运算

提示ていじ：此条目め页的主ぬし题不是ぜ算さん子こ或ある计算。

在ざい数学すうがく中ちゅう，一いち个 运算 被ひ定てい义为一个将一个或更多个输入值（或ある称しょう “运算数すう” 或ある “参さん数すう”）对应到一个两定义的输出值的函数かんすう。这些运算数すう的てき个数被ひ称しょう为该运算的てき元もと数かず。

研究けんきゅう中ちゅう最さい常つね见的运算是ぜ二元にげん运算（也就是ぜ元もと数すう为 2 的てき运算）如加法かほう、乘法じょうほう，还有一元いちげん运算（也就是ぜ元もと数すう为 1 的てき运算）如加法かほう逆ぎゃく、乘法じょうほう逆ぎゃく。而一个操作数为零的运算，或ある者もの说一个零れい元げん运算，是ぜ一いち个常数じょうすう，这种运算在ざい计算机つくえ科学かがく中ちゅう比ひ较常见一些。混合こんごう积是ぜ一いち个三さん元げん运算的てき例れい子こ。

通常つうじょう而言一个运算的输入值是有限的，但ただし有ゆう时也应当考こう虑无穷元もと运算，这时，“通常つうじょう的てき”输入值有限げん的てき运算就被归类为有限ゆうげん元もと运算了りょう。

运算的てき类型

有ゆう两类常つね见的运算，一元いちげん和わ二元にげん运算。其中，一元运算仅涉及一个输入值，比ひ如逻辑非ひ或ある者もの三角さんかく函数かんすう等ひとし。而对于以加か、减、乘の、除じょ以及幂为例的てき二に元げん运算，则需要よう两个输入值。

除じょ却数字すうじ，运算也允许涉及其他た数学すうがく对象。比ひ如逻辑真ま值 “真しん” 和かず “假かり” 就可以通过 “与あずか”、“或ある”、“非ひ” 这些逻辑运算符ふ连接并参与さんよ运算，其中 “与あずか” 和かず “或ある” 为二に元げん运算，而“非ひ”为一元もと运算；向むかい量りょう可か以进行ぎょう加か减； 转动可か以通过函数かんすう复合进行运算，运算结果是ぜ先さき进行前まえ一いち个旋转，接着せっちゃく进行后きさき一个旋转的复合旋转。集合しゅうごう上うえ的てき运算包括ほうかつ二に元げん的てき交、并运算；函数かんすう之これ间的运算有ゆう函数かんすう复合、卷まき积等ひとし。

作さく为一个函数すう，运算并不总对其域いき上うえ的てき所有しょゆう元もと定てい义良好りょうこう。例れい如实数すう上じょう对零做除法ほう或ある者もの对负数すう开平方根へいほうこん就是不ふ被ひ允まこと许的。所有しょゆう能のう被ひ运算的てき值构成なり一いち集合しゅうごう，记为该运算さん的てき定てい义域。对于整せい个定义域上じょう的てき值，包含ほうがん该运算さん作さく为函数すう导出的てき所有しょゆう值的集合しゅうごう称しょう作さく该运算さん的てき上うえ域いき，而所有しょゆう导出值本身ほんみ构成的てき集合しゅうごう，称しょう运算的てき像ぞう或ある者もの值域。例れい如前文ぜんぶん所しょ述じゅつ的てき实数平方根へいほうこん，其定义域即そく $\mathbb {R} _{\geq 0}$，值域也是 $\mathbb {R} _{\geq 0}$，上うえ域いき则是任意にんい一个含有值域的集，此处可か以为 $\mathbb {R}$；而实数すう的てき除法じょほう运算，定てい义域为 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\neq 0}$，值域为 $\mathbb {R} _{\neq 0}$。

此外，多元的たげんてき运算可か以涉及并不ふ相似そうじ的てき元素げんそ：向むこう量りょう能のう够与标量进行数すう乘じょう运算并得到いた另一个向量りょう；两个向むこう量りょう可か以进行ぎょう内うち积运算并最后きさき得え到いた一いち个标量りょう。一个运算有时也会被赋予一些额外属性如结合律りつ、交换律りつ、反はん交换律りつ、幂等等ひとし。

