通常 つうじょう 的 てき 反應 はんのう 途 と 徑 みち 會 かい 要求 ようきゅう 初 はつ 始 はじめ 反應 はんのう 物 ぶつ 越 こし 過 か 一 いち 個 こ 能 のう 量 りょう 障壁 しょうへき ,進入 しんにゅう 中 ちゅう 間 あいだ 態 たい ,最後 さいご 出現 しゅつげん 於一個較低能量的狀態。假 かり 若 わか 涉 わたる 及到電荷 でんか 分離 ぶんり ,這能量 りょう 差 さ 可能 かのう 會 かい 造成 ぞうせい 電動 でんどう 勢 ぜい 。更 さら 詳細 しょうさい 論述 ろんじゅつ ,請參閱條目 め 過渡 かと 狀態 じょうたい [ 10] 。
使用 しよう KNO3 玻璃 はり 管 かん 型 がた 鹽 しお 橋 きょう 的 てき 電化 でんか 電池 でんち 。
在 ざい 十 じゅう 九 きゅう 世紀 せいき 的 てき 一大 いちだい 段 だん 時間 じかん ,許多 きょた 科學 かがく 家 か 都 と 致力於尋找電池 でんち (伽 とぎ 凡尼電池 でんち )產 さん 生 せい 電動 でんどう 勢 ぜい 的 てき 機 き 制 せい 。最終 さいしゅう ,瓦 かわら 爾 なんじ 特 とく ·能 のう 斯特發現 はつげん 電動 でんどう 勢 ぜい 的 てき 作用 さよう 點 てん 是 ぜ 處 しょ 於電極 でんきょく 與 あずか 電解 でんかい 質 しつ 之 これ 間 あいだ 的 てき 接觸 せっしょく 面 めん [ 11] 。
分子 ぶんし 是 ぜ 一 いち 群 ぐん 原子 げんし 靠 もたれ 著 しる 化學 かがく 鍵 かぎ 連接 れんせつ 在 ざい 一 いち 起 おこり 而形成 けいせい 。這些化學 かがく 鍵 かぎ 是 ぜ 電子 でんし 與 あずか 質 しつ 子 こ 之 これ 間 あいだ 相互 そうご 吸引 きゅういん 的 てき 電場 でんじょう 力 りょく 。孤立 こりつ 的 てき 分子 ぶんし 是 ぜ 穩定實體 じったい ;但 ただし 當 とう 將 しょう 不同 ふどう 的 てき 分子 ぶんし 集 しゅう 聚在一 いち 起 おこり 時 じ ,有 ゆう 些種類 しゅるい 的 てき 分子 ぶんし 能 のう 夠偷取其它分子 ぶんし 的 てき 電子 でんし ,造成 ぞうせい 電荷 でんか 分離 ぶんり 。這種電荷 でんか 重 じゅう 新 しん 分 ぶん 佈會改變 かいへん 整 せい 個 こ 系統 けいとう 的 てき 能 のう 量 りょう ,以及分子 ぶんし 內部原子 げんし 的 てき 重 じゅう 新組 しんぐみ 態 たい [ 12] 。
氧化反應 はんのう 是 これ 化合 かごう 價 か 升 ます 高 だか ,失 しつ 去 さ 電子 でんし 的 てき 反應 はんのう ;還 かえ 原 げん 反應 はんのう 是 ぜ 化合 かごう 價 か 降 くだ 低 てい ,獲得 かくとく 電子 でんし 的 てき 反應 はんのう 。發生 はっせい 這種電子 でんし 交換 こうかん 事件 じけん 的 てき 反應 はんのう 稱 たたえ 為 ため 氧化還 かえ 原 げん 反應 はんのう 。在 ざい 電池 でんち 裏 うら ,陽極 ようきょく 是 ぜ 發生 はっせい 氧化反應 はんのう 的 てき 電極 でんきょく (或 ある 者 もの 失 しつ 去 さ 電子 でんし 的 てき 電極 でんきょく );而陰極 いんきょく 則 のり 是 ぜ 發 はつ 生還 せいかん 原 げん 反應 はんのう 的 てき 電極 でんきょく (或 ある 者 もの 獲得 かくとく 電子 でんし 的 てき 電極 でんきょく )。這同樣 どうよう 的 てき 物理 ぶつり 行為 こうい 可 か 以從原子 げんし 本身 ほんみ 觀察 かんさつ 出來 でき 。原子 げんし 偷取電子 でんし 的 てき 能力 のうりょく 稱 たたえ 為 ため 電 でん 負 まけ 性 せい [ 13]
舉例而言,在 ざい 丹 たん 尼 に 耳 みみ 電池 でんち 裏 うら ,鋅 陽極 ようきょく 的 てき 鋅原子 げんし 會 かい 溶解 ようかい 於硫酸 りゅうさん 鋅溶液 ようえき ,溶解 ようかい 的 てき 鋅原子 げんし 會 かい 遺留 いりゅう 其電子 でんし 於陽極 ようきょく ,根據 こんきょ 氧化反應 はんのう (s = 固體 こたい 陽極 ようきょく ,aq = 水溶液 すいようえき ):
Z
n
(
s
)
→
Z
n
2
+
(
a
q
)
+
2
e
−
{\displaystyle \mathrm {Zn} (s)\rightarrow \mathrm {Zn} ^{2+}(aq)+2\mathrm {e} ^{-}}
。
硫酸 りゅうさん 鋅是一 いち 種 しゅ 電解 でんかい 質 しつ ,在 ざい 溶液 ようえき 內有可 か 以導電 でん 的 てき 離 はなれ 子 こ ,鋅離子 こ
Z
n
2
+
{\displaystyle \mathrm {Zn} _{}^{2+}}
與 あずか 硫酸 りゅうさん 根 ね 離 はなれ 子 こ
S
O
4
2
−
{\displaystyle \mathrm {SO} _{4}^{2-}}
。
在 ざい 丹 たん 尼 に 爾 なんじ 電池 でんち 的 てき 銅 どう 陰極 いんきょく 區域 くいき ,根據 こんきょ 還 かえ 原 げん 反應 はんのう ,硫酸 りゅうさん 銅 どう 電解 でんかい 質 しつ 的 てき 銅 どう 離 はなれ 子 こ 會 かい 從 したがえ 陰極 いんきょく 獲得 かくとく 電子 でんし :
C
u
2
+
(
a
q
)
+
2
e
−
→
C
u
(
s
)
{\displaystyle \mathrm {Cu} ^{2+}(aq)+2e^{-}\rightarrow \mathrm {Cu} (s)}
。
被 ひ 中性 ちゅうせい 化 か 的 てき 銅 どう 原子 げんし 會 かい 電鍍 でんと 在 ざい 銅 どう 陰極 いんきょく 表面 ひょうめん [ 14] 。
