配はい方法ほうほう

动画描绘了りょう配はい方法ほうほう的てき过程。(动画版ばん GIF)

配はい方法ほうほう（英語えいご：Completing the square）。

將はた下方かほう左ひだり边的多た项式化成かせい右みぎ边的形式けいしき，就是配はい方法ほうほう的てき目め标：

ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k

，其中

h

和わ

k

是これ常數じょうすう。

簡介

在ざい基本きほん代数だいすう中なか，配はい方法ほうほう是ぜ一いち种用来らい把わ二に次じ函数かんすう化か为一个多项式的平方与一个常数じょうすう的てき和わ的てき方法ほうほう。这种方法ほうほう是これ把わ以下いか的てき多た项式 $ax^{2}+bx\,\!$ 化か为 $(cx+d)^{2}+e\,\!$ 以上いじょう表おもて达式中なか的てき系けい数すう $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 和わ $e$ 本身ほんみ也可以是表ひょう达式，可か以含有がんゆう除じょ $x$ 以外いがい的てき变量。

配はい方法ほうほう通どおり常用じょうよう来らい推导出で二に次じ方かた程ほど的てき求根きゅうこん公式こうしき：

{\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&{}=0\\ax^{2}+bx&{}=-c\\x^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)x&{}=-{\frac {c}{a}}\\\end{aligned}}

我わが们的目的もくてき是ぜ要よう把わ方かた程ほど的てき左ひだり边化为完全ぜん平方へいほう。由よし于问题中的てき完全かんぜん平方へいほう具有ぐゆう $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ 的てき形式けいしき，可か導出どうしゅつ $2xy={\frac {b}{a}}x$ ，因いん此 $y={\frac {b}{2a}}$ 。等式とうしき两边加か上じょう $y^{2}=({\frac {b}{2a}})^{2}$ ，可か得とく：

{\begin{aligned}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&{}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&{}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&{}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\x&{}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}

这个表ひょう达式称しょう为二に次じ方かた程ほど的てき求根きゅうこん公式こうしき。

几何学がく的てき观点

考こう虑把以下いか的てき方かた程ほど配はい方かた： $x^{2}+bx=a.\,$ 由よし于 $x^{2}$ 表示ひょうじ边长为 $x$ 的てき正方形せいほうけい面めん积， $bx$ 表示ひょうじ边长为 $b$ 和わ $x$ 的てき矩形くけい面めん积，因いん此配方法ほうほう可か以视为矩形がた的てき操作そうさ。

如果尝试把わ矩形くけい $x^{2}$ 和かず兩個りゃんこ ${\frac {b}{2}}\,x$ 合ごう并成一いち个更大だい的てき正方形せいほうけい，这个正方形せいほうけい还会缺かけ一いち个角。把わ以上いじょう方かた程ほど的てき两端加か上じょう $\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}$ ，正せい好こう是ぜ欠かけ缺かけ的てき角かく的てき面めん积，这就是ぜ“配はい方法ほうほう”的てき名称めいしょう的てき由来ゆらい。

一般いっぱん公式こうしき

为了得え到いた $ax^{2}+bx=(cx+d)^{2}+e,\,$ 我わが们设

{\begin{aligned}c&{}={\sqrt {a}},\\d&{}={\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\\e&{}=-d^{2}\\&{}=-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\\&{}=-{\frac {b^{2}}{4a}}.\end{aligned}}

得とく出で $ax^{2}+bx=\left({\sqrt {a}}\,x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}.\,$

证明

注意ちゅうい $\left(cx+d\right)^{2}+e=c^{2}x^{2}+2cdx+d^{2}+e$ 。为了把わ $c^{2}x^{2}+2cdx+d^{2}+e\!$ 化か为 $ax^{2}+bx+f\!$ 的てき形式けいしき，我わが们必须进行ぎょう以下いか的てき代だい换：

{\begin{aligned}a&{}=c^{2},\\b&{}=2cd,\\f&{}=d^{2}+e.\end{aligned}}

现在， $a$ 、 $b$ 和わ $f$ 依よ赖于 $c$ 、 $d$ 和わ $e$ ，因いん此我们可以把 $c$ 、 $d$ 和わ $e$ 用よう $a$ 、 $b$ 和わ $f$ 来らい表示ひょうじ：

{\begin{aligned}c&{}=\pm {\sqrt {a}},\\d&{}={\frac {b}{2c}}\\&{}=\pm {\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\\e&{}=f-d^{2}\\&{}=f-{\frac {b^{2}}{4a}}\end{aligned}}

当とう且仅当とう $f$ 等とう于零且 $a$ 是正ぜせい数すう时，这些方かた程ほど与あずか以上いじょう是ぜ等とう价的。如果 $a$ 是ぜ负数，那な么 $c$ 和わ $d$ 的まと表ひょう达式中ちゅう的てき±号ごう都と表示ひょうじ负号──然しか而，如果 $c$ 和わ $d$ 都みやこ是ただし负数的てき话，那な么 $(cx+d)^{2}$ 的てき值将不ふ受影响，因いん此 $\pm$ 号ごう是ぜ不ふ需要じゅよう的てき。

