伯はく努つとむ利とぎ不等式ふとうしき

數學すうがく中なか的てき伯はく努つとむ利とぎ不等式ふとうしき指出さしで：對たい任意にんい整數せいすう$n\geq 1$，和かず任意にんい實數じっすう$x\geq -1$有ゆう：

$(1+x)^{n}\geq 1+nx$；

如果$n\geq 0$且是偶數ぐうすう，則のり不等式ふとうしき對たい任意にんい實數じっすう$x$成立せいりつ。

可か以看到いた在ざい$n=0,1$，或ある$x=0$時どき等號とうごう成立せいりつ，而對任意にんい正せい整數せいすう$n\geq 2$和かず任意にんい實數じっすう$x\geq -1$，$x\neq 0$，有ゆう嚴格げんかく不等式ふとうしき：

$(1+x)^{n}>1+nx\,$。

伯はく努つとむ利とぎ不等式ふとうしき經常けいじょう用作ようさく證明しょうめい其他不等式ふとうしき的てき關せき鍵かぎ步ふ驟。

證明しょうめい和わ推廣

伯はく努つとむ利とぎ不等式ふとうしき可か以用數學すうがく歸納きのう法ほう證明しょうめい：當とう$n=0,1$，不等式ふとうしき明あかり顯あらわ成立せいりつ。假設かせつ不等式ふとうしき對たい正せい整數せいすう$n$，實數じっすう$x\geq -1$時どき成立せいりつ，那な麼

$(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)$

$=1+(n+1)x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x$。

下面かめん是ぜ推廣到いた實數じっすう冪べき的てき版本はんぽん：如果$x>-1$，那な麼：

若わか$r\leq 0$或ある$r\geq 1$，有ゆう$(1+x)^{r}\geq 1+rx$；

若わか$0\leq r\leq 1$，有ゆう$(1+x)^{r}\leq 1+rx$。

這不等式とうしき可か以用導しるべ數すう比較ひかく來らい證明しょうめい：

當とう$r=0,1$時とき，等式とうしき顯然けんぜん成立せいりつ。

在ざい$(-1,\infty )$上うえ定義さだよし$f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)$，其中$r\neq 0,1$， 對たい$x$求もとめ导得$f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r$， 則のり$f'(x)=0$當とう且僅當とう$x=0$。分ぶん情況じょうきょう討論とうろん：

1. $0<r<1$，則のり對たい$x>0$，$f'(x)<0$；對たい$-1<x<0$，$f'(x)>0$。因よし此$f(x)$在ざい$x=0$時とき取と最大さいだい值$0$，故こ得とく$(1+x)^{r}\leq 1+rx$。
2. $r<0$或ある$r>1$，則のり對たい$x>0$，$f'(x)>0$；對たい$-1<x<0$，$f'(x)<0$。因よし此$f(x)$在ざい$x=0$時とき取と最小さいしょう值$0$，故こ得とく$(1+x)^{r}\geq 1+rx$。

在ざい這兩種しゅ情況じょうきょう，等號とうごう成立せいりつ當とう且僅當とう$x=0$。

相關そうかん不等式ふとうしき

下しも述じゅつ不等式ふとうしき從したがえ另一いち邊へん估計$(1+x)^{r}$：對たい任意にんい$x,{\mbox{ }}r>0$，都みやこ有ゆう

$(1+x)^{r}<e^{rx}\,$。

我わが们知道どう$1+x<e^{x}$（$x>0$），因いん此这个不等式とうしき是ぜ平凡へいぼん的てき。