バナッハ＝タルスキーのパラドックス

バナッハ＝タルスキーのパラドックス: 球たまを適当てきとうに分割ぶんかつして、組くみ替かえることで、元もとと同おなじ球だまを2つ作つくることができる。

バナッハ＝タルスキーのパラドックス (Banach-Tarski paradox) は、球たまを3次元じげん空間くうかん内うちで、有限ゆうげん個この部分ぶぶんに分割ぶんかつし、それらを回転かいてん・平行へいこう移動いどう操作そうさのみを使つかってうまく組くみ替かえることで、元もとの球たまと同おなじ半径はんけいの球たまを2つ作つくることができるという定理ていり（ただし、各かく断片だんぺんは通常つうじょうの意味いみで体積たいせきを定義ていぎできない）。この操作そうさを行おこなうために球たまを最低さいてい5つに分割ぶんかつする必要ひつようがある。

バナッハ＝タルスキーの証明しょうめいでは、ハウスドルフのパラドックスが援用えんようされ、その後ご、多おおくの人ひとにより証明しょうめいの最適さいてき化か、様々さまざまな空間くうかんへの拡張かくちょうが行おこなわれた。

結果けっかが直観ちょっかんに反はんすることから、定理ていりであるが「パラドックス」と呼よばれる。証明しょうめいの1箇所かしょで選択せんたく公理こうりを使つかうため、選択せんたく公理こうりの不ふ合理ごうり性せいを論ろんじる文脈ぶんみゃくで引用いんようされることがある。ステファン・バナフ（バナッハ）とアルフレト・タルスキが1924年ねんに初はじめてこの定理ていりを述のべたときに選択せんたく公理こうりを肯定こうてい的てきにとらえていたか、否定ひてい的てきにとらえていたか、判断はんだんすることは難むずかしい（「この研究けんきゅうに対たいする選択せんたく公理こうりの果はたす役割やくわりは注目ちゅうもくに値あたいする。」(Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention.)としか述のべていない）。なお、選択せんたく公理こうりよりも真しんに弱よわいハーン–バナッハの定理ていりからバナッハ＝タルスキーのパラドックスを導みちびくことができる。また似にたような話題わだいとしてシェルピンスキー・マズルキーウィチのパラドックスがあるがこちらは選択せんたく公理こうりに依存いぞんしない。

この定理ていりは次つぎのように述のべることも出来できる。

• 球たまは、それ自身じしんと同おなじ球だま二ふたつと分割ぶんかつ合同ごうどうである。

ただし、分割ぶんかつ合同ごうどうとは以下いかのように定義ていぎされる: A と B をユークリッド空間くうかんの部分ぶぶん集合しゅうごうとする。 A と B が有限ゆうげん個この互たがいに交まじわらない部分ぶぶん集合しゅうごうの合併がっぺいとして

$A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},\quad B=\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}$

つまり、

A = A₁ ∪ ... ∪ A_n , B = B₁ ∪ ... ∪ B_n

と表あらわすことができ、全すべての i について、$A_{i}$ と $B_{i}$ が合同ごうどうであるとき、A と B を分割ぶんかつ合同ごうどうという。

さらに、この定理ていりから次つぎのより強つよい形かたちの系けいを導みちびくことが出来できる。

• 3次元じげんユークリッド空間くうかんの有界ゆうかいな部分ぶぶん集合しゅうごうで、内部ないぶが空そらでないもの(つまり、有限ゆうげんの拡ひろがりを持もち、曲線きょくせんや曲面きょくめんではないもの)を任意にんいに二ふたつ選えらんだとすると、それらは分割ぶんかつ合同ごうどうである。