電子 でんし 會 かい 通過 つうか 外 がい 電路 でんろ (示 しめせ 意圖 いと 內的檢 けん 流 りゅう 計 けい ),而硫酸 りゅうさん 根 ね 離 はなれ 子 こ 會 かい 通過 つうか 鹽 しお 橋 きょう ,這樣,可 か 以保持 ほじ 電荷 でんか 平衡 へいこう 。當 とう 反應 はんのう 進行 しんこう 時 じ ,鋅陽極 ようきょく 會 かい 緩慢 かんまん 的 てき 溶解 ようかい ,而銅陰極 いんきょく 表面 ひょうめん 會 かい 被 ひ 電鍍 でんと 。假 かり 若 わか 外電 がいでん 路 ろ 被 ひ 斷 だん 開 ひらけ ,由 ゆかり 於電荷 でんか 分離 ぶんり 產 さん 生 せい 的 てき 電場 でんじょう 會 かい 抗拒 こうきょ 兩個 りゃんこ 電極 でんきょく 之 の 間 あいだ 的 てき 電動 でんどう 勢 ぜい ,反應 はんのう 會 かい 停止 ていし 。
在 ざい 熱 ねつ 力學 りきがく 裏 うら ,電動 でんどう 勢 ぜい
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
乘 の 以電荷 でんか 量 りょう
Z
{\displaystyle Z}
,就是分離 ぶんり 電荷 でんか 所 しょ 做的功 こう 項目 こうもく 。對 たい 於可逆 かぎゃく 過程 かてい ,當 とう 電動 でんどう 勢 ぜい 促使電荷 でんか 在 ざい 電池 でんち 內移動 いどう 時 じ ,內能 的 てき 變化 へんか 包括 ほうかつ 這項目 め :
d
U
=
T
d
S
−
P
d
V
+
E
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-P\mathrm {d} V+{\mathcal {E}}\mathrm {d} Z}
;
其中,
U
{\displaystyle U}
是 これ 內能 ,
S
{\displaystyle S}
是 これ 熵 ,
T
{\displaystyle T}
是 これ 絕對溫度 ぜったいおんど ,
V
{\displaystyle V}
是 ぜ 體積 たいせき ,
P
{\displaystyle P}
是 これ 壓 あつ 強 きょう 。
假設 かせつ 電池 でんち 為 ため 丹 たん 尼 に 耳 みみ 電池 でんち ,由 ゆかり 於在這種電池 でんち 內進行 しんこう 的 てき 反應 はんのう 不 ふ 會 かい 產 さん 生 せい 氣體 きたい ,系統 けいとう 體積 たいせき 不變 ふへん ,方程式 ほうていしき 簡化為 ため
d
U
=
T
d
S
+
E
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S+{\mathcal {E}}\mathrm {d} Z}
。
讓 ゆずる 熵
S
{\displaystyle S}
為 ため
T
{\displaystyle T}
和 わ
Z
{\displaystyle Z}
的 てき 函數 かんすう ,熵的全 ぜん 微分 びぶん 為 ため
d
S
=
(
∂
S
∂
T
)
Z
d
T
+
(
∂
S
∂
Z
)
T
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} S=\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{Z}\mathrm {d} T+\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}\mathrm {d} Z}
。
假設 かせつ 等溫 とうおん 過程 かてい ,那 な 麼,方程式 ほうていしき 右手 みぎて 邊 べ 的 てき 第 だい 一 いち 個 こ 項目 こうもく 等 とう 於零:
d
S
=
(
∂
S
∂
Z
)
T
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} S=\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}\mathrm {d} Z}
。
將 はた 這方程式 ほうていしき 帶 たい 入 にゅう 內能的 てき 方程式 ほうていしき :
d
U
=
{
E
+
T
(
∂
S
∂
Z
)
T
}
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=\left\{{\mathcal {E}}+T\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}\right\}\mathrm {d} Z}
。
這方程式 ほうていしき 右手 みぎて 邊 べ 的 てき 第 だい 二 に 個 こ 項目 こうもく 是 ぜ 「充電 じゅうでん 熱 ねつ 」(heat of charging ),定義 ていぎ 為 ため 在 ざい 一 いち 個 こ 等溫 とうおん 可逆 かぎゃく 的 てき 充電 じゅうでん 過程 かてい ,系統的 けいとうてき 熱 ねつ 能 のう 吸收 きゅうしゅう 率 りつ
C
T
(
Z
)
{\displaystyle C_{T}^{(Z)}}
:
C
T
(
Z
)
=
d
e
f
d
Q
T
d
Z
=
T
(
∂
S
∂
Z
)
T
{\displaystyle C_{T}^{(Z)}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} Q_{T}}{\mathrm {d} Z}}=T\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}}
。
吸收 きゅうしゅう 率 りつ
C
T
(
Z
)
