Συνάρτηση

Οおみくろんιいおた αντιστοιχίσεις b), c) d) είναι συναρτήσεις. Ηいーた αντιστοίχιση a) δでるたεいぷしろんνにゅー αποτελεί συνάρτηση διότι υπάρχει στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου ορισμού πぱいοおみくろんυうぷしろん αντιστοιχίζεται σしぐまεいぷしろん δύο διαφορετικά στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τιμών.

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, συνάρτηση, ή απεικόνιση είναι μみゅーιいおたαあるふぁ αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων, πぱいοおみくろんυうぷしろん καλούνται σύνολο ορισμού κかっぱαあるふぁιいおた σύνολο τιμών, κατά τたうηいーたνにゅー οποία κάθε ένα στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σしぐまεいぷしろん ένα κかっぱαあるふぁιいおた μόνο στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん πεδίου τιμών. Αあるふぁνにゅー $f$ είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση από ένα σύνολο $A$ σしぐまεいぷしろん ένα σύνολο $B$, γράφουμε $f:A\to B$.

Ιστορικά ηいーた έννοια της συνάρτησης εισήχθη σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά από τたうοおみくろんνにゅー θεμελιωτή τたうοおみくろんυうぷしろん διαφορικού κかっぱαあるふぁιいおた ολοκληρωτικού λογισμού Γερμανό μαθηματικό Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς τたうοおみくろん 1694.

Οおみくろんιいおた όροι συνάρτηση κかっぱαあるふぁιいおた απεικόνιση είναι συνώνυμοι. Οおみくろん πρώτος χρησιμοποιείται περισσότερο σしぐまτたうηいーたνにゅー στοιχειώδη άλγεβρα κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんνにゅー απειροστικό λογισμό, ενώ οおみくろん δεύτερος σしぐまτたうαあるふぁ διακριτά μαθηματικά.

Γενικά

Μπορούμε νにゅーαあるふぁ πούμε ότι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση είναι οおみくろん «τρόπος» ή «κανόνας» μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー οποίο αντιστοιχίζεται μία μοναδική τιμή της εξαρτημένης ποσότητας (σύνολο τιμών) σしぐまεいぷしろん κάθε τιμή της ανεξάρτητης ποσότητας (πεδίο ορισμού). Ηいーた έννοια της συνάρτησης εκφράζει τたうηいーた διαισθητική ιδέα της ντετερμινιστικής εξάρτησης μιας ποσότητας από μみゅーιいおたαあるふぁ άλλη. Τούτο διότι εξορισμού απαγορεύεται ηいーた αντιστοίχιση μιας τιμής της ανεξάρτητης ποσότητας σしぐまεいぷしろん περισσότερες από μία τιμές της εξαρτημένης ποσότητας κατά τρόπο στοχαστικό ή τυχαίο, δηλαδή κατά τρόπο πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー θしーたαあるふぁ μπορούσαμε νにゅーαあるふぁ γνωρίζουμε από πぱいρろーιいおたνにゅー δεδομένο όρισμα σしぐまεいぷしろん πぱいοおみくろんιいおたαあるふぁ ακριβώς τιμή αντιστοιχεί. (Δηλαδή κάθε στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σしぐまεいぷしろん ακριβώς ένα στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τιμών).

Εισαγωγή κかっぱαあるふぁιいおた παραδείγματα

Μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん τたうοおみくろんνにゅー συνδέει μみゅーεいぷしろん οποιοδήποτε από τたうαあるふぁ τέσσερα χρωματιστά διαμορφώνει τたうοおみくろん χρώμα τたうοおみくろんυうぷしろん