い換いかえると、ビびー玉だまを有限ゆうげん個こに分割ぶんかつして組くみ替かえることで月つきを作つくったり、電話でんわを組くみ替かえて睡蓮すいれんを作つくったり出来できる（当然とうぜんのごとく材質ざいしつは変かえられない）、ということである。 この定理ていりの証明しょうめいで、点てん集合しゅうごうは選択せんたく公理こうりを使つかってつくられる選択せんたく集合しゅうごうで構成こうせいされており、各かく断片だんぺんはルベーグ可か測はかではない。すなわち、各かく断片だんぺんは明確めいかくな境界きょうかいや通常つうじょうの意味いみでの体積たいせきを持もたない。物理ぶつり的てきな分割ぶんかつでは可か測はかな集合しゅうごうしか作つくれないので、現実げんじつにはこのような分割ぶんかつは不可能ふかのうである。 しかしながら、それらの幾何きか学がく的てきな形状けいじょうに対たいしてはこのような変換へんかんが可能かのうなのである。

この定理ていりは 3次元じげん以上いじょうの全すべての次元じげんにおいても成なり立たつ。2次元じげんユークリッド平面へいめんにおいては成なりたないものの、2次元じげんにおいても分割ぶんかつに関かんするパラドックスは存在そんざいする: 円えんを有限ゆうげん個この部分ぶぶんに分割ぶんかつして組替くみかえる事ことで、同おなじ面積めんせきの正方形せいほうけいを作つくることが出来できるのである。これはタルスキーの円えん積せき問題もんだい(en:Tarski's circle-squaring problem)として知しられている。

2次元じげんユークリッド平面へいめんにおいては、合同ごうどう変換へんかんではなく面積めんせきを保たもつ変換へんかんに条件じょうけんをゆるめると、バナッハ＝タルスキーのパラドックスと同様どうような定理ていりが成立せいりつすることを、1929年ねんにジョン・フォン・ノイマンが証明しょうめいした。この定理ていりは次つぎのように述のべることが出来できる。

A と B を2次元じげんユークリッド空間くうかんの内うち点てんを持もつ有界ゆうかいな部分ぶぶん集合しゅうごうとする。 A と B が有限ゆうげん個この互たがいに交まじわらない部分ぶぶん集合しゅうごうの合併がっぺいとして

$A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},\quad B=\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}$

と表あらわすことが出来できる。ここで、全すべての i について、面積めんせきを保たもつ変換へんかん $f_{i}$ が存在そんざいして

$B_{i}=f_{i}(A_{i})$

とする事ことが出来できる。

証明しょうめいの概要がいよう

定理ていりの証明しょうめいを与あたえる。ここでの方法ほうほうはバナッハとタルスキーによるものと似にているが全まったく同一どういつではない。証明しょうめいは本質ほんしつ的てきに4つのステップに分わかれる。

1. 2つの生成せいせい元もとを持もつ自由じゆう群ぐん$F_{2}$の「パラドキシカルな分割ぶんかつ」を見みつける。
2. 自由じゆう群ぐん$F_{2}$と同型どうけいな3次元じげんの回転かいてん群ぐんを見みつける。
3. 2で作つくった回転かいてん群ぐんのパラドキシカルな分割ぶんかつと選択せんたく公理こうりを用もちいて2次元じげん球面きゅうめんの分割ぶんかつを作つくる。
4. 3の2次元じげん球面きゅうめんの分割ぶんかつを3次元じげん球だまの分割ぶんかつに拡張かくちょうする。

それぞれのステップの詳細しょうさいについて述のべる。

ステップ1

2つの生成せいせい元もとaとbから生成せいせいされる自由じゆう群ぐんは4つの文字もじa、a⁻¹、b、b⁻¹からなる有限ゆうげんの長ながさを持もつ文字もじ列れつから構成こうせいされる。ここでaがa⁻¹の直前ちょくぜん直後ちょくごに現あらわれるような文字もじ列れつは許ゆるされない。bについても同様どうようである。2つのこのような文字もじ列れつがあったとき、それらの積せきをそれらの文字もじ列れつをつなげたものと定義ていぎする。ただしそれにより「許ゆるされない文字もじ列れつ」が生しょうじたときは、その部分ぶぶんを「空そらの文字もじ列れつ」で置おき換かえることで対処たいしょする。例たとえばabab⁻¹a⁻¹とabab⁻¹aの積せきはabab⁻¹a⁻¹abab⁻¹aとなるが、これはa⁻¹aという「許ゆるされない文字もじ列れつ」を含ふくむため、この部分ぶぶんを「空そらの文字もじ列れつ」で置おき換かえてabaab⁻¹aとなる。このような文字もじ列れつの集合しゅうごうはここで定義ていぎした演算えんざんによって、「空そらの文字もじ列れつ」を単位たんい元もとeに持もつ群ぐんになることが確たしかめられる。この群ぐんをF₂と書かく(この構造こうぞうを持もった群ぐんは自由じゆう群ぐんと呼よばれる)。F₂の要素ようそは有限ゆうげんの長ながさを持もつ文字もじ列れつであるので、F₂は可算かさん集合しゅうごうである(これはゲーデル数すうを用もちいて容易よういに証明しょうめいできる)。

