微分びぶん结构

在ざい数学すうがく中なか，集合しゅうごうM上うえ的てき一いち个n-维微分びぶん结构（differential structure）或ある可か微ほろ结构（differentiable structure）是ぜ一个带有附加结构（使つかい得え我わが们可以在该流形がた上じょう做微ほろ积分）的てき拓つぶせ扑流形がた，使つかい其成为一个n-维微ほろ分流ぶんりゅう形がた。如果M已やめ经是一いち个拓扑流形がた，我わが们要求ようきゅう新拓しんたく扑与原ばら来らい已やめ有ゆう的てき拓つぶせ扑相同どう。

定てい义

对一个自然しぜん数すうn与あずか可能かのう为非负整数すう或ある无穷的てき某ぼう个k，一いち个n-维C^k微分びぶん结构是ぜ用よう一いち个C^k-图册定てい义的，这是在ざいM的てき一いち些子集しゅう（其并集しゅう是ぜ整せい个M）与あずかn维向むかい量りょう空そら间的てき一些开子集之间的双そう射い集合しゅうごう（称しょう为坐すわ标卡）。

\varphi _{i}:M\supset W_{i}\rightarrow U_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}

。

它们是ぜ C^k-相あい容よう的てき（在ざい下面かめん定てい义的意い义下）：

每まい个这样的映うつ射い提供ていきょう了りょう将しょう流りゅう形がた的てき某ぼう些子集しゅう可か视为 $\mathbb {R} ^{n}$ 中なか的てき开子集しゅう的てき一いち种方式しき，但ただし此想法的ほうてき有效ゆうこう性せい取と决于当とう两个这样的てき映うつ射的しゃてき定てい义域重合じゅうごう时它们相同どう的まと程度ていど。

考こう虑两个坐标卡：

\varphi _{i}:W_{i}\rightarrow U_{i}

，

\varphi _{j}:W_{j}\rightarrow U_{j}

。

这两个函数すう定てい义域的てき交集是ぜ：

W_{ij}=W_{i}\cap W_{j}\;

通つう过两个坐标卡映射い映うつ到いた两个像ぞう

U_{ij}=\varphi _{i}\left(W_{ij}\right)

，

U_{ji}=\varphi _{j}\left(W_{ij}\right)

两个坐标卡之の间的转移映うつ射い是ぜ此交集しゅう在ざい两个坐标卡映射しゃ下か的てき两个像ぞう之の间的映うつ射しゃ。

\varphi _{ij}:U_{ij}\rightarrow U_{ji}

\varphi _{ij}(x)=\varphi _{j}\left(\varphi _{i}^{-1}\left(x\right)\right)

。

两个坐标卡 $\varphi _{i},\,\varphi _{j}$ 是これC^k-相あい容よう的てき，如果

U_{ij},\,U_{ji}

是ぜ开集，且转移うつり映うつ射い

\varphi _{ij},\,\varphi _{ji}

有ゆうk阶连续导数すう。如果k = 0，我わが们只要求ようきゅう转移映うつ射い是ぜ连续的てき，故こ一いち个C⁰-图册只ただ不ふ过是定てい义拓扑流形がた的てき另一个方法ほう。如果k = ∞，所有しょゆう阶导数すう都と必须连续。覆くつがえ盖了整せい个流形がた的てき一族いちぞくC^k-相あい容よう坐すわ标卡是ぜ定てい义了一いち个C^k微ほろ分流ぶんりゅう形がた的てきC^k-图册。两个图册是ぜ C^k-等とう价的てき如果他た们坐标卡集合しゅうごう的てき并集组成一いち个C^k-图册。特とく别的，一いち个C^k-图册与あずか定てい义拓扑流形がた的てき一いち个C⁰-图册C⁰-相あい容よう，则说在ざい此拓扑流形がた上じょう定てい义了一いち个C^k微分びぶん结构。这样图册的てきC^k 等とう价类是ぜ此流ながれ形がた不同ふどう的てきC^k微分びぶん结构。每まい个不同ふどう的てき微分びぶん结构由よし惟おもんみ一一个极大图册确定，即そく此等价类中ちゅう所有しょゆう图册的てき并集。

存在そんざい性せい与あずか惟おもんみ一いち性せい定てい义

对k>0，有ゆうC^k结构的てき任にん何なん流りゅう形がた上じょう，存在そんざい惟おもんみ一いちC^k-相あい容よう的てきC^∞-结构，这是惠めぐみ特とく尼あま的てき一いち个定理ていり。另一方面ほうめん，存在そんざい拓つぶせ扑流形がた没ぼつ有ゆう任にん何なん微分びぶん结构，参まいり见唐から纳森定理ていり（与あずか希まれ爾しか伯はく特とく第だい五ご問題もんだい比ひ较）。

