格かく拉ひしげ斯曼數すう

在ざい數學すうがく物理ぶつり學がく中なか，格かく拉ひしげ斯曼數すう（又また稱たたえ反はん交換こうかん數すう）是ぜ一いち種しゅ用よう於狄拉克かつ場じょう路みち徑みち積分せきぶん表示ひょうじ的てき數學すうがく架か構。格かく拉ひしげ斯曼數すう是ぜ以德國學こくがく者しゃ赫爾曼·格かく拉ひしげ斯曼命名めいめい的てき。

性質せいしつ

各かく格かく拉ひしげ斯曼變數へんすう $\theta _{i}$ 均ひとし與あずか代數だいすう的てき實數じっすう元もと無關むせき，它們之の間あいだ互成反はん交換こうかん關係かんけい，但ただし與一よいち般數 $x$ 間あいだ則そく為ため交換こうかん關係かんけい：

\theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x=x\theta _{i}

。

需要じゅよう注意ちゅうい的てき是ぜ，此算符ふ的てき平方へいほう為ため零れい：

由よし於

\theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}

，所以ゆえん

(\theta _{i})^{2}=0\,

。

為ため了りょう能のう讓ゆずる費ひ米子よなご也有やゆう路みち徑みち積分せきぶん，格かく拉ひしげ斯曼數すう的てき積分せきぶん需要じゅよう有ゆう以下いか特性とくせい：

線せん性せい

\int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta

分部わけべ積分せきぶん公式こうしき

\int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0

。

因いん此格拉ひしげ斯曼量的りょうてき積せき分有ぶんゆう以下いか的てき規定きてい：

\int \,1\,d\theta =0

\int \,\theta \,d\theta =1

。

所以ゆえん結論けつろん為ため任にん何なん格かく拉ひしげ斯曼數すう的てき微分びぶん及積分せきぶん都と是ぜ相しょう同どう的てき。

在ざい量子りょうし場じょう論ろん的てき路みち徑みち積分せきぶん表ひょう述じゅつ中なか，在ざい描述費ひ米子よなご反はん交換こうかん場じょう時じ，需要じゅよう用よう到いた以下いか含格拉ひしげ斯曼量的りょうてき高こう斯積分ぶん：

\int \exp \left[\theta ^{T}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A

。

其中 $A$ 為ため $n\times n$ 矩のり陣じん。

由よし格かく拉ひしげ斯曼數すう集合しゅうごう所しょ生成せいせい的てき代數だいすう叫さけべ格かく拉ひしげ斯曼代數だいすう。由ゆかり $n$ 個こ線せん性せい獨立どくりつ的てき格かく拉ひしげ斯曼數すう生成せいせい的てき代數だいすう，其維度為ため $2^{n}$ 。

格かく拉ひしげ斯曼代數だいすう是ぜ超ちょう交換こうかん代數だいすう的てき原型げんけい。超ちょう交換こうかん代數だいすう還かえ可か以分成なり偶變量りょう與あずか奇き變量へんりょう，因いん此可以滿足まんぞく分ぶん層そう的てき交換こうかん律りつ（特別とくべつ是ぜ奇き變量へんりょう為ため反はん交換こうかん）。

外そと代數だいすう

格かく拉ひしげ斯曼代數だいすう是ぜ生成せいせい元もと所しょ張ちょう成しげる的てき向むかい量りょう空間くうかん的てき外そと代數だいすう。外そと代數だいすう的てき定義ていぎ與あずか基底きてい的てき選擇せんたく無關むせき。

矩のり陣じん表示ひょうじ

格かく拉ひしげ斯曼數すう都と能のう以矩陣じん形式けいしき表示ひょうじ。例れい如，已やめ知ち一格拉斯曼代數，是ぜ由よし兩個りゃんこ格かく拉ひしげ斯曼數すう $\theta _{1}$ 及 $\theta _{2}$ 所ところ生成せいせい。這些格かく拉ひしげ斯曼數すう可用かよう4×4矩のり陣じん表示ひょうじ：

\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{bmatrix}}

。

一般いっぱん來らい說せつ，由ゆかりn個こ生成せいせい元もと生成せいせい的てき格かく拉ひしげ斯曼代數だいすう，可用かよう $2^{n}\times 2^{n}$ 的てき正方形せいほうけい矩のり陣じん表示ひょうじ。在ざい物理ぶつり上じょう，這些矩のり陣じん可か被ひ視み為ため升ます算さん符ふ，作用さよう對象たいしょう為ため佔位數すう基底きてい中ちゅうn個こ費ひ米子よなご的てき希まれ爾しか伯はく特とく空間くうかん。由よし於每個こ費ひ米子よなご的てき佔位數すう皆みな為ため0或ある1，因いん此共有きょうゆう $2^{n}$ 種たね基底きてい態たい。在ざい數學すうがく上じょう，這些矩のり陣じん可か被ひ視し為ため線せん性せい算さん符ふ，對應たいおう與格よかく拉ひしげ斯曼代數だいすう自身じしん的てき左ひだり外がい乘法じょうほう。

應用おうよう

在ざい量子りょうし場じょう論ろん中なか，格かく拉ひしげ斯曼數すう為ため反はん交換こうかん算ざん符ふ的てき“經典きょうてん類比るいひ”。它們用よう於定義ていぎ費ひ米子よなご場じょう的てき路みち徑みち積分せきぶん，因いん此需要よう為ため格かく拉ひしげ斯曼數すう的てき積分せきぶん下か定義ていぎ，這種積分せきぶん又また叫さけべ別べつ列れつ津つ積分せきぶん。

格かく拉ひしげ斯曼數すう在ざい為ため超ちょう流りゅう形がた（或ある超ちょう空間くうかん）下しも定義ていぎ時じ有ゆう重要じゅうよう用途ようと，此時它們被ひ用作ようさく“反はん交換こうかん座標ざひょう”。

另見

參考さんこう資料しりょう

Michael Peskin; Daniel Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory. Frontiers in Physics. Reading, Massachusetts: Westview Press. 1995: pp298–302. ISBN 0201503972.