F₂のケイリーグラフにおけるS(a⁻¹) とaS(a⁻¹)の集合しゅうごう

群ぐん$F_{2}$は以下いかのようにして「パラドキシカルな分割ぶんかつ」が可能かのうである: S(a)をaで始はじまる$F_{2}$の文字もじ列れつ全体ぜんたいの集合しゅうごうとする。S(a⁻¹)、S(b)、S(b⁻¹)についても同様どうようである。明あきらかに、

$F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})$

一方いっぽう

$F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a),\,$

および

$F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b).\,$

である。 aS(a⁻¹)という表記ひょうきは、S(a⁻¹)の元もとの左ひだりにaをかけた文字もじ列れつの全体ぜんたいである。

最後さいごの行くだりがこの証明しょうめいの核心かくしんである。例たとえば集合しゅうごう$aS(a^{-1})$は$aa^{-1}b$という文字もじ列れつを含ふくむ。$a$は$a^{-1}$の直前ちょくぜん直後ちょくごに現あらわれてはいけないというルールにより、この文字もじ列れつは$b$となる。同様どうように、$aS(a^{-1})$は$a^{-1}$で始はじまる全すべての文字もじ列れつを含ふくむ（例たとえば文字もじ列れつ$aa^{-1}a^{-1}$は$a^{-1}$となるため）。このようにして、$aS(a^{-1})$は$b$, $b^{-1}$, $a^{-1}$で始はじまる全すべての文字もじ列れつを含ふくむ。

ステップ2

3次元じげん空間くうかんの回転かいてん群ぐんでちょうど$F_{2}$と同おなじように振ふる舞まう($F_{2}$と同型どうけいな)群ぐんを見みつけるために、直交ちょっこうする2つの軸じく、xおよびzをとる。そしてaを「x軸じくを回転かいてん軸じくとした1ラジアンの回転かいてん」bを「z軸じくを回転かいてん軸じくとした1ラジアンの回転かいてん」に対応たいおうさせる(回転かいてんの角度かくどは1ラジアンでなくても、円周えんしゅう率りつπぱいの無理むり数すう倍ばいであれば何なんでもよい)。2つの回転かいてんa、bが操作そうさの合成ごうせいを積せきとして$F_{2}$と同型どうけいになる（すなわち、何なん周しゅうしても二に点てんが重かさならない）ことの証明しょうめいはやや煩雑はんざつだが難むずかしくはないので、この部分ぶぶんは省略しょうりゃくする。aとbによって生成せいせいされる回転かいてん群ぐんをHとする。すると、ステップ１で得えたパラドキシカルな分割ぶんかつをHに対たいしても適用てきようすることが出来できる。HはF₂と同型どうけいであるから可算かさん集合しゅうごうである。