Γがんまιいおたαあるふぁ ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης, έστω Χかい τたうοおみくろん σύνολο πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελείται από τέσσερα σχήματα: ένα κόκκινο τρίγωνο, ένα κίτρινο ορθογώνιο, ένα πράσινο εξάγωνο κかっぱαあるふぁιいおた ένα κόκκινο τετράγωνο κかっぱαあるふぁιいおた έστω Υうぷしろん τたうοおみくろん σύνολο πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελείται από πέντε χρώματα: κόκκινο, μみゅーπぱいλらむだεいぷしろん, πράσινο, ρろーοおみくろんζぜーた κかっぱαあるふぁιいおた κίτρινο. Συνδέοντας κάθε σχήμα σしぐまτたうοおみくろん χρώμα τたうοおみくろんυうぷしろん είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση από τたうοおみくろん Χかい σしぐまτたうοおみくろん Υうぷしろん: κάθε σχήμα συνδέεται μみゅーεいぷしろん ένα χρώμα (δηλαδή, ένα στοιχείο σしぐまτたうοおみくろん Υうぷしろん), κかっぱαあるふぁιいおた κάθε σχήμα είναι "συνδεδεμένο", ή "χαρτογραφείται", σしぐまεいぷしろん ακριβώς ένα χρώμα. Δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει σχήμα πぱいοおみくろんυうぷしろん στερείται ενός χρώματος κかっぱαあるふぁιいおた ούτε κάποιο σχήμα πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει δύο ή περισσότερα χρώματα. Αυτή ηいーた λειτουργία θしーたαあるふぁ αναφέρεται ως "χρώμα της συνάρτησης σχήματος".

Ηいーた εισαγωγή σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση ονομάζεται όρισμα κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた έξοδος ονομάζεται τιμή. Τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー επιτρεπόμενων ορισμάτων σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ συγκεκριμένη συνάρτηση ονομάζεται σύνολο ορισμού,ενώ τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー επιτρεπόμενων εξόδων ονομάζεται σύνολο τιμών. Έτσι, τたうοおみくろん σύνολο ορισμού τたうοおみくろんυうぷしろん "χρώμα της συνάρτησης σχήματος" είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー τεσσάρων σχημάτων, κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん συνόλου τιμών αποτελείται από τたうαあるふぁ πέντε χρώματα.Ηいーた έννοια της συνάρτησης δでるたεいぷしろんνにゅー απαιτεί ότι κάθε πιθανή έξοδος είναι ηいーた τιμή κάποιου ορισμού, πぱい.χかい. τたうοおみくろん μみゅーπぱいλらむだεいぷしろん χρώμα δでるたεいぷしろんνにゅー είναι τたうοおみくろん χρώμα οποιουδήποτε από τたうαあるふぁ τέσσερα σχήματα σしぐまτたうοおみくろん Χかい.

Ένα δεύτερο παράδειγμα μιας συνάρτησης είναι ηいーた εξής: τたうοおみくろん σύνολο ορισμού επιλέγεται νにゅーαあるふぁ είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー φυσικών αριθμών (1, 2, 3, 4, ...), κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん σύνολο τιμών είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー ακεραίων (..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Ηいーた συνάρτηση σχετίζεται μみゅーεいぷしろん οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n,τたうοおみくろんνにゅー αριθμό 4-n. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, τたうοおみくろん 1 σχετίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん 3 και τたうοおみくろん 10 μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん -6.

Ένα τρίτο παράδειγμα μιας συνάρτησης έχει τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー πολυγώνων ως σύνολο ορισμού κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー φυσικών αριθμών ως σύνολο τιμών. Ηいーた συνάρτηση συσχετίζει ένα πολύγωνο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー αριθμό τたうωおめがνにゅー κορυφών τたうοおみくろんυうぷしろん. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ένα τρίγωνο συνδέεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー αριθμό 3, ένα τετράγωνο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー αριθμό 4, κかっぱαあるふぁιいおた ούτω καθεξής.

Οおみくろん όρος εύρος μερικές φορές χρησιμοποιείται είτε γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん σύνολο τιμών είτε γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー πραγματικών τιμών πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση. Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποφευχθεί ηいーた ασάφεια αυτό τたうοおみくろん άρθρο αποφεύγει τたうηいーた χρήση τたうοおみくろんυうぷしろん όρου.

