能のう量りょう串くし级

可か视化的てき湍流射い流りゅう，使用しよう激げき光こう诱导荧光技わざ术制成なり。射い流りゅう涉わたる及多个长度ど尺度しゃくど，这是在ざい湍流模型もけい中出なかいで现能量りょう串くし级的先さき决条件じょうけん。

在ざい连续介かい质力学がく中なか，能のう量りょう串くし级包括ほうかつ能のう量りょう从大尺度しゃくど运动到いた小しょう尺度しゃくど运动的てき传输（称しょう为正せい向こう能のう量りょう串くし级）或ある能のう量りょう从小尺度しゃくど到いた大だい尺度しゃくど的てき传输（称しょう为逆ぎゃく向こう能のう量りょう串くし级）。这种不同ふどう尺度しゃくど之の间的能のう量りょう转移只ただ能のう发生在ざい非ひ線せん性せい系統けいとう中なか。严格来らい说，串くし级的能のう量りょう传输发生在ざい局部きょくぶ（仅在非常ひじょう接近せっきん的てき尺度しゃくど之の间），类似于水从一个水池流动到下一个临近水池产生的层叠瀑布，而不会かい出で现跨越こし整せい个尺度しゃくど范围的てき远程传输。

在ざい对完全ぜん成形せいけい的てき湍流的てき研究けんきゅう中ちゅう，能のう量りょう串くし级是一いち个重要よう概念がいねん。路みち易えき斯·弗どる莱·理り查德森もり作さく于1920年代ねんだい的てき这首诗描写びょうしゃ了りょう这种现象，令れい人じん记忆深刻しんこく。能のう量りょう串くし级对于理解りかい波なみ湍流理り论中的てき波涛はとう现象也很重要じゅうよう。

Big whirls have little whirls
that feed on their velocity,
And little whirls have lesser whirls
and so on to viscosity

—路みち易えき斯·弗どる莱·理り查德森もり, 1922

以气流りゅう在高ありだか层建筑周围形成けいせい的てき湍流为例。边界层分离所ところ产生的てき涡流蕴含能のう量りょう，其大小しょう在ざい数すう十じゅう米まい左右さゆう。这一尺度范围称为含能区く。在ざい气流下か游ゆう的てき某ぼう处，空そら气的黏度导致的てき耗散主要しゅよう发生在ざい柯尔莫哥洛らく夫おっと微ほろ尺度しゃくど上うえ，在ざい这个例れい子中こなか也就是ぜ毫米大小だいしょう。这一尺度范围称为耗散区く。而在这两个等级的尺度しゃくど之の间，没ぼつ有ゆう外力がいりょく作用さよう，黏度也不会かい导致明あかり显的耗散，却存在そんざい非ひ线性的てき，从大尺度しゃくど到いた小しょう尺度しゃくど的てき净能量りょう传输。

如果含能区く和かず耗散区く之の间存在そんざい很大距离，则它们之间的尺度しゃくど范围称しょう为惯性子こ区く（英文えいぶん：inertial subrange）。这些尺度しゃくど上じょう的てき运动可か以通过自じ相似そうじ性せい来らい描述，或ある者もの通どおり过对其统计学がく特とく征せい做出假かり设（从而满足湍封闭）来らい分析ぶんせき。安德あんとく雷かみなり·柯尔莫哥洛らく夫おっと在ざい1940年代ねんだい开创性せい地ち推导出で了りょう对湍流りゅう惯性子こ区く中なか波数はすう谱的预测。

湍流惯性子こ区く中ちゅう的てき谱

在ざい湍流能のう量りょう谱中能のう量りょう产生、串くし级、耗散的てき图示。

在ざい湍流中ちゅう，最大さいだい尺度しゃくど的てき涡流蕴含最多さいた的てき动能。而黏度ど导致的てき能のう量的りょうてき耗散主要しゅよう发生在ざい最小さいしょう的てき涡流中ちゅう。柯尔莫哥洛らく夫おっと假かり设，当とう这两种尺度ど之の间距离很大だい时， 两者之の间的尺度しゃくど范围在ざい统计学がく上じょう具有ぐゆう各かく向こう同性どうせい，而它在ざい达到平衡へいこう时的特とく征せい只ただ取と决于能のう量りょう在ざい小しょう尺度しゃくど上じょう耗散的てき速そく率りつ。(耗散是これ机つくえ械能通つう过摩擦まさつ转化为热能的てき过程。）耗散速そく率りつ $\varepsilon$ 可か以表示ひょうじ用よう湍流中波ちゅうは动的应变速そく率りつ和かず流体りゅうたい的てき运动粘ねば度たび $\nu$ 表示ひょうじ。它的量りょう纲是能これよし量りょう/(单位质量·单位时间)。达到平衡へいこう状じょう态时，在ざい大だい尺度しゃくど运动中ちゅう产生湍动能のう的まと速そく率りつ等とう于小尺度しゃくど运动中ちゅう耗散能のう量的りょうてき速そく率りつ。

湍流的てき能のう量りょう谱

湍流的てき能のう量りょう谱 $E(k)$ 取と决于单位质量流体りゅうたい的てき湍动能のう：

${\frac {1}{2}}\left({\overline {u_{i}u_{i}}}\right)=\int _{0}^{\infty }E(k)\;dk.$

