狄利克かつ雷かみなり问题

数学すうがく中なか，狄利克かつ雷かみなり问题（Dirichlet problem）是ぜ寻找一いち个函数かんすう，使つかい其为给定区域くいき内ない一いち个指定してい的てき偏へん微分びぶん方かた程ほど（PDE）的てき解かい，且在边界上じょう取と预定值。

对许多た偏へん微分びぶん方かた程ほど，狄利克かつ雷かみなり问题都と可か解かい，但ただし最初さいしょ是ぜ对拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯方程ほど提出ていしゅつ来らい的てき。在ざい这种情じょう形がた下か问题可か如下表ひょう述じゅつ：

给定定てい义在Rⁿ中ちゅう一个区域的边界上一个函数f，是ぜ否ひ存在そんざい惟おもんみ一いち连续函数かんすうu在ざい内部ないぶ两次连续可か微ほろ，在ざい边界上じょう连续，使つかい得とくu在ざい内部ないぶ调和并在边界上じょうu = f？

这个条件じょうけん称しょう为狄利克かつ雷かみなり边界条件じょうけん。最さい主要しゅよう的てき问题是ぜ证明解かい的てき存在そんざい性せい，因いん唯一ゆいいつ性せい可か利用りようMaximum principle（英えい语：极大值原理げんり）证明。

历史

狄利克かつ雷かみなり问题以勒热纳·狄利克かつ雷かみなり命名めいめい，他た利用りよう变分方法ほうほう提出ていしゅつ了りょう一いち个解决办法ほう，这便是ぜ狄利克かつ雷かみなり原理げんり。唯ただ一解的存在性由物理分析似乎很有理：边界上じょう任にん何なん电荷分布ぶんぷ，由ゆかり静せい电学定律ていりつ，将はた确定一いち个电势做为一いち个解。

但ただし魏ぎ尔斯特とく拉ひしげ斯发现了りょう狄利克かつ雷かみなり证明的てき一いち个漏洞ほら，存在そんざい性せい严格的てき证明直ちょく到いた1900年ねん才ざい由ゆかり希まれ尔伯特とく给出。结论是ぜ解かい的てき存在そんざい性せい微妙びみょう地ち依よ赖于边界与あずか预定值的光こう滑すべり性せい。

一般いっぱん解かい

对具有ぐゆう足あし够光滑すべり边界 $\partial D$ 一いち个区域くいき $D$ ，狄利克かつ雷かみなり问题的てき一般いっぱん解かい由よし

u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}ds\,

给出，这里 $G(x,y)$ 是ぜ这个偏へん微分びぶん方かた程ほど的てき格かく林りん函数かんすう，而

{\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\sum _{i}n_{i}{\frac {\partial G(x,s)}{\partial s_{i}}}\,

是ぜ格かく林りん函数かんすう沿着内ない单位法ほう向むこう ${\widehat {n}}$ 的てき导数。在ざい边界上じょう对测度 $ds$ 进行积分。函数かんすう $\nu (s)$ 由よし第だい二に类弗どる里さと德とく霍姆积分方かた程ほど（英えい语：Fredholm integral equation）的てき惟おもんみ一いち解かい给出

f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}ds.\,

上うえ一个积分中的格林函数在边界上为零：

G(x,s)=0

对

s\in \partial D

与あずか

x\in D

。

这样的てき格かく林りん函数かんすう通常つうじょう是ぜ自由じゆう域いき格かく林りん函数かんすう与あずか一个微分方程的调和解之和。

存在そんざい性せい

调和函数かんすう的てき狄利克かつ雷かみなり问题总有解かい，当とう边界足あし够光滑すべり且 $f(s)$ 连续则解是ぜ惟おもんみ一いち的てき。更さら准じゅん确地说，当とう

\partial D\in C^{(1,\alpha )},\,

对

0<\alpha ,\,

时有解かい。这里 $C^{(1,\alpha )}$ 表示ひょうじ赫尔德とく条件じょうけん。

例れい子こ：二に维单位い圆盘

在ざい一些简单情形狄利克雷问题可以明确地解出来。例れい如对R²中ちゅう单位圆盘的てき狄利克かつ雷かみなり问题的てき解かい由よし泊とまり松まつ积分公式こうしき给出。

如果 $f$ 是ぜ单位圆盘 $D$ 的てき边界 $\partial D$ 上うえ一いち个连续函数すう，则狄利克としかつ雷かみなり问题的てき解かい $u(z)$ 由よし积分给出：

$u(z)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1-\vert z\vert ^{2}}{\vert z-e^{i\psi }\vert ^{2}}}d\psi ,\\f(z),\end{cases}}$	如果 $z\in D,\,$
	如果 $z\in \partial D.\,$