例れい子こ

具体ぐたい例れい子こ

{\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x\right)-6\\&{}=5\left[x^{2}+{7 \over 5}x+\left({7 \over 10}\right)^{2}\right]-6-5\left({7 \over 10}\right)^{2}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-6-{7^{2} \over 2\cdot 10}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{6\cdot 20+7^{2} \over 20}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{169 \over 20}\end{aligned}}

从中我わが們可以求出で多項式たこうしき为零时 $x$ 的てき值，也就是ぜ多た项式的てき根ね。

{\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=0\\5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{169 \over 20}&{}=0\\\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}&{}={169 \over 100}\\&{}=\left({13 \over 10}\right)^{2}\\x+{7 \over 10}&{}=\pm {13 \over 10}\\x&{}={-7\pm 13 \over 10}\\&{}={3 \over 5}{\mbox{ or }}-2\end{aligned}}

我わが们也可か以求出で $x$ 取得しゅとく什么值时，以下いか的てき多た项式为最大さいだい值或最小さいしょう值： $y=5x^{2}+7x-6$ 最高さいこう次数じすう的てき项 $x^{2}$ 的まと系けい数すう为正，因いん此 $x$ 的てき绝对值越大だい， $y$ 就越大だい。但ただし是ぜ， $y$ 有ゆう一个最小值，在任ざいにん何なん地方ちほう都と不能ふのう比ひ它更小しょう。从完全ぜん平方へいほう的てき形式けいしき中ちゅう， $y=5\left(x+{\frac {7}{10}}\right)^{2}-{\frac {169}{20}}$ ，我わが们可以看到いた，如果 $x=-{7 \over 10}$ ，那な么 $y=-{\frac {169}{20}}=-8.45$ ；但ただし如果 $x$ 是ぜ任にん何なん其它的てき数すう， $y$ 都みやこ是ただし $-{\frac {169}{20}}$ 加か上じょう一いち个非零れい的てき平方へいほう数すう。由よし于非零れい实数的てき平方へいほう都と是正ぜせい数すう，因いん此当 $x$ 不ふ为 $-{\frac {7}{10}}$ 时， $y$ 一定いってい大だい于−8.45。所以ゆえん， $(x,y)=\left(-{\frac {7}{10}},-{\frac {169}{20}}\right)=(-0.7,-8.45)=$ 就 $y$ 的てき最小さいしょう值。

微ほろ积分例れい子こ

假かり设我们要求ようきゅう出で以下いか函数かんすう的てき原はら函数かんすう： $\int {\frac {1}{9x^{2}-90x+241}}\,dx.\,\!$ 这可以用把わ分母ぶんぼ配はい方かた来らい完成かんせい。分母ぶんぼ是ぜ： $9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241$ 把わ两边 $x^{2}-10x$ 加か上じょう $({\frac {10}{2}})^{2}=25$ ，就可以得到いた一いち个完全ぜん平方へいほう， $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$ 。分母ぶんぼ变为：

{\begin{aligned}9(x^{2}-10x)+241&{}=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)\\&{}=9(x-5)^{2}+16\end{aligned}}

因いん此积分为：

{\begin{aligned}\int {\frac {1}{9x^{2}-90x+241}}\,dx&{}={\frac {1}{9}}\int {\frac {1}{(x-5)^{2}+({\frac {4}{3}})^{2}}}\,dx\\&{}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C\end{aligned}}

复数例れい子こ

考こう虑以下か的てき表ひょう达式： $|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c$ 其中 $z$ 和わ $b$ 是これ复数， $z^{*}$ 和わ $b^{*}$ 分ぶん别是 $z$ 和わ $b$ 的てき共きょう轭复数すう， $c$ 是ぜ一いち个实数。利用りよう恒等こうとう式しき $\left\vert u\right\vert ^{2}=uu^{*}$ ，我わが们可以把它写成なり： $|z-b|^{2}-|b|^{2}+c$ 这显然しか是ぜ一いち个实数すう。这是因いん为：

{\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}\end{aligned}}

作さく为另外がい一いち个例子こ，以下いか的てき表ひょう达式 $ax^{2}+by^{2}+c$ 其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $x$ 和わ $y$ 是ぜ实数， $a>0$ 且 $b>0$ ，可か以用一いち个复数すう的てき绝对值的てき平方へいほう来らい表示ひょうじ。定てい义 $z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y$ 那な么

{\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}

因いん此 $ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c\,\!$

方法ほうほう的てき变化

通常つうじょう配はい方法ほうほう是これ把わ第だい三さん项 $v^{2}$ 加か在ざい $u^{2}+2uv\,$ ，得とく出で一いち个平方へいほう。我わが们也可か以把中ちゅう间的项（ $2uv$ 或ある $-2uv$ ）加か在ざい多た项式 $u^{2}+v^{2}\,$ 就得出で一いち个平方へいほう。