{\displaystyle C_{T}^{(Z)}}
比較 ひかく 不 ふ 容易 ようい 計算 けいさん ,可 か 以找更 さら 有用 ゆうよう 的 てき 變數 へんすう 替 かえ 換 かわ 。思考 しこう 亥 い 姆霍茲自由 じゆう 能 のう
F
{\displaystyle F}
:
d
F
=
d
U
−
d
(
T
S
)
=
−
S
d
T
+
E
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} F=\mathrm {d} U-\mathrm {d} (TS)=-S\mathrm {d} T+{\mathcal {E}}\mathrm {d} Z}
。
所以 ゆえん ,
(
E
,
Z
)
{\displaystyle ({\mathcal {E}},\ Z)}
是 ぜ 一 いち 對 たい 共軛 きょうやく 變量 へんりょう (conjugate variables )。其馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 關係 かんけい 式 しき 為 ため :
(
∂
E
∂
T
)
Z
=
−
(
∂
S
∂
Z
)
T
{\displaystyle \left({\frac {\partial {\mathcal {E}}}{\partial T}}\right)_{Z}=-\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}}
。
帶 おび 入 にゅう 內能的 てき 方程式 ほうていしき :
d
U
=
{
E
−
T
(
∂
E
∂
T
)
Z
}
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=\left\{{\mathcal {E}}-T\left({\frac {\partial {\mathcal {E}}}{\partial T}}\right)_{Z}\right\}\mathrm {d} Z}
。
通常 つうじょう ,電動 でんどう 勢 ぜい 跟溫度 おんど
T
{\displaystyle T}
、電荷 でんか 量 りょう
Z
{\displaystyle Z}
有 ゆう 關 せき 。假 かり 若 わか ,能 のう 夠使丹 たん 尼 に 耳 みみ 電池 でんち 內的溶液 ようえき 保持 ほじ 飽和 ほうわ 狀態 じょうたい ,有 ゆう 很多離 はなれ 子 こ 化合 かごう 物 ぶつ 隨時 ずいじ 準備 じゅんび 分解 ぶんかい 進入 しんにゅう 溶液 ようえき ,則 のり 電動 でんどう 勢 ぜい 跟電荷 でんか 量 りょう 無關 むせき ,只 ただ 跟溫度 おんど 有 ゆう 關 せき :
d
U
=
(
E
−
T
d
E
d
T
)
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=\left({\mathcal {E}}-T{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {E}}}{\mathrm {d} T}}\right)\mathrm {d} Z}
。
對 たい 於丹尼 あま 耳 みみ 電池 でんち ,體積 たいせき 不變 ふへん ,假設 かせつ 等 とう 壓 あつ 過程 かてい ,則 のり 焓 的 てき 改變 かいへん
Δ でるた
H
{\displaystyle \Delta H}
,稱 しょう 為 ため 「反應 はんのう 熱 ねつ 」,等 とう 於內能 のう 的 てき 改變 かいへん :
Δ でるた
H
=
Δ でるた
(
U
+
P
V
)
=
Δ でるた
U
{\displaystyle \Delta H=\Delta (U+PV)=\Delta U}
。
使 つかい 得一 とくいち 莫耳 的 てき 金屬 きんぞく 原子 げんし 進入 しんにゅう 溶液 ようえき 所 しょ 需要 じゅよう 的 てき 電荷 でんか 量 りょう 為 ため
Δ でるた
Z
=
z
N
A
e
{\displaystyle \Delta Z=zN_{A}e}
;
其中,
z
{\displaystyle z}
是 ぜ 金屬 きんぞく 離 はなれ 子 こ 的 まと 電 でん 價 か ,
N
A
{\displaystyle N_{A}}
是 これ 亞 あ 佛 ふつ 加 か 厥常數 すう ,
e
{\displaystyle e}
是 これ 基本 きほん 電荷 でんか 量 りょう 。
假設 かせつ 恆 つね 壓 あつ 、恆 つね 體積 たいせき ,則 のり 電池 でんち 的 てき 熱 ねつ 力學 りきがく 性質 せいしつ 與 あずか 電動 でんどう 勢 ぜい 的 てき 緊密 きんみつ 關係 かんけい ,以方程式 ほうていしき 表 ひょう 達 たち 為 ため
Δ でるた
H
=
z
N
A
e
(
E
−
T
d
E
d
T
)
{\displaystyle \Delta H=zN_{A}e\left({\mathcal {E}}-T{\frac {d{\mathcal {E}}}{\mathrm {d} T}}\right)}
。
這樣,只 ただ 要 よう 得 え 到 いた 電動 でんどう 勢 いきおい 與 あずか 溫度 おんど 之 の 間 あいだ 關係 かんけい 的 てき 資料 しりょう ,從 したがえ 測量 そくりょう 電動 でんどう 勢和 せいわ 溫度 おんど 的 てき 數 すう 據 よりどころ ,很容易 ようい 就能夠準確 かく 地 ち 計 けい 算出 さんしゅつ 某 ぼう 化學 かがく 反應 はんのう 的 てき 反應 はんのう 熱 ねつ [ 15] 。
一條 いちじょう 長 ちょう 度 ど 為 ため
L
{\displaystyle L}