其中 $u_{i}$ 是ぜ波は动的速度そくど的てき分量ぶんりょう，上うえ划线表示ひょうじ系けい综平均へいきん值，表おもて达式在ざい $i$ 上うえ求もとむ和わ， $k$ 是ぜ波数はすう。所以ゆえん能のう量りょう谱 $E(k)$ 表示ひょうじ的てき是ぜ位い于波数すう $k$ 与あずか $k+dk$ 之これ间的湍动能のう。较大的てき涡流具有ぐゆう较低的てき波数はすう，较小的てき涡流具有ぐゆう较高的てき波数はすう。

因いん为扩散是ぜ速度そくど的てき拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯，耗散速そく率りつ可か以用能のう量りょう谱表示ひょうじ：

$\varepsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }k^{2}E(k)\;dk.$

其中 $\nu$ 是ぜ流体りゅうたい的てき运动粘ねば度たび。在ざい这条等式とうしき中ちゅう可か以观察到，即そく使つかい动能主要しゅよう存在そんざい于低波数はすう的てき运动（大だい涡流）中ちゅう，耗散主要しゅよう发生在高ありだか波数はすう的てき运动（小しょう涡流）中ちゅう。

惯性子こ区く中ちゅう的てき能のう量りょう谱

从低波数はすう到いた高こう波数はすう的てき能のう量りょう传输称しょう为能のう量りょう串くし级。它把湍能量りょう从大尺度しゃくど运动传输到いた小しょう尺度しゃくど运动，并最终被黏度耗散掉。这之间的尺度しゃくど区く间，即そく惯性子こ区く中ちゅう，由ゆかり柯尔莫哥洛らく夫おっと的てき假かり设可以推导出能のう量りょう谱的普遍ふへん形式けいしき：

$E(k)=C\varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}.$

各かく类条件下じょうけんか的てき大量たいりょう实验证据都と支持しじ这一结论。在ざい实验中ちゅう测得的てき数すう值为 $C=1.5$。

压强波は动的谱

湍流中ちゅう的てき压强波は动也可か以以类似的てき方式ほうしき描述。湍流中ちゅう压强平方へいほう的てき平均へいきん值可以用压强谱 $\pi (k)$ 来らい表示ひょうじ：

${\overline {p^{2}}}=\int _{0}^{\infty }\pi (k)\;dk.$

对于没ぼつ有ゆう平均へいきん速度そくど梯はしご度ど的てき湍流（各かく向こう同性どうせい湍流），惯性子こ区く中ちゅう的てき谱是

$\pi (k)=\alpha \rho ^{2}\varepsilon ^{4/3}k^{-7/3}.$

其中 $\rho$ 是ぜ流体りゅうたい的てき密度みつど，$\alpha =1.32C^{2}=2.97$。如果有ゆう平均へいきん速度そくど梯はしご度ど（剪切流りゅう)，则会在ざい惯性子こ区く中ちゅう的てき谱中额外附加ふか形がた如 $k^{-11/3}$ 的てき变化趋势；但ただし在ざい较高波数はすう的てき位置いち，形かたち如 $k^{-7/3}$ 的てき变化趋势占うらない据すえ主しゅ导地位い。

自由じゆう流体りゅうたい界面かいめん微小びしょう扰动的てき谱

自由じゆう流体りゅうたい界面かいめん下方かほう的てき压强波は动可以驱动液面めん位い移うつり。这种自由じゆう界面かいめん-湍流相互そうご作用さよう也可以用波数はすう谱来描述。如果 $\delta$ 是ぜ界面かいめん距离平均へいきん位置いち的てき瞬まどか时位移うつり，位い移うつり平方へいほう的てき平均へいきん值可以用位い移うつり谱 $G(k)$ 来らい表示ひょうじ：

${\overline {\delta ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }G(k)\;dk.$

三维形式的压强谱可以与杨-拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯公式しき相あい结合并得出で：

$G(k)\propto k^{-19/3}.$

在ざい实验中ちゅう，这一 $k^{-19/3}$ 定律ていりつ是ぜ在ざい对无湍流射しゃ流りゅう表面ひょうめん的てき光学こうがく观测中ちゅう得とく出で的てき。

参考さんこう文献ぶんけん

• Chorin, A.J., Vorticity and turbulence, Applied Mathematical Sciences 103, Springer, 1994, ISBN 978-0-387-94197-4 
• Falkovich, G.; Sreenivasan, K.R., Lessons from hydrodynamic turbulence, Physics Today, 2006, 59 (4): 43–49, Bibcode:2006PhT....59d..43F, doi:10.1063/1.2207037 
• Frisch, U., Turbulence: The Legacy of A.N. Kolmogorov, Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-45713-2 
• Newell, A.C.; Rumpf, B., Wave turbulence, Annual Review of Fluid Mechanics, 2011, 43 (1): 59–78, Bibcode:2011AnRFM..43...59N, doi:10.1146/annurev-fluid-122109-160807 
• Richardson, L.F., Weather prediction by numerical process, Cambridge University Press, 1922, OCLC 3494280