这些参与さんよ运算的てき值被称しょう作さく “参さん数すう” 或ある “输入”，而得到いた的てき值被称しょう作さく “值”、“结果” 或ある “输出”。运算的てき元もと数すう可か以是从 2 到いた $\infty$ 之これ间的任にん何なん整せい值。

算さん符ふ 与あずか运算近似きんじ，指ゆび的てき是ぜ运算所しょ使用しよう的てき符号ふごう和わ过程，因いん而二者并不完全等同。“加法かほう运算”常つね侧重于输入にゅう和わ输出两端，而“加法かほう算さん符ふ”（粗略そりゃく而言，“加か号ごう”）则更聚焦于过程ほど，以一种更形式化的说法，即そく映うつ射い $+\colon X\times X\to X$。

定てい义

一いち个从 $X_{1},\dots ,X_{n}$ 到いた $Y$的てき $n$ 元もと运算 $\omega$ 被ひ认定为映射しゃ

$\omega \colon X_{1}\times \cdots \times X_{n}\to Y.$

其中，集合しゅうごう $X_{1}\times \cdots \times X_{n}$ 称しょう作さく运算的てき域いき，$Y$称しょう作さく运算的てき上じょう域いき，非ひ负整数すう $n$称しょう作さく运算的てき元もと数かず。特とく别地，零れい元げん运算仅是上じょう域いき $Y$上うえ的てき一いち个单一いち元素げんそ。值得指出さしで，$n$元もと运算完全かんぜん允まこと许视作さく $(n+1)$元もと关系，该关系けい对运算さん的てき域いき为全域ぜんいき的てき，对运算さん的てき上じょう域いき则是唯一ゆいいつ的てき。

一いち个从 $X_{1},\dots ,X_{n}$ 到いた $Y$的てき $n$ 元もと部分ぶぶん运算，其上域いき为 $X_{1},\dots ,X_{n}$ 的てき任意にんい子こ集しゅう。

以上いじょう叙述じょじゅつ常つね称しょう作さく 有限ゆうげん关系，参さん数すう有限ゆうげん。显然存在そんざい扩张，将はた元もと数すう认定为一个无穷序じょ数すう或ある者もの无穷基数きすう，甚至是ぜ以任意にんい集しゅう作さく为参数すう的てき指ゆび标集。

通常つうじょう情じょう况下，使用しよう”运算“这个词暗含了域いき是ぜ上じょう域いき的てき幂这个条件じょうけん（即そく上じょう域いき和わ自身じしん的てき一个或更多副本的笛ふえ卡儿积），这一性质并不绝对，就像内うち积运算，并不符合ふごう该描述じゅつ：将はた两个向むこう量りょう点てん乘じょう，结果是ぜ一いち个标量りょう。一いち个 $n$元もと运算 $\omega \colon X^{n}\to X$ 被ひ称しょう作さく内部ないぶ运算；一いち个 $n$元もと运算 $\omega \colon X^{i}\times S\times X^{n-i-1}\to X$，其中$0\leq i<n$，被ひ称しょう作さく由よし标量集しゅう或ある者もの算さん子こ集しゅう $S$ 构造的てき 外部がいぶ运算。特とく别地，二元にげん运算 $\omega \colon S\times X\to X$ 称しょう作さく由ゆかり $S$ 决定的てき 左ひだり外部がいぶ运算，相あい应地 $\omega \colon X\times S\to X$ 称しょう作さく由ゆかり $S$ 决定的てき 右みぎ外部がいぶ运算。

一いち个 $n$ 元もと多た值函数すう 或ある者もの 多た值运算さん $\omega$ 是ぜ一个从其笛卡儿积到其幂集的形如 $\omega \colon X^{n}\to {\mathcal {P}}(X)$的てき映うつ射い。

参まいり见

• 有限ゆうげん元もと关系
• 超ちょう运算
• 中ちゅう缀表示法ひょうじほう
• 算さん子こ
• 操作そうさ数すう