赝势

库伦势以及库伦势下か的てき波なみ函数かんすう（蓝色）与あずか赝势以及赝势下か的てき波なみ函数かんすう（红色）的てき比ひ较。赝势 $V_{pseudo}$ 以及通どおり过赝势计算出さんしゅつ的てき波なみ函数かんすう $\Psi _{pseudo}$ 与あずか两者所しょ对应的てき真ま实值在ざい $r$ 大だい于某个临界かい半径はんけい $r_{c}$ 之これ上うえ均ひとし是ぜ相しょう符ふ的てき。

赝势（pseudopotential），或ある有效ゆうこう势（effective potential），是ぜ指ゆび在ざい对能のう带结构进行数かず值计算さん时所引入的てき一いち个虚拟的势。引入赝势有ゆう助じょ于实现一个复杂的系统的近似きんじ计算。事こと实上，赝势近似きんじ法ほう是ぜ正せい交平面めん波なみ方法ほうほう（Orthogonalized Plane Wave method，OPW method）的てき延伸えんしん，其应用よう范围包括ほうかつ原子げんし物理ぶつり学がく和わ中子なかご散ち射い。“赝势”这个概念がいねん是ぜ由ゆかり汉斯·赫尔曼于1934年ねん首くび先さき发表的てき。

概がい述じゅつ

在ざい赝势近似きんじ中ちゅう，将はた原子げんし的てき核かく电子（即そく非ひ價あたい電子でんし）以及原子核げんしかく共同きょうどう产生的てき一个复杂的势置换成一个“有效ゆうこう势”（赝势）之の后きさき，薛定谔方程ほど中なか的てき库仑势能项会变成一个有利于进行下一步计算的有效势能项。所ところ构造的てき赝势通どおり过替代だい原子げんし中ちゅう所有しょゆう电子共同きょうどう产生的てき势，简化了りょう原子げんし中心ちゅうしん部分ぶぶん的てき态，从而可用かよう包含ほうがん较少节点的てき赝波函数かんすう来らい描述价电子こ。较少的てき节点意味いみ着ぎ可か以用较少的てき傅でん里さと叶かのう级数项写出で波なみ函数かんすう，这也使し平面へいめん波は基もと组的てき计算变得实用。通常つうじょう的てき计算中ちゅう只ただ考こう虑那些有化学かがく反はん应活性せい的てき价电子こ；核かく电子则被看み作さく和わ原子核げんしかく“冻结”在ざい一起かずき，形成けいせい了りょう一いち个刚性的せいてき不可ふか极化的てき“粒子りゅうし核かく”。根ね据すえ所在しょざい的てき化学かがく环境，自じ洽ひろし地ち更新こうしん赝势是ぜ一いち种修正しゅうせい上述じょうじゅつ“冻结的てき核心かくしん”的てき方法ほうほう；但ただし此做法ほう较少见。

第だい一いち性せい原理げんり的てき赝势是ぜ通どおり过原子げんし参照さんしょう态（atomic reference state）推导出来でき的てき。这要求ようきゅう赝电子こ价本征せい态和全ぜん电子价本征せい态（pseudo- and all-electron valence eigenstates）在ざい某ぼう个临界かい半径はんけい $r_{c}$ 之これ外がい有ゆう相しょう同どう的てき能のう量りょう和わ振幅しんぷく。

临界半径はんけい较大的てき赝势被ひ称しょう作さく“软”赝势，具有ぐゆう更さら快かい的てき收おさむ敛速度そくど，同どう时也更さら难模拟出现实系けい统的特とく征せい。

早期そうき的てき赝势基もと于对原子はらこ光ひかり谱的てき拟合，并没有ゆう取得しゅとく较大的てき成功せいこう。赝势在ざい如今能のう获得广泛应用，很大一部分应归功于沃尔特·哈里森もり（Walter Harrison）在ざい1958年ねん对铝的てき近きん自由じゆう电子的てき费米面めん，以及詹姆斯·C·菲利普ひろし斯于同年どうねん对硅和わ锗的まと共ども价能のう隙すき的てき成功せいこう拟合。后きさき来らい，菲利普ひろし斯及其同事ごと将はた此工作こうさく推广到其他的てき半はん导体中ちゅう，并称其为“半はん经验赝势”（semiempirical pseudopotential）。

