配はい丛

在ざい数学すうがく中なか，带有结构群ぐん G（拓つぶせ扑群）的てき纤维丛理り论允许产生せい一いち个配はい丛（associated bundle）的てき操作そうさ，将はた丛的典型てんけい纤维由ゆかり F₁ 变成 F₂，两者都と是ぜ具有ぐゆう群ぐん G 作用さよう的てき拓つぶせ扑空间。对具有ぐゆう结构群ぐん G 的てき纤维丛 F，纤维在ざい两个局部きょくぶ坐すわ标系 U_{αあるふぁ} 与あずか U_βべーた 交集上じょう的てき转移函数かんすう（即そく上じょう链）由よし一いち个 U_{αあるふぁ}∩U_βべーた 上うえ G-值函数すう g_{αあるふぁβべーた} 给出。我わが们可以构造づくり一いち个纤维丛 F′ 有ゆう同どう样的转移函数かんすう，但ただし可能かのう具有ぐゆう不同ふどう的てき纤维。

一いち个例子こ

一个简单的例子来自莫比乌斯带，这里 G 是ぜ 2 阶循环群ぐん $\mathbb {Z} /2$。我わが们可任にん取と F 为实数すう线 $\mathbb {R}$、区く间 $[-1,\ 1]$、去さ掉 0 的てき实数线或两个点てん的てき集合しゅうごう $\{-1,\ 1\}$。直ちょく觉看来らい G 在ざい它们上じょう的てき作用さよう（在ざい每まい种情形がた，非ひ单位元素げんそ作用さよう为 $x\ \rightarrow \ -x$）是ぜ可か比ひ较的。可か以更形式けいしき地ち说，把わ两个矩形くけい $[-1,\ 1]\times I$ 与あずか $[-1,\ 1]\times J$ 黏合在ざい一起かずき：我わが们其实需要じゅよう的てき是ぜ将しょう一いち端はし的てき $[-1,\ 1]\times I$ 直接ちょくせつ与あずか自己じこ等とう同どう，而在另一端扭转后等同。这个数すう据すえ可用かよう一いち个取值于 G 的てき补丁函数かんすう记下。配はい丛构造恰是观察到这个数すう据すえ对 $\{-1,\ 1\}$ 与あずか对 $[-1,\ 1]$ 是ぜ一いち样的。

构造

一般地只需解释由一个具有纤维 F 作用さよう的てき丛，G 作用さよう在ざい F 上うえ，变为相しょう配はい的てき主しゅ丛（即そく以 G 为纤维的丛，考こう虑为作用さよう在ざい自身じしん的てき平たいら移うつり）。然しか后きさき，我わが们可由ゆかり F₁ 经过主ぬし丛变为 F₂。由よし一个开覆盖数据表述的细节由下降かこう的てき一いち种情形がた给出。

这一节是这样组织的：我わが们首先さき引入从一个给定的纤维丛，产生一个具有制定的纤维的配丛的一般程序。然しか后きさき是ぜ当とう制定せいてい的てき纤维是ぜ关于这个群ぐん在自あらじ身上しんじょう左ひだり作用さよう的てき一いち个主しゅ齐性空そら间特例とくれい，得とく到いた了りょう配はい主ぬし丛。如果另外，在ざい主しゅ丛的纤维上じょう给出了りょう一いち个右作用さよう，我わが们叙述じょじゅつ如何いか利用りよう纤维积构造任にん何なん配はい丛 。

一般いっぱん配はい丛

设 πぱい : E → X 是これ拓つぶせ扑空间 X 上うえ一いち个纤维丛，带有结构群ぐん G 及典型がた纤维 F。由ゆかり定てい义，有ゆう G 在ざい纤维 F 上うえ一いち个左ひだり作用さよう（作さく为变换群ぐん）。此外假かり设这个作用よう是ぜ有效ゆうこう的てき。存在そんざい E 的てき一いち个由 X 的てき一いち个开覆盖 U_i，以及一族いちぞく纤维映射しゃ

φふぁい_i : πぱい^-1(U_i) → U_i × F

组成的てき局部きょくぶ平凡へいぼん化か，使つかい得とく转移映うつ射い由ゆかり G 的てき元素げんそ给出。更さら确切地ち，存在そんざい连续函数かんすう g_ij : (U_i ∩ U_j) → G 使つかい得とく

ψぷさい_ij(u,f) := φふぁい_i o φふぁい_j^-1(u,f) = (u,g_ij(u)f) 对每个 (u,f) ∈ (U_i ∩ U_j) × F。

现在设 F′ 是ぜ一个制定的拓扑空间，装そう备有 G 的てき一いち个连续左作用さよう。则相あい配はい于 E、具有ぐゆう纤维 F′ 的てき丛是一いち个丛 E′ 具有ぐゆう从属于覆盖 U_i 其转移うつり函数かんすう为：

ψぷさい′_ij(u,f′) = (u, g_ij(u) f′)，对 (u,f′ ) ∈(U_i ∩ U_j) × F′

这里 G-值函数すう g_ij(u) 与あずか由ゆかり原はら先さき的てき丛 E 的てき局部きょくぶ平凡へいぼん化か得え到いた的てき相しょう同どう。

这个定てい义显然しか遵守じゅんしゅ转移函数かんすう的てき上じょう链条件じょうけん，因いん为在每ごと一种情形它们由同样 G-值函数すう系けい统给出で（使用しよう另一个局部ぶ平凡へいぼん化か，如果有ゆう必要ひつよう使用しよう一般的加细过程，则 g_ij 通つう过相同どう的てき上じょう边缘变换）。从而，由ゆかり纤维丛构造づくり定理ていり（fiber bundle construction theorem），这样便びん产生了りょう所しょ要求ようきゅう的てき具有ぐゆう纤维 F′ 的てき纤维丛 E′ 。