的 てき 細 ほそ 直 ちょく 導線 どうせん 以速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移動 いどう 於磁場 じょう
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
。
許多 きょた 發電 はつでん 機 き 的 てき 基本 きほん 運 うん 作 さく 原理 げんり 涉 わたる 及動生 せい 電動 でんどう 勢 ぜい 概念 がいねん 。移動 いどう 於磁場 じょう 的 てき 導線 どうせん ,其內部會 ぶかい 出現 しゅつげん 電動 でんどう 勢 ぜい ,稱 しょう 為 ため 「動 どう 生 せい 電動 でんどう 勢 ぜい 」。如圖右 みぎ 所 しょ 示 しめせ [ 16] ,假設 かせつ 一 いち 條 じょう 長 ちょう 度 ど 為 ため
L
{\displaystyle L}
的 てき 細 ほそ 直 ちょく 導線 どうせん ,以速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移動 いどう 於磁場 じょう
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
。磁場 じば
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
以箭尾 お 或 ある 叉 また 叉 また 表示 ひょうじ 。思考 しこう 在 ざい 這導線 せん 內的電荷 でんか
q
{\displaystyle q}
,根據 こんきょ 勞 ろう 侖茲力 りょく 定律 ていりつ ,會 かい 感 かん 受到勞 ろう 侖茲力 りょく
F
l
o
r
e
n
t
z
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}}
:
F
l
o
r
e
n
t
z
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
。
在 ざい 這裡,勞 ろう 侖茲力也 りきや 是 これ 磁場 じば 力 りょく 。因 よし 為 ため 感 かん 受到這磁場 じょう 力 りょく ,正 せい 電荷 でんか 會 かい 往導線 せん 的 てき 上端 じょうたん 移動 いどう ,負 ふ 電荷 でんか 會 かい 往導線 せん 的 てき 下端 かたん 移動 いどう 。在 ざい 穩定平衡 へいこう 狀態 じょうたい ,這動作 どうさ 會 かい 形成 けいせい 一 いち 個 こ 電場 でんじょう
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
:
E
=
−
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
。
如同先 さき 前 ぜん 方程式 ほうていしき (1)的 てき 定義 ていぎ ,電動 でんどう 勢 ぜい 定義 ていぎ 為 ため ,遷移 せんい 正 せい 電荷 でんか 於導線路 せんろ 徑 みち
L
{\displaystyle \mathbb {L} }
,從 したがえ 負 ふ 端點 たんてん 到 いた 正 せい 端點 たんてん ,抗拒 こうきょ 電場 でんじょう
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
所 ところ 做的功 こう 每 ごと 單位 たんい 電荷 でんか ,以方程式 ほうていしき 表示 ひょうじ 為 ため
E
=
−
∫
L
E
⋅
d
ℓ
=
∫
L
F
l
o
r
e
n
t
z
q
⋅
d
ℓ
=
v
B
L
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\int _{L}{\frac {\mathbf {F_{lorentz}} }{q}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=vBL}
。
對 たい 於這案 あん 例 れい ,假 かり 若達 わかたつ 到 いた 穩定平衡 へいこう 狀態 じょうたい ,則 のり 電流 でんりゅう 等 とう 於零。假設 かせつ 載 の 流 りゅう 導線 どうせん 與 あずか 其他元 もと 件 けん 連結 れんけつ 成 なり 閉電路 ろ ,則 のり 會 かい 因 いん 為 ため 動 どう 生 せい 電動 でんどう 勢 ぜい 而產生 せい 電流 でんりゅう 。例 れい 如,將 はた 一 いち 個 こ 電 でん 阻
R
{\displaystyle R}
與 あずか 導線 どうせん 的 てき 兩端 りょうたん 相 しょう 連結 れんけつ ,則 のり 流 りゅう 過 か 電 でん 阻的電流 でんりゅう
I
{\displaystyle I}
為 ため
I
=
E
/
R
==
v
B
L
/
R
{\displaystyle I={\mathcal {E}}/R==vBL/R}
。
法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 感應 かんおう 定律 ていりつ 導 しるべ 引
编辑
在 ざい 時間 じかん
t
{\displaystyle t}
,以閉迴路
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
為 ため 邊 べ 緣 えん 的 てき 曲面 きょくめん
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
,和 かず 在 ざい 此曲面 めん
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
某 ぼう 些位置 いち 的 てき 磁場 じば
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
。
