拟群

在ざい数学すうがく中なか，特とく别是抽象ちゅうしょう代数だいすう裡うら，拟群是ぜ一种类似于群ぐん的てき代数だいすう结构。拟群与あずか群ぐん的てき相しょう像ぞう之の处是也能够进行ぎょう除法じょほう运算，但ただし拟群中ちゅう并没有ゆう群ぐん所しょ拥有的てき结合律りつ。有ゆう单位元もと的てき拟群称しょう作さく幺拟群ぐん或ある者もの圈けん（loop）。

定てい义

拟群的てき正せい规定义有两种，分ふん别带有ゆう一いち种和三さん种二元にげん运算。

代數だいすう

一いち个拟群 (Q, *) 是ぜ一いち个集合しゅうごう Q 与一よいち个二元にげん运算 * 的てき结合（即そく一いち个原はら群ぐん），满足对 Q 中なか的てき任意にんい元素げんそ a 和わ b，都と存在そんざい唯一ゆいいつ的てき Q 中元ちゅうげん素もと x 和わ y，使つかい得とく：

$a*x=b$ ；
$y*a=b$ 。

这两个唯一いち的てき元素げんそ被ひ记作：x = a \ b 和わ y = b / a。其中“\” 和わ “/”分ぶん别表示ひょうじ被ひ二元运算所定义的“左ひだり除法じょほう”和かず“右みぎ除法じょほう”。拟群的てき公理こうり化か需要じゅよう用よう到いた存在そんざい量りょう词，因いん此也就需要よう建立こんりゅう在ざい一いち阶逻辑之これ上じょう。

泛代數すう

拟群的てき第だい二个定义是建立在泛代数すう的てき背景はいけい中ちゅう。泛代数すう希望きぼう代数だいすう结构为簇むらが，也就是ぜ说其公理こうり化か过程应该只ただ需要じゅよう到いた等式とうしき的てき概念がいねん。在ざい这样的てき要求ようきゅう下か，拟群被ひ定てい义为：

一いち个拟群 (Q, *, \, /) 是ぜ一いち种 (2,2,2) 代数だいすう，其满足あし等式とうしき:

y = x * (x \ y) ；
y = x \ (x * y) ；
y = (y / x) * x ；
y = (y * x) / x 。

因いん此如果はて (Q, *) 是ぜ依よ据すえ第だい一种定义的拟群，那な么 (Q, *, \, /) 则是其在泛代数すう范畴内ない对应的てき概念がいねん。

圈けん

一いち个有单位元もと的てき拟群称しょう为一个幺拟群ぐん或ある一いち个圈けん。这里的てき单位元もと是ぜ指ゆび Q 中元ちゅうげん素もと e 使つかい得とく：

x*e = x = e*x 。

可か以证明あかり单位元もと e 是ぜ唯一ゆいいつ的てき，并且这时每ごと一いち个 Q 中元ちゅうげん素もと都と有ゆう唯一ゆいいつ的てき一いち个左ひだり逆ぎゃく元もと和わ右みぎ逆ぎゃく元もと。

例れい子こ

每まい个群ぐん都みやこ是ただし圈けん，因いん为 a * x = b 当とう且仅当とう x = a⁻¹ * b，以及y * a = b 当とう且仅当とう y = b * a⁻¹。
整数せいすう集合しゅうごう Z 以及其上的てき减法 (−) 构成拟群（但ただし不ふ构成半はん群ぐん）。
所有しょゆう非ひ零れい的てき有理数ゆうりすう的てき集合しゅうごう Q* （或ある者もの所有しょゆう非ひ零れい实数构成的てき R*）以及其上的てき除法じょほう (÷) 构成一いち个拟群ぐん。
所有しょゆう特とく征せい不ふ为2的てき域いき上うえ的てき向むかい量りょう空そら间以及其上的てき二に元げん运算 x * y = (x + y) / 2 构成了りょう一いち个幂等的てき交换的てき拟群。
每まい个斯坦纳三さん元げん系けい统都みやこ定じょう义了一いち个幂等交换的てき拟群：其运算さん为将 a * b 对应到包含ほうがん a 和わ b 的てき三元数组的第三个元。
集合しゅうごう{±1, ±i, ±j, ±k}，其中ii = jj = kk = 1 并且其他运算同どう于四よん元げん群ぐん，构成了りょう非ひ结合的てき8元げん圈けん。
非ひ零れい八はち元げん数すう以及其上的てき乘法じょうほう构成了りょう一いち个圈，称しょう为Moufang圈けん.
一般いっぱん来らい说，一いち个可か除じょ代数だいすう上うえ的てき所有しょゆう非ひ零れい元げん构成一いち个拟群ぐん。

