纤维丛

纖維せんい束たば（fiber bundle 或ある fibre bundle）又また稱しょう纖維せんい叢くさむら，在ざい数学すうがく上うえ，特とく别是在ざい拓つぶせ扑学中なか，是ぜ一个局部看来像直ちょく积空そら间，但ただし是ぜ整体せいたい可能かのう有ゆう不同ふどう的てき结构。每まい个纤维丛對應たいおう一いち个连续满射

$\pi :E\rightarrow B$

E 和わ乘じょう積せき空間くうかん B × F　的てき局部きょくぶ類似るいじ性せい可か以用映うつ射い $\pi$ 來らい說明せつめい。也就是ぜ說せつ：在ざい每まい個こ　E　的てき局部きょくぶ空間くうかん $U$ ，都と存在そんざい一いち個こ相しょう同どう的てきF（F　稱しょう作さく纖維せんい空間くうかん），使つかい得とく $\pi$ 限きり制せい在ざい $U$ 上うえ時じ　與あずか直ちょく积空间　B × F　的てき投影とうえい　 $P:B\times F\mapsto B,\quad P(b,f)=b$ 　相似そうじ。（通常つうじょう會かい用よう此滿射しゃ：πぱい : E → B　來らい表示ひょうじ一いち個こ纖維せんい叢くさむら，而忽略りゃくF ）

如果　 $E=B\times F$ ，也就是ぜ一个可以整体上等於乘積空間的丛叫做平ひら凡丛（trivial bundle）。

纤维丛扩展てん了りょう向むかい量りょう丛(vector bundle)，向むこう量りょう丛的主要しゅよう实例就是流ながれ形がた的てき切きり丛（tangent bundle）。他た们在微分びぶん拓ひらけ扑和わ微分びぶん几何领域有ゆう着ぎ重要じゅうよう的てき作用さよう。他た们也是ぜ规范场论的てき基本きほん概念がいねん。

正式せいしき定義ていぎ

一个纤维丛由四元组（E, B, πぱい, F）组成，其中E, B, F　是これ拓つぶせ扑空间而πぱい : E → B　是ぜ一いち个连续满射，满足下面かめん给出的てき局部きょくぶ平凡へいぼん（local triviality）条件じょうけん。B 称しょう为丛的てき基もと空そら间（base space），E 称しょう为总空间（total space）,而F 称しょう为纤维（fiber）。映うつ射いπぱい称たたえ为投影とうえい映うつ射い.下面かめん我わが们假定基さだもと空そら间B 是これ连通的てき。

我わが们要求ようきゅう对于B 中なか的てき每まい个點 x,存在そんざい一いち个在 B 中ちゅう包含ほうがん x 的てき开邻域U，並なみ有ゆう一いち個こ同どう胚はい映うつ射い φふぁい:πぱい⁻¹（U）→ U × F (顯然けんぜん　U × F　是ぜ一いち個こ乘じょう積せき空間くうかん) ，φふぁい並なみ且要滿足まんぞく $\textstyle \pi (y)=\operatorname {proj} _{1}\circ \phi (y),\,\forall y\in \pi ^{-1}(U)$ ，也就是ぜ下圖したず是ぜ可か交换的てき：

其中 proj₁ : U × F → U 是ぜ自然しぜん投影とうえい而 φふぁい : πぱい⁻¹(U) → U × F 是ぜ一いち个同胚はい（這裡的てき局部きょくぶ平凡へいぼん條件じょうけん有ゆう些書會かい定義ていぎ為ため $\textstyle x=\pi \circ \varphi ^{-1}(x,f),\,\forall x\in U,f\in F$ ）。所有しょゆう{(U_i, φふぁい_i)} 的てき集合しゅうごう称しょう为丛的てき局部きょくぶ平凡へいぼん化か。

对于 B 中ちゅう每ごと點てん p，原はら象ぞう（preimage）πぱい⁻¹(p) 和わ F 同どう胚はい并称为點 p 上うえ的てき纤维.一いち个纤维丛（E, B, πぱい, F）经常记为

F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B

以引入いれ一いち个空间的短たん恰当序列じょれつ。注意ちゅうい每ごと个纖維叢 πぱい : E → B 都と是ぜ一いち个开映射しゃ，因いん为积空そら间的投影とうえい是ぜ开映射しゃ。所以ゆえん B 有ゆう由よし映うつ射いπぱい决定的てき商しょう拓つぶせ扑(quotient topology).

一いち个光ひかり滑すべり纤维丛是ぜ一いち个在光ひかり滑すべり流りゅう形がた的てき范畴内的ないてき纤维丛。也就是ぜ，E, B, F都と必须是ぜ光こう滑すべり流りゅう形がた且所有しょゆう上面うわつら用よう到いた的てき函数かんすう都と必须是ぜ光ひかり滑すべり映うつ射い。

例れい子こ

令れいE = B × F并令πぱい : E → B为对第だい一いち个因子いんし的てき投影とうえい，则E是これB上うえ的てき丛.这里E不ふ仅是局部きょくぶ的てき积而且是整体せいたい的てき积。任にん何なん这样的てき纤维丛称为平ひら凡丛.

最さい简单的てき非ひ平凡へいぼん丛的例れい子こ可能かのう要よう算さん莫比乌斯带（Möbius strip）.莫比乌斯带是一いち个以圆为基空そら间B并以线段为纤维F的てき丛。对于一いち点てん $x\in B$ 的てき邻域是ぜ一いち段だん圆弧；在ざい图中，就是其中一个方块的长。原はら象ぞう $\pi ^{-1}(U)$ 在ざい图中是ぜ个（有ゆう些扭转的）切片せっぺん，4个方块宽一いち个方块长。同どう胚はいφふぁい把わU的てき原げん象ぞう映うつ到いた柱はしら面めん的てき一いち块：弯曲但ただし不ふ扭转.

