Floyd-Warshall算法さんぽう

Floyd-Warshall算法さんぽう
概がい况
類別るいべつ	全局ぜんきょく最短さいたん路ろ径みち问题（适用于带权图）
資料しりょう結構けっこう	图
复杂度ど
平均へいきん時間じかん複雜ふくざつ度ど	$\Theta (|V|^{3})$
最さい坏时间复杂度	$O(|V|^{3})$
最さい优时间复杂度	$\Omega (|V|^{3})$
空間くうかん複雜ふくざつ度ど	$\Theta (|V|^{2})$
相あい关变量的りょうてき定てい义
$V$	点てん集しゅう

Floyd-Warshall算法さんぽう（英語えいご：Floyd-Warshall algorithm），中ちゅう文ぶん亦また称たたえ弗どる洛らく伊い德とく算法さんぽう或ある佛ふつ洛らく依よ德とく算法さんぽう，是ぜ解かい决任意にんい两点间的最短さいたん路ろ径みち的てき一いち种算法さんぽう，可か以正確かく處理しょり有向ゆうこう圖ず或ある负权（但ただし不可ふか存在そんざい负权回路かいろ）的てき最短さいたん路ろ径みち問題もんだい，同どう时也被ひ用よう于计算さん有向ゆうこう图的传递闭包。

Floyd-Warshall算法さんぽう的てき时间复杂度ど為ため$O(|V|^{3})$，空そら间复杂度为$O(|V|^{2})$，其中$V$是ぜ点てん集しゅう。

原理げんり

Floyd-Warshall算法さんぽう的てき原理げんり是ぜ动态规划。

设$D_{i,j,k}$为从$i$到いた$j$的てき只ただ以$(1..k)$集合しゅうごう中ちゅう的てき节点为中间節点てん的てき最短さいたん路ろ径みち的てき长度。

1. 若わか最短さいたん路ろ径みち经过点てんk，则$D_{i,j,k}=D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1}$；
2. 若わか最短さいたん路ろ径みち不ふ经过点てんk，则$D_{i,j,k}=D_{i,j,k-1}$。

因いん此，$D_{i,j,k}={\mbox{min}}(D_{i,j,k-1},D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1})$。

在ざい实际算法さんぽう中ちゅう，为了节约空そら间，可か以直接ちょくせつ在原ありわら来らい空そら间上进行迭代，这样空そら间可降くだ至いたり二に维。

算法さんぽう描述

Floyd-Warshall算法さんぽう的てき伪代码描述如下：

1 let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)
2 for each vertex v
3    dist[v][v] ← 0
4 for each edge (u,v)
5    dist[u][v] ← w(u,v)  // the weight of the edge (u,v)
6 for k from 1 to |V|
7    for i from 1 to |V|
8       for j from 1 to |V|
9          if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j] 
10             dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j]
11         end if

其中dist[i][j]表示ひょうじ由よし點てん$i$到いた點てん$j$的てき代價だいか，當とう其為 ∞ 表示ひょうじ兩りょう點てん之の間あいだ沒ぼつ有ゆう任にん何なん連接れんせつ。

使用しよう动态规划的てき算法さんぽう

• 最さい长公共子きょうこ序列じょれつ
• 维特比ひ算法さんぽう

实现

Floyd算法さんぽう在ざい不同ふどう的てき编程语言中なか均ひとし有ゆう大量たいりょう的てき实现方法ほうほう：

• C++：boost::graph（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）库下
• C#：QuickGraph（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）和わQuickGraphPCL（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）中なか均ひとし有ゆう相しょう关实现方法ほう
• Java：Apache Commons Graph（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）库中
• JavaScript：Cytoscape库中
• MATLAB：Matlab_bgl（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）包つつみ中ちゅう
• Perl：Graph（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）组件下か
• Python：SciPy库下（scipy.sparse.csgraph（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）），NetworkX库中也有やゆう
• R：e1071（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）和わRfast（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）包つつみ内ない

参まいり见

• 图论最短さいたん路ろ
• Dijkstra算法さんぽう
• Bellman-Ford算法さんぽう