性せい质

拟群具有ぐゆう可か消去しょうきょ性せい：如果 ab = ac，那な么 b = c。同どう样地，如果 ba = ca，那な么 b = c。

左ひだり乘じょう与あずか右みぎ乘じょう

拟群 Q 的てき定てい义说明あかり拟群中ちゅう的てき左ひだり乘じょう变换和わ右みぎ乘じょう变换：

L(x)y=xy\,

R(x)y=yx\,

都みやこ是ただし Q 到いた自身じしん的てき双そう射い。原はら群ぐん Q 是ぜ拟群当とう且仅当とう这两个变换是双そう射しゃ变换，而且它们的てき逆ぎゃく变换给出了りょう右みぎ除じょ和わ左ひだり除じょ变换：

L(x)^{-1}y=x\backslash y\,

R(x)^{-1}y=y/x\,

在ざい这种标记下か，拟群写うつし作さく：

{\begin{aligned}L(x)L(x)^{-1}&=1\qquad &x(x\backslash y)&=y\\L(x)^{-1}L(x)&=1\qquad &x\backslash (xy)&=y\\R(x)R(x)^{-1}&=1\qquad &(y/x)x&=y\\R(x)^{-1}R(x)&=1\qquad &(yx)/x&=y\end{aligned}}

拉ひしげ丁ひのと方かた

一个有限拟群的乘法构成的乘法表是一个拉ひしげ丁ひのと方かた：一いち个 n × n 的まと表ひょう格かく，每まい行くだり每ごと列れつ都と是ぜ n 个不同ふどう的てき元素げんそ的てき排列はいれつ，并且每ごと个元素げんそ恰好かっこう出で现在每ごと一いち行ぎょう和わ每ごと一いち列れつ各かく一いち次じ。

反はん之これ，每まい个拉丁ひのと方かた都と可か以以多た种方式しき成なり为一个拟群ぐん的てき乘法じょうほう表ひょう。

逆ぎゃく的てき性せい质

对于每ごと个圈，圈けん中ちゅう的てき每まい个元素げんそ都と有ゆう左ひだり逆ぎゃく和わ右みぎ逆ぎゃく：

x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e

x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e

称たたえ一いち个圈是ぜ双そう边可逆ぎゃく的てき，如果对圈所有しょゆう的てき x， $x^{\lambda }=x^{\rho }$ 。这时的てき拟元素げんそ一いち般简记为 $x^{-1}$ 。

一いち个圈有ゆう 左ひだり可逆かぎゃく性せい质，如果对所有しょゆう的てき $x$ 和わ $y$ 都みやこ有ゆう $x^{\lambda }(xy)=y$ 。同どう样地， $L(x)^{-1}=L(x^{\lambda })$ 或ある者もの $x\backslash y=x^{\lambda }y$ 。
一いち个圈有ゆう 右みぎ可逆かぎゃく性せい质，如果对所有しょゆう的てき $x$ 和わ $y$ 都みやこ有ゆう $(yx)x^{\rho }=y$ 。同どう样地， $R(x)^{-1}=R(x^{\rho })$ 或ある者もの $y/x=yx^{\rho }$ 。
一いち个圈有ゆう 反はん自じ同どう构逆性せい质 ，如果 $(xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }$ 或ある者もの $(xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }$ 。
一いち个圈有ゆう 弱じゃく可逆かぎゃく性せい质，如果 $(xy)z=e$ 当とう且仅当とう $x(yz)=e$ 。一个等价的叙述是对所有的 $x$ 和わ $y$ 都みやこ有ゆう $(xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }$ 或ある者もの $x(yx)^{\rho }=y^{\rho }$ 。