当人とうにん们数一个流形上微分结构的多少时，往往おうおう模も去さ保ほ定てい向むかい同どう胚はい。维数小しょう于4的てき任にん何なん紧致流りゅう形がた上じょう只ただ有ゆう惟おもんみ一いち一いち个微分ぶん结构。对维数すう大だい于4的てき所有しょゆう流りゅう形がた上じょう存在そんざい有限ゆうげん个微分ぶん结构。在ざい $\mathbb {R} ^{n}$ 上うえ只ただ有ゆう一个微分结构，除じょ非ひ $n=4$ 的てき情じょう形がた，有ゆう不可ふか数すう多た个。

维数从1到いた18的てき球面きゅうめん上じょう微分びぶん结构

下表かひょう列れつ出で了りょう维数到いた18的てき $n$ -维球面めん上じょう（光ひかり滑すべり）微分びぶん结构（模も去さ保持ほじ定てい向むこう的てき微分びぶん同どう胚はい）数すう目もく。球面きゅうめん带有与あずか通常つうじょう的てき不同ふどう的てき微分びぶん结构称しょう为怪かい球面きゅうめん。

维数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
结构	1	1	1	?	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16

除じょ了りょう至いたり少しょう有ゆう一いち个，目前もくぜん仍不知道ともみち在ざい4-维球面めん上じょう有ゆう多少たしょう微分びぶん结构。可能かのう是ぜ一いち个，有限ゆうげん个或无限个。只ただ有ゆう一个的断言称为光ひかり滑すべり庞加莱猜想そう。大だい多数たすう数学すうがく家相かそう信しん这个猜想是ぜ错的，即そく在ざい4-维球面めん上じょう不ふ止とめ一いち个微分ぶん结构。这个问题与あずか开4-维球体きゅうたい上うえ不ふ止とめ一个微分结构有关。

拓つぶせ扑流形がた上じょう的てき微分びぶん结构

上うえ已やめ提ひっさげ到いた，在ざい维数小しょう于4的てき拓つぶせ扑流形がた上じょう，只ただ有ゆう一いち个微分ぶん结构。对维数すう为1和わ2，由よし约翰·拉ひしげ东证明；在ざい维数为3是ぜ由ゆかり埃ほこり德とく温ゆたか·莫伊泽（英えい语：Edwin E. Moise）证明的てき。利用りよう阻碍そがい理り论，羅ら比ひ恩おん·卡比与あずかLaurent Siebenmann证明了りょう大だい于4维的紧拓扑流形がた上じょう的てきPL结构（英えい语：Piecewise linear manifold）数すう目もく是ぜ有限ゆうげん的てき。约翰·米まい尔诺、Michel Kervaire（英えい语：Michel Kervaire）以及Morris Hirsch证明了りょう一いち个紧PL流りゅう形がた上じょう的てき光ひかり滑すべり结构数すう目もく是ぜ有限ゆうげん的てき且与同どう样维数すう球面きゅうめん上光かみみつ滑すべり结构的てき数すう目もく相等そうとう（参まいり见Asselmeyer-Maluga, Brans chapter 7）。将はた这些结论合あい起おこり来らい，维数不等ふとう于4的てき紧拓扑流形がた上じょう的てき光ひかり滑すべり结构数すう目もく是ぜ有限ゆうげん的てき。

4维复杂得とく多た。对紧流りゅう形がた，结论取决于由よし第だい二に个贝蒂数すう $b_{2}$ 衡量的てき流りゅう形がた复杂性せい。对大贝蒂数すう $b_{2}>18$ ，在ざい一いち个单连通4-维流形がた中ちゅう，可か以利用りよう沿着一个结或链环的一个割わり补产生一个新的微分结构。这样可か以制造づくり可か数すう无穷多た个微分ぶん结构。但ただし即そく使つかい是ぜ像ぞう $S^{4},S^{2}\times S^{2},{\mathbb {C} }P^{2},..$ 。之これ类的简单空そら间，仍然不知ふち道どう其它微分びぶん结构的てき构造。对非紧4-维流形がた有ゆう许多例れい子こ比ひ如 ${\mathbb {R} }^{4},S^{3}\times {\mathbb {R} },M^{3}\setminus \{*\},..$ 。有ゆう不可ふか数多あまた个微分ぶん结构。

进一いち步ほ阅读

Hirsch, Morris, Differential Topology, Springer (1997), ISBN 0-387-90148-5.对微分ぶん结构的てき一般いっぱん性せい数学すうがく说明。
Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C., Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1977), ISBN 0-691-08190-5.
Asselmeyer-Maluga, T. and Brans, C.H., Exotic Smoothness in Physics. World Scientific Singapore, 2007（更さら多た信しん息いき参さん见网页http://loyno.edu/~cbta）^{[永久えいきゅう失效しっこう連結れんけつ]}, ISBN 978-981-02-4195-7

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