协变微ほろ商しょう

数学すうがく上うえ，共きょう变导数すう或ある称しょう协变导数是ぜ在ざい流りゅう形がた上じょう定てい义沿着ぎ向むかい量りょう场的てき导数的てき方法ほうほう之の一いち。

事こと实上，除じょ了りょう引入的てき风格不同ふどう之の外そと，共きょう变导数すう和わ联络没ぼつ有ゆう实质上じょう的てき区く别。

在ざい黎はじむ曼和わ伪黎曼流形がた理り论中，共きょう变导数すう通常つうじょう指ゆび列れつ維-奇き維塔聯絡れんらく。

这里，我わが们给出で一个向量相对于向むかい量りょう场的まと共ども变导数すう(也称为张量导数)的てき传统的てき带指标记号ごう的てき简介；张量的まと共ども变导数すう是ぜ同一どういつ概念的がいねんてき推广。

本条ほんじょう目め中ちゅう，我わが们使用しよう爱因斯坦记号。我わが们假设读者しゃ熟じゅく悉微ほろ分流ぶんりゅう形がた的てき概念がいねん特とく别是关于切きり向むこう量りょう的てき概念がいねん。

一般いっぱん概念がいねん

向むかい量りょうu的てき沿着向むこう量りょうv的てき共きょう变导数すう $\nabla$ (也写作さくD)是ぜ一个定义第三个称为$\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ (也作 D_vu)的てき向こう量的りょうてき规则，它有如下面めん所しょ述じゅつ的てき导数的てき属性ぞくせい。向むこう量りょう是ぜ一いち个几何なん对象，和わ所しょ选基(坐すわ标系统)无关。固定こてい一个坐标系之后，这个导数和わ向むこう量りょう基もと自身じしん的てき变换规则相しょう同どう(共きょう变变换)，所以ゆえん有ゆう这个名字みょうじ。

在ざい欧おう几里得とく空そら间的てき情じょう形がた，如果有ゆう一いち个标准正せい交坐すわ标系，一般いっぱん会かい用よう两个相近すけちか的てき点てん的てき两个向こう量的りょうてき差さ来らい定てい义向量りょう场的导数。

在ざい这样的てき系けい统中，平ひら移うつり其中一个向量到另一个的原点，保持ほじ和わ原ばら来らい的てき向むかい量平りょうへい行ぎょう。这样得え到いた的てき欧おう氏し空そら间的共ども变导数すう可か以取每ごと个分量的りょうてき导数。

但ただし是ぜ在ざい一般いっぱん情じょう况，我わが们必须把坐すわ标系的てき变化考こう虑在内ない。在ざい弯曲空そら间中，例れい如地球ちきゅう表面ひょうめん（作さく为一个球面めん），平ひら移うつり没ぼつ有ゆう严谨的てき定てい义，而和它相似そうじ的てき概念がいねん，平行へいこう移うつり动，依よ赖于向むこう量りょう被ひ平たいら移うつり的てき路ろ径みち。例れい如，在ざい二维欧几里得平面极坐标中なか，导数包含ほうがん了りょう额外的てき项用于表述じゅつ坐すわ标格点てん自身じしん如何いか“转动”。在ざい其他的てき情じょう况下，还有额外的てき项描述じゅつ坐すわ标格点てん如何いか扩张，收おさむ缩，扭转，交织，等とう等とう。

这是一个二维欧氏空间中的极坐标中的曲线的一个例子。在ざい曲きょく线参数すう t 的まと向むこう量りょう(比ひ如说加速度かそくど，不在ふざい图中)可か以表达在坐すわ标系$({\mathbf {e} }_{r},{\mathbf {e} }_{\theta })$中なか，其中${\mathbf {e} }_{r}$ 和わ ${\mathbf {e} }_{\theta }$是ぜ极坐标中的てき单位切きり向むこう量りょう，用作ようさく把わ一个向量分解为在辐向和切向分量的基底。稍やや后きさき，极坐标的新しん基底きてい会かい相しょう对于第だい一套基底稍有转动。基もと向むこう量りょう的まと共ども变导数すう（克かつ里さと斯托费尔符号ふごう可か以表达这个变化か）。

(可能かのう最さい好こう不要ふよう把わt看み作さく时间参さん数すう，至いたり少しょう在ざい广义相しょう对论的てき应用中ちゅう不要ふよう这样。它只是ぜ一个任意参数沿着路径光滑而单调的变化。）

