模かたぎ稜りょう函數かんすう

模糊もこ函数かんすう是ぜ一套用于信号分析与信号仿真设计的数学方法，为菲利り普ふ·伍ご德とく沃德（Philip Woodward）在ざい1953年ねん所しょ提出ていしゅつ。其初始はじめ目的もくてき是ぜ用よう来らい分析ぶんせき雷かみなり达回かい波は信号しんごう受时间延迟和多た普ふ勒效应的てき影かげ响，但ただし在ざい随ずい后きさき的てき发展中ちゅう，也广泛被应用于时频分析ぶんせき、信号しんごう处理等とう领域。

定てい义

函数かんすう$s(t)$的てき模糊もこ函数かんすう$A(\tau ,\eta )$定てい义为：

$A(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{j2\pi \eta t}dt$

其中，$\tau$代表だいひょう和わ初はつ始はじめ信号しんごう的てき时间差分さぶん值，而$\eta$则代表だいひょう和わ初はつ始はじめ信号しんごう的てき频率差分さぶん值，而这样的二维空间称为模糊域（Ambiguity Domain）。以雷达应用よう来らい讲，$\tau$反映はんえい了りょう发射信号しんごう和わ回かい波は信号しんごう的てき时间延のべ迟（Time Delay），$\eta$则反映はんえい了りょう两信号ごう间的多た普ふ勒频移うつり（Dopple Frequency Shift）。星ほし号ごう$*$代表だいひょう对函数すう取と其共きょう轭复数すう。上うえ式しき为自时域定てい义之模糊もこ函数かんすう。我わが们也可か以通过函数すう$s(t)$的てき傅でん里さと叶かのう变换对$S(f)$从频域いき定てい义之：

$A(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)S^{*}(f-\eta )e^{j2\pi \tau f}df$

经修改あらため后きさき，模糊もこ函数かんすう也可以用对称的てき形式けいしき定てい义，成なり为对称しょう模糊もこ函数かんすう（Symmetric Ambiguity Function）：

$A_{s}(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{j2\pi \eta t}dt=\int _{-\infty }^{\infty }S(f+{\frac {\eta }{2}})S^{*}(f-{\frac {\eta }{2}})e^{j2\pi \tau f}df$

${\displaystyle }$

基本きほん性せい质

模糊もこ函数かんすう有ゆう下か列れつ几种基本きほん性せい质：

最大さいだい值

模糊もこ函数かんすう最大さいだい值永远发生せい在ざい模糊もこ域いき的てき原点げんてん$(0,0)$：

$\left|A(\tau ,\eta )\right|\leq \left|A(0,0)\right|$

对称性せい

模糊もこ函数かんすう为一对称函数かんすう：

$A(\tau ,\eta )=A^{*}(-\tau ,-\eta )$

时间比例ひれい调整

$s^{\prime }(t)=s(\alpha t)\Rightarrow A^{\prime }(\tau ,\eta )={\frac {1}{\left|\alpha \right|}}A(\alpha \tau ,{\frac {\eta }{\alpha }})$

时间位い移うつり

$s^{\prime }(t)=s(t-\Delta t)\Rightarrow A^{\prime }(\tau ,\eta )=A(\tau ,\eta )e^{-j2\pi f\Delta t}$

调制

$s^{\prime }(t)=s(t)e^{j2\pi ft}\Rightarrow A^{\prime }(\tau ,\eta )=A(\tau ,\eta )e^{-j2\pi f\tau }$

和わ自じ相あい关函数すう的てき关系

当とう我わが们设定てい频率差さ值$\eta$为0时，模糊もこ函数かんすう将しょう退化たいか为信号ごう$s(t)$的てき自じ相あい关函数すう：

$A(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )dt$

常つね见信号ごう之の模糊もこ函数かんすう

方ほう波なみ

若わか方かた波は定てい义为：:$rect(t,T)={\begin{cases}1,&{\mbox{if}}\left|t\right|\leq {\frac {T}{2}}\\0,&{\mbox{if}}\left|t\right|>{\frac {T}{2}}\end{cases}}$,則のり其模糊もこ函数かんすう$A_{rect}(\tau ,\eta )$计算如下：
$A_{rect}(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }rect(t+{\frac {\tau }{2}})rect^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{j2\pi \eta t}dt$
$=\int _{-(T-\tau )/2}^{(T-\tau )/2}e^{j2\pi \eta t}dt={\begin{cases}(T-\left|\tau \right|sinc[\eta (T-\left|\tau \right|)])&{\mbox{for}}\left|\tau \right|\leq T\\0{\mbox{for}}\left|\tau \right|>T\end{cases}}$

高こう斯函数すう

对一个高斯信号ごう$g(t)=e^{-\alpha t^{2}}$而言，其模糊もこ函数かんすう为：
$A_{G}(\tau ,\eta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{\frac {-\alpha (\tau ^{2}+\eta ^{2})}{2}}$

和わ维格纳分布ぶんぷ的てき关系

模糊もこ函数かんすう是ぜ伍ご德とく沃德依よ据すえ维格纳分布ぶんぷ改良かいりょう而来。二者之间详细的关系请参阅模糊もこ函数かんすう与あずか韦格纳分布ぶんぷ的てき关系。

应用

模糊もこ函数かんすう一开始是由雷达领域研究学者菲利浦·伍ご德とく沃德由よし维格纳分布ぶんぷ发展而來，因いん此其最初さいしょ的てき应用领域多た与あずか雷かみなり达相关，是ぜ该领域いき相当そうとう重要じゅうよう的てき基もと础理论。随ずい着ぎ时间的てき推进和わ时频分析ぶんせき方法ほうほう的てき兴起，越来ごえく越えつ多た的てき时频分析ぶんせき方法ほうほう使用しよう了りょう模糊もこ函数かんすう的てき概念がいねん。例れい如，西にし摩ま·斯坦于1981年ねん提ひっさげ到いた，模糊もこ函数かんすう可か以用来らい估算具有ぐゆう相しょう同どう成分せいぶん的てき两个信号しんごう，因いん受外加か噪声干ひ扰而造成ぞうせい的てき频率、时间位い移うつり；而时频分析ぶんせき工具こうぐ科か恩おん系列けいれつ分布ぶんぷ则是运用一函数之模糊函数并搭配适当的遮罩函数，做为分析ぶんせき该函数すう时频特性とくせい的てき基もと础。