范数守恒もりつね赝势和わ超ちょう软赝势

在ざい现代的てき平面へいめん波は电子结构数すう值计算さん中なか，范数守恒もりつね（Norm-conserving）和かず超ちょう软（Ultrasoft）赝势是ぜ两种最さい常用じょうよう的てき赝势。这两种赝势使基もと组可用よう较低的てき截断せつだん频率（即そく傅でん里さと叶かのう展てん开项中ちゅう的てき最高さいこう频率）来らい描述电子的てき波なみ函数かんすう，从而在ざい有限ゆうげん的てき计算资源下か达到一定的数值收敛。这些方法ほうほう的てき一いち个变种是线性缀加平面へいめん波は方法ほうほう（Linear Augmented Plane Wave，LAPW），即そく在ざい原子核げんしかく周しゅう围加上じょう一些原子函数作为基组。

范数守恒もりつね赝势

范数守恒もりつね（Norm-conserving）赝势是ぜ由ゆかり Hamann，Schlüter 和わ Chiang（HSC）于1979年ねん首くび先さき提出ていしゅつ的てき。 最初さいしょ的てきHSC范数守恒もりつね赝势的てき形式けいしき如下：

${\hat {V}}_{\textit {ps}}(r)=\sum _{l}\sum _{m}|Y_{lm}\rangle V_{lm}(r)\langle Y_{lm}|$

其中 $|Y_{lm}\rangle$ 将はた某ぼう一单粒子波函数，如科恩おん－沈吕九きゅう轨道，映うつ射い至いたり由ゆかり $\{l,m\}$ 标记的てき角かく动量。$V_{lm}(r)$ 是ぜ作用さよう在ざい被ひ映うつ射い部分ぶぶん的てき赝势。不同ふどう的てき角かく动量态会受到不同ふどう的てき赝势作用さよう，也就是ぜ说HSC范数守恒もりつね赝势是非ぜひ局きょく域いき性的せいてき；这一点与作用在整个单粒子波函数上的局域性赝势是不同的。

构造的てき范数守恒もりつね赝势需满足あし以下いか两个条件じょうけん：

1. 临界半径はんけい $r_{c}$ 内うち，每まい一伪波函数的范数需与其所对应的全电子波函数相同，即そく

$\int _{r<r_{c}}dr^{3}\phi _{\mathbf {R} ,i}({\vec {r}})\phi _{\mathbf {R} ,j}({\vec {r}})=\int _{r<r_{c}}dr^{3}{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,i}({\vec {r}}){\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,j}({\vec {r}})$，

其中 $\phi _{\mathbf {R} ,i}$ 和わ ${\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,i}$ 分ぶん别表示ひょうじ原子げんし $\mathbf {R}$ 上うえ赝势的てき全ぜん电子参照さんしょう态和伪参照さんしょう态。

2. 全ぜん电子波は函数かんすう和わ伪波函数かんすう在ざい临界半径はんけい $r_{c}$ 外需がいじゅ要よう完全かんぜん一致いっち。

超ちょう软赝势

超ちょう软（Ultrasoft）赝势为了进一步缩小必须的基组集合，松まつ弛たゆ（relax）了りょう范数守恒もりつね赝势中ちゅう的てき限きり制せい条件じょうけん，引入了りょう一个广义的本征值问题。若わか范数间的差さ别非零れい，则可以定义：

$q_{\mathbf {R} ,ij}=\langle \phi _{\mathbf {R} ,i}|\phi _{\mathbf {R} ,j}\rangle -\langle {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,i}|{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,j}\rangle$,

因いん此赝哈密顿量的てき归一化本征态满足推广后的方程：

${\hat {H}}|\Psi _{i}\rangle =\epsilon _{i}{\hat {S}}|\Psi _{i}\rangle$,

其中，算さん符ふ ${\hat {S}}$ 被ひ定てい义为：

${\hat {S}}=1+\sum _{\mathbf {R} ,i,j}|p_{\mathbf {R} ,i}\rangle q_{\mathbf {R} ,ij}\langle p_{\mathbf {R} ,j}|$,

$p_{\mathbf {R} ,i}$ 是ぜ在ざい截断せつだん频率内通ないつう过赝参照さんしょう态（pseudo reference state）形成けいせい对偶空そら间的てき投影とうえい（projector），在ざい截断せつだん频率外がい取的とりてき值为零れい：

$\langle p_{\mathbf {R} ,i}|{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,j}\rangle _{r<r_{c}}=\delta _{i,j}$.