主しゅ丛配于纤维丛

和かず前面ぜんめん一いち样，假かり设 E 是ぜ一个具有结构群 G 的てき纤维丛。当とう G-左ひだり自由じゆう且传递作用よう于 F′ 的てき特例とくれい时，所以ゆえん F′ 是ぜ G 在自あらじ身上しんじょう左ひだり作用さよう的てき一いち个主しゅ齐性空そら间，则相配はい的てき丛 E′ 称たたえ为相配はい于纤维丛 E 的まと主ぬし G-丛。如果此外新しん纤维 F′ 等とう同どう于 G（从而 F′ 不ふ仅有左ひだり作用さよう也继承了りょう G 的てき一いち个右作用さよう），则 G 在ざい F′ 上うえ的てき右みぎ作用さよう诱导了りょう G 在ざい E′ 上うえ的てき右みぎ作用さよう。通つう过选取等とう同化どうか，E′ 成なる为通常つうじょう意い义的主ぬし丛。注意ちゅうい，尽つき管かん没ぼつ有ゆう典てん范的方式ほうしき选取 G 的てき一个主齐性空间上的右作用，任にん何なん这样的てき作用さよう将はた得とく出で相しょう同どう的てき具有ぐゆう结构群ぐん G 的てき承うけたまわ载纤维丛（因いん为这是ぜ由ゆかり G 的てき左ひだり作用さよう得え到いた），而且作さく为 G-空そら间在存在そんざい一个整体定义的 G-值函数すう联系两者的てき意い义下同どう构。

以这样方式しき，装そう备一个右作用さよう的てき主ぬし G-丛通常つうじょう视为确定具有ぐゆう结构群ぐん G 的てき纤维丛的数すう据すえ之の一いち部分ぶぶん，因いん为对纤维丛我们可以由配はい丛构造づくり法ほう来らい建けん构主丛。在ざい下した一いち节中，我わが们经相反あいはん的てき道路どうろ利用りよう一いち个纤维积得え到いた任にん何なん纤维丛。

纤维丛配于主丛

设 πぱい : P → X 是ぜ一いち个主あるじ G-丛，令れい ρろー : G → Homeo(F) 是これ G 在ざい空そら间 F上うえ一いち个连续左ひだり作用さよう（在ざい连续范畴中ちゅう，我わが们需有光ありみつ滑すべり流りゅう形がた上じょう一いち个光滑すべり作用さよう）。不ふ失しつ一般いっぱん性せい，我わが们取作用さよう是ぜ有效ゆうこう的てき（ker(ρろー) = 1）。

G 在ざい P × F 上うえ定じょう义 G 的てき一个右作用为

$(p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f).$

然しか后きさき我わが们将这个作用さよう等化とうか得え到いた空むなし间 E = P ×_ρろー F = (P × F) /G。将はた (p,f) 的てき等とう价类记为 [p,f]。注意ちゅうい到いた

$[p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]$，对所有しょゆう $g\in G.$

由ゆかり πぱい_ρろー([p,f]) = πぱい(p)，定てい义投影とうえい映うつ射い πぱい_ρろー : E → X。注意ちゅうい这是良定よしさだ义的てき。

那な么 πぱい_ρろー : E → X 是ぜ一いち个纤维丛，具有ぐゆう纤维 F 与あずか结构群ぐん G。转移函数かんすう由よし ρろー(t_ij) 给出，这里 t_ij 是ぜ主ぬし丛 P 的てき转移函数かんすう。

结构群ぐん的てき约化

更さら多た信しん息いき：结构群ぐん的てき约化

配はい丛的一个相伴的概念是一个 G-丛 B 的てき结构群ぐん的てき约化。我わが们问是ぜ否ひ存在そんざい一いち个 H-丛 C，使つかい得とく相しょう配はい的てき G-丛是 B（在ざい同どう构的てき意い义下）。更さら具体ぐたい地ち，这是问 B 的てき转移数すう据すえ能否のうひ一致的取值于 H 中なか。换句话说，我わが们要求ようきゅう确认相しょう配はい丛映射的しゃてき像ぞう（这其实是一いち个函はこ子こ）。

约化的てき例れい子こ

向むかい量りょう丛的てき例れい子こ包括ほうかつ：引入一いち个度量どりょう导致结构群ぐん由よし一いち个一般いっぱん线性群ぐん约化为正せい交群 O(n)；一いち个实丛的复结构的てき存在そんざい性せい导致结构群ぐん由よし实一般线性せい群ぐん GL(2n,R) 约化为复线性群ぐん GL(n,C)。

另一个重要的情形实寻找一个秩 n 向むかい量りょう丛 V 的まと作さく为秩 k 与あずか秩 n-k 子こ丛的惠めぐみ特とく尼あま和わ（Whitney sum），这将导致结构群ぐん由ゆかり GL(n,R) 约化为 GL(k,R) × GL(n-k,R).

我わが们也能のう将はた叶かのう状じょう结构的てき条件じょうけん表ひょう述じゅつ为将切きり丛的てき结构群ぐん约化为分ぶん块矩阵子こ群ぐん——但ただし这里约化只ただ是ぜ必要ひつよう条件じょうけん，还有一いち个可か积性条件じょうけん使つかい得とく弗どる罗贝尼あま乌斯定理ていり可か以使用しよう。

另见

• 旋量丛

参考さんこう文献ぶんけん

• Steenrod, Norman. Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press. 1951. ISBN 0-691-00548-6.