一 いち 個 こ 以常速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移動 いどう 於磁場 じょう
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
的 てき 閉迴路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
。
法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 感應 かんおう 定律 ていりつ 指出 さしで ,穿 ほじ 過 か 任意 にんい 曲面 きょくめん 的 てき 磁通量 りょう 變化 へんか 率 りつ ,與 あずか 圍 かこえ 住 じゅう 這任意 にんい 曲面 きょくめん 的 てき 閉迴路 ろ 所 しょ 出現 しゅつげん 的 てき 電動 でんどう 勢 ぜい ,兩者 りょうしゃ 之 の 間 あいだ 的 てき 關係 かんけい 為 ため :
E
=
−
d
Φ ふぁい
B
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
;
其中,
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
是 ぜ 電動 でんどう 勢 ぜい ,
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
是 ぜ 磁通量 りょう ,
t
{\displaystyle t}
是 ぜ 時間 じかん 。
在 ざい 時間 じかん
t
{\displaystyle t}
穿 ほじ 過 か 任意 にんい 曲面 きょくめん
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
的 てき 磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{B}(t)}
定義 ていぎ 為 ため
Φ ふぁい
B
(
t
)
=
d
e
f
∫
Σ しぐま
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle \Phi _{B}(t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }
;
其中,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
是 ぜ 場 じょう 位置 いち ,
d
a
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }
是 ぜ 微小 びしょう 面 めん 元素 げんそ 。
法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 感應 かんおう 定律 ていりつ 的 てき 方程式 ほうていしき ,以積分 ぶん 形式 けいしき 表示 ひょうじ 為 ため
E
=
−
d
d
t
∫
Σ しぐま
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }
。
法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 感應 かんおう 定律 ていりつ 表明 ひょうめい 了 りょう 磁通量 りょう 與 あずか 電動 でんどう 勢 ぜい 之 の 間 あいだ 的 てき 關係 かんけい 。本 ほん 段落 だんらく 會 かい 應用 おうよう 一些向量微積分的方法與工具,從 したがえ 這定律 ていりつ 的 てき 積分 せきぶん 形式 けいしき 推導出 どうしゅつ 微分 びぶん 形式 けいしき 。
假設 かせつ 圍 かこえ 住 じゅう 任意 にんい 曲面 きょくめん
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
的 てき 閉迴路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
以常速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移動 いどう 於磁場 じょう 。那 な 麼,磁通量 りょう 對 たい 於時間 あいだ 的 てき 全 ぜん 微分 びぶん 是 これ [ 17]
d
Φ ふぁい
B
(
t
)
=
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
+
d
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ しぐま
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
+
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
−
∫
Σ しぐま
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
+
∫
Σ しぐま
t
o
t
a
l