另一个例子こ:向むこう量りょうe在ざい球たま上位じょうい于赤道上どうじょう的てき一いち点てんQ，方向ほうこう朝あさ北きた。假かり设我们首先さき沿着赤道せきどう平行へいこう移うつり动该向量りょう直ちょく到いたP（然しか后きさき保持ほじ它和自己じこ平行へいこう））着ちゃく子こ午うま线把它拖到北きた极N然しか后きさき（保持ほじ方向ほうこう）继续沿着另一条子午线移动它回到Q。然しか后きさき我わが们注意ちゅうい到いた沿着封ふう闭回路ろ平行へいこう移うつり动的向むこう量りょう不ふ会かい回かい到いた原げん来き的てき向むこう量りょう;它会变成另外一いち个方向ほうこう。这在欧おう氏し空そら间不会かい发生，它发生せい的てき原因げんいん是ぜ球だま的てき曲面きょくめん上じょう的てき曲きょく率りつ。如果我わが们沿着ぎ无穷小しょう闭曲面めん依よ次じ沿着两个不同ふどう方向ほうこう然しか后きさき返かえし回かい，我わが们会看み到いた同どう样的现象。向こう量的りょうてき无穷小しょう变化是ぜ曲きょく率りつ的てき一いち个测量りょう。

备注

定てい义中的てき向むこう量りょう u 和わ v 是ぜ定てい义在同どう一いち点てん p 的てき。而且共ども变导数すう$\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$也是 p 的てき一いち个向量りょう。

共きょう变导数すう的てき定てい义不用よう空そら间的度量どりょう。但ただし是ぜ，一个给定的度量唯一的确定了一个特殊的共变导数，称しょう为列れつ维-奇き维塔联络。

导数的てき性せい质暗示あんじ者しゃ$\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$依よ赖于p周しゅう围的情じょう况，就像标量函数かんすう在ざい一いち点てんp沿着曲きょく线的导数依よ赖于p点てん周しゅう围一样。

在ざい共きょう变导数すう中ちゅう关于点てん p 围的信しん息いき可か以用来き定てい义向量的りょうてき平行へいこう移うつり动。而且曲きょく率りつ，挠率和わ测地线也可以只用よう共ども变导数すう来らい定てい义。

偶尔，术语“共きょう变导数すう”指ゆび一いち个一般いっぱん向むかい量りょう丛沿着基もと空そら间的一いち个切きり向むこう量りょう的てき截面的てき导数；参看さんかん“联络形式けいしき”中ちゅう的てき“向むこう量りょう丛”的てき有ゆう关章节。

形式けいしき化か定てい义

函数かんすう

给定流りゅう形がた$M$上うえ一いち点てん$p$和かず其上一いち个实函数かんすう$f$， $f$在ざい$p$点てん沿$\mathbf {v}$的まと共ども边导数すう是ぜ一いち个定义在$p$处的标量，记为$(\nabla _{\mathbf {v} }f)_{p}$，$(\nabla _{\mathbf {v} }f)_{p}$等とう于实函数かんすう$f$在ざい$p$处沿向むこう量りょうv方向ほうこう的てき通常つうじょう导数，$\nabla _{\mathbf {v} }f$也可以记为${\mathbf {v} }f$ 或ある者もの$df({\mathbf {v} })$。

向むかい量りょう场

向むかい量りょう场${\mathbf {u} }$ 在ざい向むこう量りょう${\mathbf {v} }$方向ほうこう的てき共きょう变导数すう $\nabla$记为$\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 对任意向いこう量りょう场 u, v, w 和かず标量函数かんすうf和わg由よし下か列れつ性せい质定义:

1. $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 对于${\mathbf {v} }$ 代数だいすう式しき线性所以ゆえん$\nabla _{f{\mathbf {v} }+g{\mathbf {w} }}{\mathbf {u} }=f\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+g\nabla _{\mathbf {w} }{\mathbf {u} }$
2. $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 对于${\mathbf {u} }$可か加か，所以ゆえん$\nabla _{\mathbf {v} }({\mathbf {u} }+{\mathbf {w} })=\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {w} }$
3. $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 遵守じゅんしゅ乘の积法则， 也就是ぜ说 $\nabla _{\mathbf {v} }f{\mathbf {u} }=f\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+{\mathbf {u} }\nabla _{\mathbf {v} }f$ 其中$\nabla _{\mathbf {v} }f$ 如前所定しょてい义。

注意ちゅうい$\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$在ざい点てんp依よ赖于v在ざいp点てん的てき值以及u在ざいp的てき一个邻域的值，因いん为最有ゆう一个性质乘积法则的要求。这表示ひょうじ共ども变导数すう不ふ是ぜ一いち个张量りょう。