如果一个圈同时具有左可逆和右可逆性质，则称其有 可逆かぎゃく性せい质。可逆かぎゃく的てき圈けん同どう时也拥有反はん自じ同どう构逆性せい质和弱じゃく可逆かぎゃく性せい质。实际上じょう，满足以上いじょう四个性质中任意两个的圈都是可逆的，而满足あし前まえ三个性质之一的圈都是双边可逆的。

态射

一いち个拟群ぐん或ある圈けん同どう态是ぜ两个拟群（圈けん）之の间的映うつ射い：f : Q → P 满足 f(xy) = f(x)f(y)。拟群同どう态保持ほじ了りょう左右さゆう除法じょほう以及单位元もと（如果有ゆう的てき话）。

同どう伦与同どう痕あと

设 Q 和わ P 为拟群ぐん，一いち个从 Q 到いた P 的てき 拟群同どう伦 是ぜ一いち个从 Q 到いた P 的てき映うつ射い三さん元げん组(αあるふぁ, βべーた, γがんま) 使つかい得とく对 Q 中ちゅう所有しょゆう的てき x, y，有ゆう

\alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,

三个映射都相同时，就是一いち个拟群ぐん同どう态。

一いち个同どう痕あと是ぜ使し得とく (αあるふぁ, βべーた, γがんま) 中ちゅう所有しょゆう的てき三个映射都是双そう射い的てき拟群同どう伦。两个拟群是ぜ同どう痕あと的てき当とう且仅当とう它们之の间存在そんざい同どう痕あと映うつ射しゃ。在ざい拉ひしげ丁ひのと方かた中ちゅう，三さん元げん组 (αあるふぁ, βべーた, γがんま) 由よし第だい αあるふぁ和わ第だい βべーた列れつ的てき一个置换以及其余集合上的一个置换 γがんま给出。

一いち个自じ同どう痕あと是ぜ从 Q 射い到いた自身じしん的てき同どう痕あと。一个拟群的所有自同痕构成一个群。

每まい个拟群ぐん都と与あずか某ぼう个圈同どう痕あと。如果一个圈与某个群同痕，那な么它与此群同どう构，因いん此也为一个群。但ただし是ぜ，如果一个拟群与某个群同痕，由よし于缺乏けつぼう单位元もと，拟群本身ほんみ不ふ一定いってい是ぜ群ぐん。比ひ如说，实数集合しゅうごう R 与あずか其上的てき运算(x+y)/2 构成的てき拟群同どう痕あと于 R 上うえ的てき加法かほう群ぐん，但ただし它本身ほんみ不ふ是ぜ群ぐん。

参まいり见

参考さんこう来らい源げん

Akivis, M. A., and Goldberg, Vladislav V. (2001) "Solution of Belousov's problem," Discussiones Mathematicae. General Algebra and Applications 21: 93–103.
Bruck, R.H. (1958) A Survey of Binary Systems. Springer-Verlag.
Chein, O., H. O. Pflugfelder, and J. D. H. Smith, eds. (1990) Quasigroups and Loops: Theory and Applications. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-008-0.
Pflugfelder, H.O. (1990) Quasigroups and Loops: Introduction. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-007-2.
Smith, J.D.H. (2007) An Introduction to Quasigroups and their Representations. Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-537-8.
-------- and Anna B. Romanowska (1999) Post-Modern Algebra. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8.

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