相あい应的平凡へいぼん丛B × F看み起おこり来らい像ぞう一いち个圆柱，但ただし是ぜ莫比乌斯带有个整体せいたい上じょう的てき扭转。注意ちゅうい这个扭转只ただ有ゆう整体せいたい上じょう才能さいのう看み出来でき；局部きょくぶ看み来らい莫比乌斯带和圆柱完全かんぜん一いち样（在ざい其中任にん何なん一个竖直的切一刀会产生同样的空间）。

一个类似的非平凡丛是克かつ莱因瓶びん，它可以看作さく是ぜ一いち个"扭转"的てき圆在另一个圆上的丛。相あい应的平凡へいぼん丛是一いち个环，S¹ × S¹。

一いち个覆くつがえ盖空间是ぜ一いち个以离散空そら间为纤维的纤维丛。

纤维丛的一いち个特例れい，叫さけべ做向むかい量りょう丛,是ぜ那な些纤维为向むかい量りょう空そら间的てき丛（要よう成なり为一个向量丛，丛的结构群ぐん—见下面めん—必须是ぜ一いち个线性群ぐん）。向むこう量りょう丛的重要じゅうよう实例包括ほうかつ光こう滑すべり流りゅう形がた的てき切きり丛和わ余よ切きり丛。

另一个纤维丛的特例叫做主しゅ丛。更さら多た的てき例れい子こ参看さんかん该条目め。

一いち个球たま丛是ぜ一いち个纤维为n維球面めん的てき纤维丛。给定一いち个有度量どりょう的まと向むこう量りょう丛（例れい如黎はじむ曼流形がた的てき切きり丛），可か以构造づくり一いち个相应的单位球だま丛,其在一いち点てんx的てき纤维是ぜ所有しょゆうE_x的てき单位向こう量的りょうてき集合しゅうごう.

截面

纤维丛的截面（section或ある者ものcross section）是ぜ一个连续映射f : B → E使つかい得とくπぱい(f(x))=x对于所有しょゆうB中なか的てきx成立せいりつ。因よし为丛通常つうじょう没ぼつ有ゆう全局ぜんきょく有定ありさだ义的截面，理り论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数だいすう拓つぶせ扑的てき示しめせ性せい类理り论。

截面经常只ただ被ひ局部きょくぶ的てき定てい义（特とく别是当とう全局ぜんきょく截面不ふ存在そんざい时）。纤维丛的局部きょくぶ截面是ぜ一个连续映射f : U → E其中U是ぜ一いち个B中なか的てき开集而πぱい(f(x))=x对所有しょゆうU中なか的てきx成立せいりつ。若わか（U, φふぁい）是ぜ一个局部平凡化图，则局部ぶ截面在ざい U上うえ总是存在そんざい的てき。这种截面和わ连续映射しゃU → F有ゆう1-1对应。截面的てき集合しゅうごう组成一いち个层（sheaf）。

结构群ぐん和わ转移函数かんすう

纤维丛经常つね有ゆう一いち个对称しょう群ぐん描述重じゅう叠的图之间的相しょう容よう条件じょうけん。特とく别的，令れいG为一个拓つぶせ扑群，它连续的从左边作用さよう在ざい纤维空そら间F上うえ。不ふ失しつ一般いっぱん性せい的てき，我わが们可以要求ようきゅうG有效ゆうこう的てき作用さよう在ざいF上うえ，以便把わ它看成なり是ぜF的てき同どう胚はい群ぐん。纖維せんい叢くさむら的てき一いち个G-图册（E, B, πぱい, F）是ぜ之の前ぜん定義ていぎ過か的てき局部きょくぶ平凡へいぼん化か並なみ且滿足まんぞく：对任何なん两个重じゅう叠的局部きょくぶ平凡へいぼん化か中ちゅう的てき元素げんそ也就是ぜ图（U_i, φふぁい_i）和かず（U_j, φふぁい_j）且 $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$ ，則のり函数かんすう

\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:(U_{i}\cap U_{j})\times F\to (U_{i}\cap U_{j})\times F

是ぜ由よし以下いか方式ほうしき给出：

\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\xi )=(x,t_{ij}(x)\xi ),\quad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},\xi \in F

其中 $t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G$ 是ぜ一いち个称为转移函数かんすう（transition function）的てき连续映射しゃ。两个G-圖ず冊さつ是ぜ等價とうか的てき如果他た们的聯れん集しゅう也是G-圖ず冊さつ。一いち个G-丛是ぜ有ゆうG-圖ず冊さつ等とう价类的てき纤维丛。群ぐんG稱しょう为该丛的结构群ぐん（structure group）。

在ざい光ひかり滑すべり范畴中ちゅう，一いち个G-丛是一个光滑纤维丛，其中G是ぜ一いち个李り群ぐん而相应的在ざいF上うえ的てき作用さよう是ぜ光こう滑すべり的てき并且变换函数かんすう都と是ぜ光こう滑すべり映うつ射しゃ。

转移函数かんすうt_ij满足以下いか条件じょうけん

$t_{ii}(x)=1$
$t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}$
$t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)$

第だい三个条件用到三個相交的 $U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$ 上うえ叫さけべ做上うえ链条件じょうけん（cocycle condition，见Čech上じょう同どう调）。

一いち个主しゅ丛是ぜ一いち个G-丛，其纤维可以认为是G本身ほんみ，并且有ゆう一个在全空间上的G的てき右みぎ作用さよう保持ほじ纤维不ふ变。

参まいり见

外部がいぶ链接

PlanetMath: Fiber Bundle
MathWorld: Fiber Bundle （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）

参考さんこう

Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.