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图子しき

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ざい图论なか,如果无向图H以通过图G删除边和顶点あるおさむ边得いた,则称H为Gてきしき(minor)ある

图子しきてき提出ていしゅつげんかわらかく定理ていり,这个定理ていり表明ひょうめいとう且仅とういち个图存在そんざい完全かんぜんK5完全かんぜんふんK3,3てきしき时,这个图才平面へいめん[1] 罗伯逊-西にし定理ていりえいRobertson–Seymour theorem表明ひょうめい,对于にんなんざい图上删除てんある边或おさむ缩边保留ほりゅうてきせい质,类似てききんしきひょうせいえいforbidden minor characterization(forbidden minor characterization)也存在そんざい[2] 给定图G图H,以在项式时间うち判断はんだんHGてきしき[3] 连同上述じょうじゅつきんしきひょうせい,这意味いみ着任ちゃくにんなん删除てんある边和おさむ缩边保留ほりゅうてき图的属性ぞくせい以在项式时间ない识别。[4] 其他わたる及到图子しきてき定理ていり猜想包括ほうかつ图结构定理ていりえいgraph structure theoremHadwiger猜想えいHadwiger conjecture (graph_theory)ひとし

てい

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边收缩(contraction)ざい上移かみうつしじょ一条边同时合并这条边的两个邻点。一个无向图H另一个无向图Gてきしき,如果Gつう过一系列的收缩边、删除边、删除孤立こりつてん以得いたいちどうHてき图。这一系列收缩和删除操作的顺序不影响最后得到的图H

れい

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HGてきしき

H. 图H

G. 图G

以下いか显示りょう如何いか构造しきくびさきじょ图Gちゅうきょ线边,さい孤立こりつてき顶点,さいきさき对灰しょく边进ぎょう边收缩即いた图H。

从图G变为图H

主要しゅよう结论猜想

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以很ちょく接地せっち验证,ざいどう构意义上,图子しき关系いちへんじょ关系:它满あしはんせい自己じこ自己じこてきしき)、はん对称せい(图GH互为しき仅当它们どう构)、传递せい(图Gてきしきてきしき也是图Gてきしき)。あま尔·罗伯逊えいNeil Robertson (mathematician)罗·西にしえいPaul Seymour (mathematician)提出ていしゅつりょう一个更深刻的结论:图子しき关系实际じょういちりょうなずらえじょ关系:给定一串无穷的图序列G1, G2,...总是存在そんざいi < j使つかいとく GiこれGjてきしき。一个等价的表述是,任意にんいてき一簇图的集合必然只有有限个子式意义下的极小もと[5]。这个结论验证りょうさきまえてきいち个猜そうかわらかく纳猜そう。它很就被かつひしげ斯·かわらかくえいKlaus Wagner提出ていしゅつちょくいたり1970ねんざい发表。[6]

ざい们证あかりてき过程ちゅう西にし罗伯逊也どう时证あきらりょう图结构定理ていりえいgraph structure theorem。对于一个给定的图H,这个定理ていりこくりょう包含ほうがんH-しきてき图的结构。这个定理ていりてき严格ひょうじゅつまた长又复杂,ただし简而ごと,它证あきらりょう这样一个图必须具有由嵌在有界亏格曲面きょくめんじょうてき图以しょう方式ほうしきおさむあらため而成てき图的团和えいClique-sum结构。よし此,们的建立こんりゅうりょう图子しき图的つぶせ嵌入かんにゅうこれ间的基本きほん联系。[7]

对于任意にんいH,无H-しきてき简单图必须是まれ疏的,そく图的边数しょう于等于一个常数倍的图的阶数[8]さらせい确地,如果图Hゆうh个点,么有n个顶てんてき包含ほうがんH-しきてき简单图Gゆういたりおおじょう边。包含ほうがんKh-しきてき图至しょうゆう这么じょう边。[9]いん此,Gてき平均へいきんこれ级别てきさらいち包含ほうがんH-しきてき图有いち个和平面へいめん分割ぶんかつ定理ていりえいplanar separator theorem类似てき分割ぶんかつ定理ていり:给定Hかず任意にんい包含ほうがんH-しきてきn阶图G以找到Gてき顶点,使つかいとく删除这些てん以将Gぶんなり两个(可能かのう连通てき图,使つかいとくごと个子图有いたり2n/3个顶てん[10]さら强的ごうてき结论,对于任意にんいてきH包含ほうがんH-しきてきn阶图Gてき树宽これ数量すうりょう级的。[11]

Hadwiger猜想えいHadwiger conjecture (graph_theory)表明ひょうめい,如果图G包含ほうがんk阶完全かんぜんしきG以被(k − 1)-着色ちゃくしょく[12]k = 5てきじょう况即为よんしょく定理ていり。Hadwiger猜想ざいk ≤ 6てきじょう况下やめ经被证实[13]ただしさら一般的情况下还没有定论。Bollobás, Catlin & Erdős (1980) しょう它为“图论ちゅう最深さいしんこくてきなおかい决的问题いち”。另一个将四色定理和图子式联系起来的猜想是snark猜想えいSnark (graph theory),它表明ひょうめい任意にんいわりてき3-せい则图,如果它的边色すうとう于4,佩特もり一定いってい它的しき[14]

まいり

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ちゅう

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  1. ^ Lovász (2006), p. 77; Wagner (1937a).
  2. ^ Lovász (2006), theorem 4, p. 78; Robertson & Seymour (2004).
  3. ^ Robertson & Seymour (1995).
  4. ^ Fellows & Langston (1988).
  5. ^ Diestel (2005), Chapter 12: Minors, Trees, and WQO; Robertson & Seymour (2004).
  6. ^ Lovász (2006), p. 76.
  7. ^ Lovász (2006), pp. 80–82; Robertson & Seymour (2003).
  8. ^ Mader (1967).
  9. ^ Kostochka (1982); Kostochka (1984); Thomason (1984); Thomason (2001).
  10. ^ Alon, Seymour & Thomas (1990); Plotkin, Rao & Smith (1994); Reed & Wood (2009).
  11. ^ Grohe (2003)
  12. ^ Hadwiger (1943)
  13. ^ Robertson, Seymour & Thomas (1993).
  14. ^ Thomas (1999); Pegg (2002).

参考さんこう文献ぶんけん

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外部がいぶ链接

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