顺序统计量りょう

在ざい统计学がく中なか，样本的てき第だい$k$顺序统计量りょう（英語えいご：Order Statistics）即そく它从小しょう到いた大だい排列はいれつ时的第だい$k$个值，常用じょうよう于非ひ参さん数すう估计与あずか推断すいだん中なか。常つね见的顺序统计量りょう包括ほうかつ样本的てき最大さいだい值、最小さいしょう值、中位ちゅうい数すう等ひとし。

记号

任にん给样本$x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$，将はた其从小しょう到いた大だい排はい成なり一いち列れつ，记为：$$x_{(1)},x_{(2)},\cdots ,x_{(n)}.$$则其第だい一いち顺序统计量りょう（即そく最小さいしょう值）为$x_{(1)}$，第だい$n$顺序统计量りょう（即そく最大さいだい值）为$x_{(n)}$。

概がい率りつ

随ずい机つくえ变量$X_{(k)}$的てき累るい积分布ぶんぷ函数かんすう$F_{k}(x)$由よし下か式しき给出$$F_{k}(x)=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}(F(x))^{j}(1-F(x))^{n-j},\quad x\in \mathbb {R} ,$$ 将はた累るい积分布ぶんぷ函数かんすう求もとめ导可得とく其概がい率りつ密度みつど函数かんすう$f_{k}(x)$为 $$f_{k}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}(F(x))^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x),\quad x\in \mathbb {R} .$$

連續れんぞく均ひとし勻樣本ほん

從したがえ单位区く间上うえ的てき連續れんぞく型がた均ひとし勻分布ぶんぷ取得しゅとく的てき樣さま本ほん，其各順序じゅんじょ統計とうけい量的りょうてき边缘分布ぶんぷ屬ぞく於Βべーた分布ぶんぷ族ぞく。此外，任意にんい幾いく個こ順序じゅんじょ統計とうけい量的りょうてき联合分布ぶんぷ也有やゆう簡單かんたん的てき表示ひょうじ。本節ほんぶし將しょう作さく介かい紹。藉賴累るい积分布ぶんぷ函数かんすう（cdf），該些結果けっか亦また可か推廣到いた任意にんい連續れんぞく分ぶん佈。

本節ほんぶし中ちゅう，$X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$表示ひょうじ以$F_{X}$為ためcdf的てき一いち組くみ隨ずい機き樣さま本ほん。記き$U_{i}=F_{X}(X_{i})$，則のり$U_{1},\ldots ,U_{n}$是ぜ從したがえ標準ひょうじゅん連續れんぞく均ひとし勻分布ぶんぷ抽取的てき對應たいおう樣さま本ほん。由ゆかり$F_{X}$的てき單調たんちょう性せい，後者こうしゃ的てき順序じゅんじょ統計とうけい量りょう為ため$U_{(i)}=F_{X}(X_{(i)})$。

順序じゅんじょ統計とうけい量りょう$U_{(k)}$的てき概がい率りつ密度みつど函數かんすう（pdf）等とう於

$f_{U_{(k)}}(u)={n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}.$

換言かんげん之の，均ひとし勻分佈的第だい$k$順序じゅんじょ統計とうけい量りょう遵循Βべーた分布ぶんぷ

$U_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n+1\mathbf {-} k).$

證明しょうめい如下：欲よく使し$U_{(k)}$介かい乎$u$與あずか$u+\mathrm {d} u$之これ間あいだ，樣さま本ほん須恰有ゆう$k-1$個こ元素げんそ小しょう於$u$，並なみ至いたり少しょう有ゆう一いち個こ介かい乎$u$與あずか$u+\mathrm {d} u$之これ間あいだ。該區間あいだ包含ほうがん多た於一個元素的概率已是$O(\mathrm {d} u^{2})$（使用しよう了りょう大だいO符號ふごう），故こ衹需計算けいさん$(0,u)$、$(u,u+du)$、$(u+du,1)$三さん區間くかん分別ふんべつ恰有$k-1$、$1$、$n-k$個こ元素げんそ的てき概がい率りつ。此即三さん項こう分ぶん佈概がい率りつ

${n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}\cdot \mathrm {d} u\cdot (1-u-\mathrm {d} u)^{n-k},$

故こ上述じょうじゅつpdf公式こうしき成立せいりつ。該分佈的平均へいきん值為$k/(n+1)$。