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \Phi _{B}(t)&=\int _{\Sigma (t+\mathrm {d} t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t+\mathrm {d} t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+\mathrm {d} t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} +\int _{\Sigma (t+\mathrm {d} t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\mathrm {d} t\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+\mathrm {d} t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\mathrm {d} t\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} +\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} \\\end{aligned}}}
;
其中,
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
是 ぜ 邊 べ 緣 えん 為 ため
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的 てき 曲面 きょくめん ,
Σ しぐま
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
是 ぜ 包括 ほうかつ
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \Sigma (t+\mathrm {d} t)}
、
−
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle -\Sigma (t)}
和 わ
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
的 てき 閉曲面 めん ,
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
是 ぜ 邊 べ 緣 えん
∂
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t+\mathrm {d} t)}
和 わ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
形成 けいせい 的 てき 邊 あたり 緣 えん 曲面 きょくめん 。
根據 こんきょ 散 ち 度 たび 定理 ていり 和 わ 高 こう 斯磁定律 ていりつ ,
∫
Σ しぐま
t
o
t
a
l
B
⋅
d
a
=
∫
V
t
o
t
a
l
∇
⋅
B
d
r
3
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{\mathbb {V} _{total}}\nabla \cdot \mathbf {B} \ \mathrm {d} r^{3}=0}
;
其中,
V
t
o
t
a
l
{\displaystyle \mathbb {V} _{total}}
是 ぜ 閉曲面 めん
Σ しぐま
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
包含 ほうがん 的 てき 空間 くうかん ,
d
r
3
{\displaystyle \mathrm {d} r^{3}}
是 ぜ 微小 びしょう 體積 たいせき 元素 げんそ 。
以線積分 せきぶん 表示 ひょうじ 來 らい 表示 ひょうじ 穿 ほじ 過 か 邊 あたり 緣 えん 曲面 きょくめん
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
的 てき 磁通量 りょう :
∫
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
B
⋅
d
a
=
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
B
⋅
[
d
ℓ
×
(
v
d
t
)
]
=
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
[
(
v
d
t
)
×
B
]
⋅
d
ℓ
{\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} \mathrm {d} t)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} \mathrm {d} t)\times \mathbf {B} ]\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
。
所以 ゆえん ,磁通量 りょう 對 たい 於時間 あいだ 的 てき 全 ぜん 導 しるべ 數 すう ,或 ある 磁通量的 りょうてき 變化 へんか 率 りつ 為 ため
d
Φ ふぁい
B
(
t
)
d
t
=
∫
Σ しぐま
(
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
−
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
v
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}(t)}{\mathrm {d} t}}=\int _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
。
假設 かせつ ,在 ざい 以常速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移動 いどう 於實驗 じっけん 室 しつ 參考 さんこう 系 けい 的 てき 閉迴路 ろ
∂
Σ しぐま
{\displaystyle \partial \Sigma }
