克かつ莱因-戈ほこ尔登方かた程ほど

克かつ莱因-戈ほこ尔登方程式ほうていしき（Klein-Gordon equation）是これ相あい对论量子力学りょうしりきがく和わ量子りょうし场论中なか的てき最さい基本きほん方程式ほうていしき，它是薛定谔方程式ほうていしき的てき狭せま义相对论形式けいしき，用よう于描述じゅつ自じ旋为零的てき粒子りゅうし。克かつ莱因-戈ほこ尔登方程式ほうていしき是ぜ由ゆかり瑞みず典てん理り论物理ぶつり学がく家か奥おく斯卡·克かつ莱因和わ德とく国こく人ひと沃尔特とく·戈ほこ尔登于二に十じゅう世せい纪二に三さん十年代分别独立推导得出的。

陳述ちんじゅつ

克かつ莱因-戈ほこ尔登方かた程ほど為ため

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0$。

很多時候じこう會かい用よう自然しぜん單位たんい（c=ħ=1）寫うつし成なり

$-\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi$

由よし於平面へいめん波は為ため此方こちら程ほど已やめ知的ちてき一いち組くみ解ほどけ，所以ゆえん方かた程ほど形式けいしき由よし它決定けってい：

$\psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}$

遵從狹義きょうぎ相對そうたい論ろん的てき能のう量りょう動どう量りょう關係かんけい式しき

$-p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}\,$

跟薛定てい諤方式しき不同ふどう，每まい一いち個こk在ざい此都對應たいおう着ぎ兩個りゃんこ$\omega$，只ただ有ゆう通過つうか把わ頻しき率りつ的てき正負せいふ部ぶ份分開ひらけ，才能さいのう讓ゆずる方かた程ほど描述到いた整せい個こ相對そうたい論ろん形式けいしき的てき波なみ函數かんすう。若わか方かた程ほど在ざい時間じかん流りゅう逝下不變ふへん，則のり其形式しき為ため

$\left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0$。

相あい对论量子力学りょうしりきがく下か的てき形式けいしき推导

自由じゆう粒子りゅうし的てき薛定谔方程式ほうていしき是非ぜひ相しょう对论量子力学りょうしりきがく的てき最さい基本きほん方程式ほうていしき：

${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi$

其中$\mathbf {p} =-i\hbar \mathbf {\nabla }$是これ动量算さん符ふ。

薛定谔方程式ほうていしき并非相しょう对论协变的てき，意味いみ着ぎ它不满足爱因斯坦的てき狭せま义相对论。

利用りよう狭せま义相对论中ちゅう的てき相しょう对论能のう量りょう公式こうしき $E={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}$ 替がえ换薛定てい谔方程ほど左ひだり边的动能${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$项，最さい终可得とく它的协变形式けいしき：

$(\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0.$

其中$\mu ={\frac {mc}{\hbar }}\,$，达朗贝尔算さん符ふ$\Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\,$.

从相对论量子力学りょうしりきがく的てき观点来らい看み，达朗贝尔算さん符ふ的てき出で现意味いみ着ぎ克かつ莱因-戈ほこ尔登方程式ほうていしき是ぜ一いち个量子力学りょうしりきがく的てき波方なみかた程ほど。

量子りょうし场论下か的てき形式けいしき推导

场论中ちゅう，对于自じ旋为零的てき场（标量场），拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう被ひ写うつし成なり

$L={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}$

这里依りえ照あきら量子りょうし场论的てき习惯选取了りょう自然しぜん单位，将はた光速こうそく$c$和かず普ひろし朗ろう克かつ常数じょうすう$\hbar$都と取と作さく1。

代入だいにゅう欧おう拉ひしげ-拉ひしげ格かく朗ろう日方ひかた程ほど${\frac {\partial L}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial L}{\partial (\partial ^{\mu }\phi )}}=0,$可か直接ちょくせつ得え到いた克かつ莱因-戈ほこ尔登方かた程ほど。

从量子りょうし场论的てき观点来らい看み，以上いじょう推导过程都と在ざい经典场论的てき范围之これ内ない，因いん此克莱因-戈ほこ尔登方程式ほうていしき只ただ是ぜ一个经典场的场方程式ほうていしき。

自由じゆう粒子りゅうし解かい

相あい对论量子力学りょうしりきがく中ちゅう自由じゆう粒子りゅうし只ただ是ぜ一个理想化的概念，但ただし形かたち如克莱因-戈ほこ尔登方程式ほうていしき这样的てき波方なみかた程ほど仍然具有ぐゆう形式けいしき上じょう的てき平面へいめん波は解かい：

$\psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$

其中$-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}.$

从克莱因-戈ほこ尔登方程式ほうていしき得とく出で的てき能のう量りょう本ほん征せい值为

$E=\pm {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}$

因いん而克莱因-戈ほこ尔登方程式ほうていしき的てき解かい包含ほうがん了りょう负能量りょう。同どう时，由ゆかり这个解かい导出相しょう应的概がい率りつ密度みつど也不能ふのう保ほ证是正ぜせい值。这两个问题使得とく克かつ莱因-戈ほこ尔登方かた程ほど在ざい很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的。英国えいこく物理ぶつり学がく家か保ほ罗·狄拉克かつ为了确保概がい率りつ密度みつど具有ぐゆう物理ぶつり意い义建立こんりゅう了りょう狄拉克かつ方かた程ほど，但ただし这个方かた程ほど仍然没ぼつ有ゆう避免出で现负能のう量りょう。

行波ゆかば解かい

克かつ莱因-戈ほこ尔登方かた程ほど有ゆう行波ゆかば解かい

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  Klein Gordon equation traveling wave plot4
• 
  Klein Gordon equation traveling wave plot5
• 
  Klein Gordon equation traveling wave plot6

参まいり见

• 狄拉克かつ方程式ほうていしき
• 量子りょうし场论

參考さんこう文獻ぶんけん

• Sakurai, J. J. (1967). Advanced Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2.
• Greiner, W. (1990). Relativistic Quantum Mechanics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-67457-8.