投影とうえい缀加平面へいめん波は方法ほうほう（PAW）与あずか此相关。

费米赝势

费米赝势是ぜ恩おん里さと科か·费米为了描述自由じゆう中子なかご受原子核げんしかく的てき散ち射い而引入いれ的てき。散ち射い被ひ假かり设为s波なみ散ち射い，因いん此具有ぐゆう球だま对称性せい，是ぜ一いち个与半径はんけい $r$ 相あい关的函数かんすう：

$V(r)={\frac {4\pi \hbar ^{2}}{m}}b\,\delta (r)$,

其中，$\hbar$ 为约化普ひろし朗ろう克かつ常数じょうすう，$m$ 为质量，$\delta (r)$ 是これ狄拉克かつδでるた函数かんすう，$b$ 是ぜ束たば缚相干ひ（bound coherent）中子なかご散ち射い长度。对此δでるた函数かんすう进行傅でん里さと叶かのう变换将はた得え到いた为常数すう的てき中子なかご构型因いん素もと。

参まいり见

• 密度みつど泛函理論りろん
• 紧束缚近似きんじ
• 原子げんし轨道线性组合
• 正せい交平面めん波なみ方法ほうほう（Orthogonalized Plane Wave method，OPW method）
• 缀加平面へいめん波は方法ほうほう（Augmented Plane Wave method，APW method）
• KKR方法ほうほう

相あい关文章ぶんしょう

• （英文えいぶん）Hellmann, Hans, A New Approximation Method in the Problem of Many Electrons, Journal of Chemical Physics 3 (Karpow‐Institute for Physical Chemistry, Moscow), 1935, 3: 61 [2016-10-31], Bibcode:1935JChPh...3...61H, ISSN 0021-9606, doi:10.1063/1.1749559, （原始げんし内容ないよう存そん档于2013-02-23） 
• （英文えいぶん）Hellmann, H.; Kassatotschkin, W., Metallic Binding According to the Combined Approximation Procedure, Journal of Chemical Physics 4 (Karpow‐Institute for Physical Chemistry, Moscow), 1936, 4: 324 [2016-10-31], Bibcode:1936JChPh...4..324H, ISSN 0021-9606, doi:10.1063/1.1749851, （原始げんし内容ないよう存そん档于2013-02-23） 
• （英文えいぶん）Harrison, Walter Ashley, Pseudopotentials in the theory of metals, Frontiers in Physics (25), University of Virginia, 1966 
• （英文えいぶん）Brust, David, Alder, Berni , 编, The Pseudopotential Method and the Single-Particle Electronic Excitation Spectra of Crystals, Methods in Computational Physics 8 (New York: Academic Press), 1968, 8: 33–61, ISSN 0076-6860 
• （英文えいぶん）Heine, Volker, The Pseudopotential Concept, Solid State Physics 24 (Academic Press), 1970, 24: 1–36, doi:10.1016/S0081-1947(08)60069-7 
• Pickett, Warren E., Pseudopotential methods in condensed matter applications, Computer Physics reports 9 (3), April 1989, 9 (3): 115–197, Bibcode:1989CoPhR...9..115P, doi:10.1016/0167-7977(89)90002-6 

外部がいぶ链接

• （英文えいぶん）NNIN Virtual Vault for Pseudopotentials （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）：由ゆかりNNIN/C （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）建立こんりゅう的てき这个网站提供ていきょう了りょう一个可搜索的赝势数据库，其中有ちゅうう关于密度みつど泛函分析ぶんせき的てき代だい码，以及赝势生成せいせい器き，转换器き，和かず其他在ざい线数据すえ库的链接。
• （英文えいぶん）Vanderbilt Ultra-Soft Pseudopotential Site （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）：David Vanderbilt建立こんりゅう的てき这个网站提供ていきょう各かく种实现超软赝势的代だい码，以及生成せいせい赝势的てき库。