ステップ3

単位たんい球面きゅうめんS²は群ぐんHの作用さようを考かんがえることにより軌道きどうの集合しゅうごうに分わけることが出来できる。すなわち、S²の2つの点てんは、一方いっぽうの点てんを他方たほうに移うつすような回転かいてんがHに存在そんざいするとき、またそのときに限かぎり同おなじ軌道きどうに属ぞくすると定さだめるのである(ある点てんの軌道きどうがS²の稠密ちゅうみつ集合しゅうごうになることに注意ちゅうい)。同おなじ軌道きどうに属ぞくするという関係かんけいはS²上うえの同値どうち関係かんけいであり、その同値どうち関係かんけいによる同値どうち類るいが軌道きどうである。このようにして類別るいべつされた軌道きどう全すべての集合しゅうごうを Λらむだ とする。 ⋃ _{λらむだ ∈ Λらむだ} λらむだ   =   S² であるから、選択せんたく公理こうりにより、ある選択せんたく関数かんすう φふぁい : Λらむだ → S² が存在そんざいし、 ∀ (λらむだ ∈ Λらむだ)   φふぁい(λらむだ) ∈ λらむだ とできる。 M = {φふぁい(λらむだ) | λらむだ ∈ Λらむだ } と置おく。Mはすべての軌道きどうからちょうど1個いっこの点てんを選えらんで集あつめた S² の部分ぶぶん集合しゅうごうである。S² のすべての点てんは、あるMの点てんに、あるHの元もとを作用さようさせることによって得えることが出来できる。つまり H M = S² が成なり立たつ。したがって、Hのパラドキシカルな分割ぶんかつは以下いかのようにS²の4つの部分ぶぶん集合しゅうごうA₁, A₂, A₃, A₄への分割ぶんかつを与あたえる。

$A_{1}=S(a)M\cup M\cup B$

$A_{2}=S(a^{-1})M\setminus B$

$\displaystyle A_{3}=S(b)M$

$\displaystyle A_{4}=S(b^{-1})M$

ここで

$B=\bigcup _{i=1}^{\infty }a^{-i}M$

である。

今いま、球面きゅうめんは4つの部分ぶぶん集合しゅうごうに分割ぶんかつされている。以下いかのように、これらのうち2つの集合しゅうごうを回転かいてんさせることで最初さいしょの2倍ばいの球面きゅうめんを得えることが出来できる。

$aA_{2}=A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}$

$bA_{4}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{4}$

したがって

$A_{1}\cup aA_{2}=S^{2}$

および

$A_{3}\cup bA_{4}=S^{2}$

ステップ4

最後さいごに、S²上うえのすべての点てんと原点げんてんとを結むすぶ線分せんぶんを考かんがえると、ステップ3で考かんがえたS²の分割ぶんかつは自然しぜんに球たまから中心ちゅうしん点てんを除のぞいた集合しゅうごうの分割ぶんかつへと拡張かくちょうされる。(この中心ちゅうしん点てんはもう少すこし注意ちゅういして扱あつかう必要ひつようがある。同様どうように、この概要がいようでは省略しょうりゃくしたが、S² の点てんの内うち H に含ふくまれる何なんらかの回転かいてんの軸じく上じょうにあるものも特殊とくしゅな扱あつかいをする必要ひつようがある。)

参考さんこう文献ぶんけん

• 志賀しが浩二こうじ『無限むげんからの光芒こうぼう　ポーランド学派がくはの数学すうがく者しゃたち』日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、1988年ねん4月がつ。ISBN 4-535-78161-3。 
• 砂田すなだ利一としかず『バナッハ・タルスキーのパラドックス』岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ科学かがくライブラリー〉、1997年ねん4月がつ。ISBN 4-00-006549-1。 
  • 砂田すなだ利一としかず『バナッハ‐タルスキーのパラドックス』（新版しんぱん）岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ科学かがくライブラリー〉、2009年ねん12月。ISBN 978-4-00-029565-9。 
• レナード・M・ワプナー『バナッハ＝タルスキの逆説ぎゃくせつ　豆まめと太陽たいようは同おなじ大おおきさ？』佐藤さとうかおり・佐藤さとう宏樹ひろき訳やく、青土おうづち社しゃ、2009年ねん12月。ISBN 978-4-7917-6515-7。 

外部がいぶリンク

• Banach-Tarski Paradox -- From MathWorld（バナッハ＝タルスキーのパラドックス）（英語えいご）
• バナッハ・タルスキーのパラドックス（日本語にほんご）