內部,有 ゆう 一 いち 個 こ 電荷 でんか
q
{\displaystyle q}
以相對 たい 速度 そくど
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
運動 うんどう 於閉迴路
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
,則 のり 電荷 でんか 以相對 たい 速度 そくど
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
運動 うんどう 於實驗 じっけん 室 しつ 參考 さんこう 系 けい :
w
=
u
+
v
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }
。
注意 ちゅうい 到 いた
u
×
d
ℓ
=
0
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=0}
,所以 ゆえん ,
d
Φ ふぁい
B
(
t
)
d
t
=
∫
Σ しぐま
(
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
−
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
w
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}(t)}{\mathrm {d} t}}=\int _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {w} \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
。
這電荷 でんか
q
{\displaystyle q}
會 かい 感 かん 受到勞 ろう 侖茲力 りょく
F
L
o
r
e
n
t
z
=
q
(
E
+
w
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{Lorentz}=q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )}
。
電動 でんどう 勢 ぜい
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
定義 ていぎ 為 ため
E
=
d
e
f
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
F
L
o
r
e
n
t
z
q
⋅
d
ℓ
=
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\partial \Sigma (t)}{\frac {\mathbf {F} _{Lorentz}}{q}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\int _{\partial \Sigma (t)}(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
。
應用 おうよう 斯托克 かつ 斯定理 ていり ,
E
=
∫
Σ しぐま
(
t
)
(
∇
×
E
)
⋅
d
a
+
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
(
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{\Sigma (t)}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} +\int _{\partial \Sigma (t)}(\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
。
從 したがえ 法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 感應 かんおう 定律 ていりつ 方程式 ほうていしき 的 てき 積分 せきぶん 形式 けいしき ,除去 じょきょ 相 しょう 同 どう 的 まと 線 せん 積分 せきぶん 項目 こうもく ,即 そく 動 どう 生 せい 電動 でんどう 勢 ぜい 項目 こうもく ,令 れい 剩 あま 下 した 的 てき 感 かん 生 せい 電動 でんどう 勢 ぜい 項目 こうもく 相等 そうとう ,可 か 以得到 いた
∫
Σ しぐま
(
t
)
(
∇
×
E
)
⋅
d
a
=
−
∫
Σ しぐま
(
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\Sigma (t)}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-\int _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }
。
由 よし 於
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
是 ぜ 任意 にんい 曲面 きょくめん ,可 か 以將被 ひ 積 せき 式 しき 從 したがえ 積分 せきぶん 中 ちゅう 取出 とりで :
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
。
