench, John William (1962). „Calculation of pi to 100,000 Decimals”. Mathematics of Computation 16: 76–99. DOI:10.1090/s0025-5718-1962-0136051-9.
- Tropfke, Johannes, Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung (The history of elementary mathematics), BiblioBazaar, 2009 (reprint), ISBN 978-1-113-08573-3
- Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica (reprint), Georg Olms Verlag, 1970, pp 398–401, 436–446
- Wagon, Stan, "Is Pi Normal?", The Mathematical Intelligencer, 7:3(1985) 65–67
- Wallis, John, Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata, Oxford 1655–6. Reprinted in vol. 1 (pp 357–478) of Opera Mathematica, Oxford 1693
- Zebrowski, Ernest, A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe, Rutgers University Press, 1999, ISBN 978-0-8135-2898-4
- Wikisource Pi do 1000 mesta Arhivirano 2004-06-19 na Wayback Machine-u | 10000 mesta Arhivirano 2004-06-17 na Wayback Machine-u | 100000 mesta Arhivirano 2004-06-17 na Wayback Machine-u | 1000000 mesta Arhivirano 2004-07-06 na Wayback Machine-u
- E-tekst na Projektu Gutenberg koji sadrži milion cifara Pi Arhivirano 2004-07-01 na Wayback Machine-u
- Arhive broja Pi računatog do milion ili deset miliona mesta Arhivirano 2006-01-26 na Wayback Machine-u
- Search
π Arhivirano 2005-10-18 na Wayback Machine-u—pretraži i odštampaj Pi do 400 miliona mesta - Statistike o prvih 1.2 biliona cifara Pi Arhivirano 2010-01-09 na Wayback Machine-u
- Baner koji sadrži približno 220 miliona cifara pi
- Izračunavanje pi: projekat otvorenog koda za izračunavanje pi
- PiFast: brz program za računanje Pi sa velikim brojem cifara
- PiHeks projekat Arhivirano 2005-04-03 na Wayback Machine-u
- Super Pi: još jedan program za izračunavanje pi-ja do 33.55 milionite cifre
- Pi strane Arhivirano 2005-02-04 na Wayback Machine-u
- Istorija Pi-ja
- Kolekcija formula sličnih Mejčinovoj za Pi Arhivirano 2004-05-29 na Wayback Machine-u
- Dokaz da je Pi iracionalan
- PiFakts -probijeni rekord
- O knjizi -{The Joy of Pi}-
- dosta formula za
π na stranicama Volfram Riserč - PlanetMath: Pi Arhivirano 2010-01-24 na Wayback Machine-u
- Jahu grupa pi hakera Arhivirano 2005-02-09 na Wayback Machine-u
- Nalaženje vrednosti pi
- dokaz da pi postoji
- Klub prijatelja broja Pi (engleski i nemački)
- određivanje Pi
- LucyTuning—muzičko štimanje izvedeno iz Pi Arhivirano 2005-02-05 na Wayback Machine-u
(Svi mnemonici su na engleskom jeziku.)