餘よ向こう量りょう場じょう

给定餘よ向こう量りょう场(或ある者もの说1-形式けいしき) $\alpha$，其共变导数すう $\nabla _{\mathbf {v} }\alpha$ 可か以用下か边的对于所しょ有向ゆうこう量りょう场u都と满足的てき恒等こうとう式しき来らい定てい义

$\nabla _{\mathbf {v} }(\alpha ({\mathbf {u} }))=(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )({\mathbf {u} })+\alpha (\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }).$

餘よ向こう量りょう场沿着ぎ一个向量场v的まと共ども变导数すう还是一个餘向量场。

张量场

一旦定义了向量和余向量场的共变导数，它就可か以定义到任にん一いち张量场上，这要用よう如下的てき恒等こうとう式しき，其中$\varphi$和わ$\psi$是ぜ任意にんい两个张量:

$\nabla _{\mathbf {v} }(\varphi \otimes \psi )=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )\otimes \psi +\varphi \otimes (\nabla _{\mathbf {v} }\psi ),$

并且，若わか$\varphi$和わ$\psi$是ぜ同どう一个张量丛的张量场，则

$\nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )=\nabla _{\mathbf {v} }\varphi +\nabla _{\mathbf {v} }\psi .$

沿着向むこう量りょう场v的まと共ども变导数すう也还是ぜ同どう类型的てき张量场。

坐すわ标表示ひょうじ

给定坐すわ标函数すう$x^{i},\ i=0,1,2,...$，任にん何なに切きり向むこう量りょう都と可か以用它的在ざい基もと$e_{i}={\partial \over \partial x^{i}}$中なか的てき分量ぶんりょう表示ひょうじ。 共きょう变导数すう是ぜ一いち个向量りょう，所以ゆえん可か以表示ひょうじ为基向こう量的りょうてき线性组合Γがんま^ke_k，其中Γがんま^k 是ぜ分量ぶんりょう（参看さんかん爱因斯坦记号)。 要よう给定共ども变导数すう，给定每ごと个基向むこう量りょう场e_j 沿着e_i的まと共ども变导数すう就可以了

$\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}{\mathbf {e} }_{j}=\Gamma ^{k}{}_{ij}{\mathbf {e} }_{k},$

系けい数すう$\Gamma _{ij}^{k}$称しょう为克かつ里さと斯托费尔符号ふごう。 然しか后きさき使用しよう定てい义中的てき规则，我わが们发现对于一般的向量场 ${\mathbf {v} }=v^{i}e_{i}$ and ${\mathbf {u} }=u^{i}e_{i}$ 可か以得到いた

$\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }=(v^{i}u^{j}\Gamma ^{k}{}_{ij}+v^{i}{\partial u^{k} \over \partial x^{i}}){\mathbf {e} }_{k},$

这个公式こうしき的てき第だい一项代表了坐标系对于共变导数的"扭转"，而第二项代表了向量场u的てき分量ぶんりょう的てき变化。特とく别的有ゆう

$\nabla _{{\mathbf {e} }_{j}}{\mathbf {u} }=\nabla _{j}{\mathbf {u} }=\left({\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{j}}}+u^{k}\Gamma ^{i}{}_{jk}\right){\mathbf {e} }_{i}$

用よう语言描述的てき话: 共きょう变导数すう是ぜ一般的沿着坐标的导数加上关于坐标改变的校正项。在ざい物理ぶつり教科きょうか书中，共きょう变导数すう有ゆう时只用よう这个方かた程ほど中なか的てき分量ぶんりょう形式けいしき表ひょう述じゅつ。

一个常用的记法是，用よう一个分号表示共变导数，而用一个逗号表示普通导数。在ざい这个记号下か，我わが们把同どう样的公式こうしき写うつし作さく::

$\nabla _{j}{\mathbf {v} }\equiv v^{i}{}_{;j}\;\;\;\;\;\;v^{i}{}_{;j}=v^{i}{}_{,j}+v^{k}\Gamma ^{i}{}_{kj}$

这再次じ表明ひょうめい了りょう向むこう量りょう场的共ども变导数すう不ふ仅仅是ぜ从沿着き坐すわ标的微分びぶん中ちゅう得え到いた $v^{i}{}_{,j}$，而且是ぜ通どおり过$v^{k}\Gamma ^{i}{}_{kj}$依よ赖于向むこう量りょうv本身ほんみ的てき。

相關そうかん條目じょうもく

• 联络
• 联络形式けいしき
• 列れつ維-奇き維塔聯絡れんらく
• 克かつ里さと斯托費ひ爾しか符號ふごう