這就是 ぜ 法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 感應 かんおう 定律 ていりつ 方程式 ほうていしき 的 てき 微分 びぶん 形式 けいしき ,即 そく 馬 うま 克 かつ 士 し 威 たけし -法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 方程式 ほうていしき 。反 はん 之 これ ,也可以從微分 びぶん 形式 けいしき 推導出 どうしゅつ 積分 せきぶん 形式 けいしき 。
不 ふ 論 ろん 磁場 じば 是 ぜ 不 ふ 含時的 てき 或 ある 含時的 てき ,不 ふ 論 ろん 閉迴路 ろ 是 ぜ 剛 ごう 硬 かた 固定 こてい 的 てき 、是 ぜ 在 ざい 運動 うんどう 中 ちゅう 、是 ぜ 在 ざい 形 かたち 變 へん 過程 かてい 中 ちゅう ,法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 感應 かんおう 定律 ていりつ 都 と 成立 せいりつ 。但 ただし 是 ぜ ,對 たい 於某些案例 れい ,法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 感應 かんおう 定律 ていりつ 並 なみ 不 ふ 適用 てきよう 或 ある 使用 しよう 起 おこり 來 らい 很困難 なん 。這時候 じこう ,必須 ひっす 使用 しよう 勞 ろう 侖茲力 りょく 定律 ていりつ 。詳 しょう 盡 つき 細 ぼそ 節 ふし ,請參閱法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 感應 かんおう 定律 ていりつ 不 ふ 適用 てきよう 案 あん 例 れい 。
假設 かせつ 閉迴路 ろ 移動 いどう 於不含時磁場 じば
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
,穿 ほじ 過 か 閉迴路 ろ 的 てき 磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
會 かい 因 いん 為 ため 幾 いく 種 しゅ 因 いん 素 もと 而改變 かいへん :例 れい 如,假 かり 若 わか 磁場 じば
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
隨 ずい 著 ちょ 位置 いち 改變 かいへん ,閉迴路 ろ 移動 いどう 至 いたり 不同 ふどう 磁場 じば
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
的 てき 位置 いち ,則 のり 磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
會 かい 改變 かいへん 。或 ある 者 もの ,假 かり 若 わか 相對 そうたい 於磁場 じょう ,閉迴路 ろ 的 てき 定 てい 向 むかい 改變 かいへん ,由 ゆかり 於微小 びしょう 元素 げんそ
B
⋅
d
a
{\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }
的 てき 改變 かいへん ,磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
也會改變 かいへん 。再 さい 舉一 いち 個 こ 例 れい 子 こ ,假 かり 若 わか 閉迴路 ろ 掃掠過 か 一個均勻的不含時磁場,由 よし 於閉迴路的 てき 形 がた 變 へん ,磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
會 かい 改變 かいへん 。對 たい 於這三 さん 個 こ 案 あん 例 れい ,法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 感應 かんおう 定律 ていりつ 會 かい 正確 せいかく 地 ち 計 けい 算出 さんしゅつ 磁通量 りょう 變化 へんか 率 りつ
d
Φ ふぁい
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
所產 しょさん 生 せい 的 てき 電動 でんどう 勢 ぜい 。
對比 たいひ 前面 ぜんめん 所 しょ 述 じゅつ 狀況 じょうきょう ,假設 かせつ 固定 こてい 的 てき 閉迴路 ろ 處 しょ 於含時 じ 磁場 じば
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
,馬 うま 克 かつ 士 し 威 たけし -法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 方程式 ほうていしき 會 かい 顯示 けんじ 出 で 一 いち 個 こ 非 ひ 保守 ほしゅ 性 せい 的 てき 電場 でんじょう
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
產 さん 生 せい 於閉迴路,靠 もたれ 著 ちょ 勞 ろう 侖茲力 りょく 的 てき
q
E
{\displaystyle q\mathbf {E} }
項目 こうもく ,驅使 くし 帶電 たいでん 粒子 りゅうし 移動 いどう 於閉迴路。這狀況 きょう 也會改變 かいへん 磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
,法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 感應 かんおう 定律 ていりつ 會 かい 正確 せいかく 地 ち 計 けい 算出 さんしゅつ 磁通量 りょう 變化 へんか 率 りつ
d
Φ ふぁい
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
所產 しょさん 生 せい 的 てき 電動 でんどう 勢 ぜい 。