Συμβολισμός

Γがんまιいおたαあるふぁ περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά μみゅーεいぷしろん αυτό τたうοおみくろん θέμα, δείτε τたうοおみくろん συμβολισμό συναρτήσεων.

Μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση f μみゅーεいぷしろん σύνολο ορισμού τたうοおみくろん Χかい κかっぱαあるふぁιいおた σύνολο τιμών τたうοおみくろん Y συνήθως συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん

$f\colon X\rightarrow Y$

ή

$X{\stackrel {f}{\rightarrow }}Y.$

Σしぐまτたうοおみくろん πλαίσιο αυτό, τたうαあるふぁ στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん Χかい ονομάζονται όρισμα μιας συνάρτησης της f. Γがんまιいおたαあるふぁ κάθε όρισμα Χかい, τたうοおみくろん αντίστοιχο μοναδικό y τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τιμών ονομάζεται ηいーた συνάρτηση τιμή σしぐまτたうοおみくろん Χかい ή ηいーた εικόνα τたうοおみくろんυうぷしろん x μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー f. Γράφεται ως f(x). Λέει ότι ηいーた f αντιστοιχεί τたうοおみくろん y μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん x ή στέλνει τたうοおみくろん x σしぐまτたうοおみくろん y. Αυτό είναι συντομογραφία από τたうοおみくろん

$y=f(x).$

Μみゅーιいおたαあるふぁ γενική συνάρτηση συχνά συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん f. Ειδικές συναρτήσεις έχουν ονομασίες, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた συνάρτηση προσήμου συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん sgn. Λαμβάνοντας υπόψη ένα πραγματικό αριθμό x, ηいーた εικόνα τたうοおみくろんυうぷしろん σしぐまτたうοおみくろん πλαίσιο της συνάρτησης προσήμου γράφεται ως sgn(x). Εδώ, τたうοおみくろん όρισμα συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん σύμβολο x, αλλά διαφορετικά σύμβολα μπορούν νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθούν σしぐまεいぷしろん άλλα πλαίσια. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, σしぐまτたうηいーた φυσική, ηいーた ταχύτητα κάποιου σώματος, αναλόγως τたうοおみくろんυうぷしろん χρόνου, συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん v(t). Οおみくろんιいおた παρενθέσεις γύρω από τたうοおみくろん όρισμα μπορούν νにゅーαあるふぁ παραλειφθούν όταν υπάρχει μικρή πιθανότητα σύγχυσης, έτσι: $\sin x$. Αυτό είναι γνωστό ως συμβολισμός προθέματος.

Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ καθορίσετε μみゅーιいおたαあるふぁ συγκεκριμένη λειτουργία, χρησιμοποιείται οおみくろん συμβολισμός $\mapsto$ (ένα βέλος μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ μπάρα σしぐまτたうηいーたνにゅー ουρά τたうοおみくろんυうぷしろん). Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた παραπάνω συνάρτηση διαβάζει

${\begin{aligned}f\colon \mathbb {N} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto 4-x.\end{aligned}}$

Τたうοおみくろん πρώτο μέρος μπορεί νにゅーαあるふぁ διαβαστεί ως εξής:

• "f είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση από τたうοおみくろん $\mathbb {N}$ (τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー φυσικών αριθμών) σしぐまτたうοおみくろん $\mathbb {Z}$ (τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー ακεραίων)" ή
• "f είναι μみゅーιいおたαあるふぁ $\mathbb {Z}$-συνάρτηση τιμών από μみゅーιいおたαあるふぁ $\mathbb {N}$-τιμή μεταβλητών".

Τたうοおみくろん δεύτερο μέρος μπορεί νにゅーαあるふぁ διαβαστεί:

• "τたうοおみくろん x αντιστοιχεί σしぐまτたうοおみくろん 4−x."

Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, ηいーた συνάρτηση αυτή έχει τους φυσικούς αριθμούς ως σύνολο ορισμού κかっぱαあるふぁιいおた τους ακεραίους ως σύνολο τιμών. Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ κυριολεκτήσουμε, μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση είναι σωστά ορισμένη μόνο όταν τたうοおみくろん σύνολο ορισμού κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん σύνολο τιμών καθορίζονται. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, οおみくろん τύπος f(x) = 4 − x μόνος τたうοおみくろんυうぷしろん,(χωρίς νにゅーαあるふぁ προσδιορίζεται τたうοおみくろん σύνολο τιμών κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん ορισμού) δでるたεいぷしろんνにゅー είναι μみゅーιいおたαあるふぁ σωστά ορισμένη συνάρτηση. Επιπλέον, ηいーた συνάρτηση

${\begin{aligned}g\colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto 4-x.\end{aligned}}$

(μみゅーεいぷしろん διαφορετικό σύνολο ορισμού) δでるたεいぷしろんνにゅー θεωρείται ηいーた ίδια συνάρτηση, ακόμη κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁνにゅー οおみくろんιいおた τύποι πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζουν τたうαあるふぁ f κかっぱαあるふぁιいおた g συμφωνούν, κかっぱαあるふぁιいおた ομοίως μみゅーεいぷしろん ένα διαφορετικό σύνολο τιμών. Πぱいαあるふぁρろー 'όλα αυτά, πολλοί συγγραφείς παραλείπουν τたうοおみくろんνにゅー καθορισμό τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου ορισμού κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τιμών, ειδικά αあるふぁνにゅー αυτά είναι σαφή από τたうαあるふぁ συμφραζόμενα. Έτσι, σしぐまεいぷしろん αυτό τたうοおみくろん παράδειγμα, πολλοί απλά γράφουν f(x) = 4 − x. Μερικές φορές, τたうοおみくろん μέγιστο δυνατό σύνολο ορισμού είναι επίσης κατανοητό έμμεσα: ένας τύπος όπως οおみくろん ${\textstyle f(x)={\sqrt {x^{2}-5x+6}}}$ μπορεί νにゅーαあるふぁ σημαίνει ότι τたうοおみくろん σύνολο ορισμού της f τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών x όπου ηいーた τετραγωνική ρίζα ορίζεται (σしぐまεいぷしろん αυτή τたうηいーたνにゅー περίπτωση x ≤ 2 or x ≥ 3).

Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ οριστεί μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση, μερικές φορές χρησιμοποιείται μみゅーιいおたαあるふぁ τελεία ως συμβολισμός γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ τονίσει τたうοおみくろん λειτουργικό χαρακτήρα της έκφρασης, χωρίς νにゅーαあるふぁ δίνεται ένα ειδικό σύμβολο γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた μεταβλητή. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, οおみくろん τύπος ${\textstyle a(\cdot )^{2}}$ συμβολίζει τたうηいーた συνάρτηση $\textstyle x\mapsto ax^{2}$, οおみくろん τύπος ${\textstyle \int _{a}^{\,\cdot }f(u)du}$ συμβολίζει τたうοおみくろん ολοκλήρωμα της συνάρτησης ${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)du}$, κかっぱιいおた ούτω καθεξής.

Ορολογία

Γραφική παράσταση της συνάρτησης
${\begin{aligned}&\scriptstyle \\&\textstyle f(x)={\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}$
σしぐまτたうοおみくろん διάστημα ορισμού [-1,1.5] τたうοおみくろんυうぷしろん $\mathbb {R}$ κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん πεδίο τιμών επίσης σしぐまτたうοおみくろん [-1,1.5] τたうοおみくろんυうぷしろん $\mathbb {R}$.

Αあるふぁνにゅー Αあるふぁ κかっぱαあるふぁιいおた Βべーた είναι δύο σύνολα κかっぱαあるふぁιいおた f : Αあるふぁ → Βべーた μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση από τたうοおみくろん Αあるふぁ σしぐまτたうοおみくろん Βべーた, τたうοおみくろん Αあるふぁ λέγεται σύνολο ορισμού κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん Βべーた σύνολο τιμών. Κάθε στοιχείο a τたうοおみくろんυうぷしろん Αあるふぁ λέγεται όρισμα της f κかっぱαあるふぁιいおた κάθε στοιχείο b τたうοおみくろんυうぷしろん Βべーた σしぐまτたうοおみくろん οποίο αντιστοιχίζεται ένα τουλάχιστον όρισμα a λέγεται τιμή ή εικόνα της f σしぐまτたうοおみくろん a, κかっぱαあるふぁιいおた γράφουμε b = f(a).

Σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー προηγούμενο ορισμό, γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ είναι ηいーた f συνάρτηση, θしーたαあるふぁ πρέπει νにゅーαあるふぁ ισχύει: αあるふぁνにゅー f(a) ≠ f(a') τότε a ≠ a'. Δηλαδή δでるたυうぷしろんοおみくろん τιμές πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι διαφορετικές νにゅーαあるふぁ μみゅーηいーたνにゅー αντιστοιχούν παρά σしぐまεいぷしろん διαφορετικά ορίσματα.

Τたうοおみくろん τυχαίο στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου Αあるふぁ, δηλαδή τたうοおみくろんυうぷしろん πεδίου ορισμού, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης. Ενώ τたうοおみくろん τυχαίο στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου Βべーた, δηλαδή τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τιμών, ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή της συνάρτησης. Θしーたαあるふぁ μπορούσε νにゅーαあるふぁ ειπωθεί ότι οおみくろんιいおた δύο όροι δηλώνουν τたうηいーた διαισθητική σχέση αιτιότητας μεταξύ τたうωおめがνにゅー δύο μεταβλητών. Ηいーた ανεξάρτητη μεταβλητή λαμβάνει τιμή αυθαίρετα, ενώ ηいーた εξαρτημένη μεταβλητή λαμβάνει τたうηいーたνにゅー τιμή της πάντα σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ίδια τたうηいーた συνάρτηση κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー ανεξάρτητη μεταβλητή.

Τたうοおみくろん γράφημα της συνάρτησης f : A → B είναι τたうοおみくろん σύνολο πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελείται από τたうαあるふぁ διατεταγμένα ζευγάρια της αντιστοίχισης

G(f) = {(a,b)∈ A×B, όπου b = f(a)}

Γがんまιいおたαあるふぁ συναρτήσεις ορισμένες σしぐまτたうοおみくろん πεδίο τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών τたうοおみくろん γράφημα ή αλλιώς γραφική παράσταση είναι ηいーた απεικόνιση αυτών τたうωおめがνにゅー ζευγαριών σしぐまτたうοおみくろん καρτεσιανό επίπεδο, όπου κάθε ζευγάρι ορίσματος-τιμής είναι ένα σημείο της γραφικής παράστασης κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー σημείων σχηματίζουν τたうηいーた καμπύλη της γραφικής παράστασης.

Ηいーた αντίστροφη αντιστοίχιση f ^-1 της συνάρτησης f είναι ηいーた αντιστοίχιση από τたうοおみくろん Βべーた σしぐまτたうοおみくろん Αあるふぁ, πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται ως εξής:

f ^-1(b) = a αあるふぁνにゅーνにゅー f(a) = b

Ηいーた αντίστροφη αντιστοίχιση μιας συνάρτησης δでるたεいぷしろんνにゅー είναι πάντοτε συνάρτηση, μみゅーιいおたαあるふぁ κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー υπακούει απαραίτητα σしぐまτたうοおみくろん αξίωμα μονοτιμίας: ένα στοιχείο b μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι τιμή δύο διαφορετικών ορισμάτων a κかっぱαあるふぁιいおた a' της f. Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση πάντως πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι, ηいーた f λέγεται αντιστρέψιμη κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた f ^-1 αντίστροφη συνάρτηση της f.

Ορισμοί

Σしぐまτたうαあるふぁ πλαίσια της θεωρίας συνόλων ηいーた συνάρτηση ορίζεται από τたうοおみくろん γράφημά της. Συγκεκριμένα, μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση f : A → B θεωρείται ως σχέση μεταξύ τたうωおめがνにゅー Αあるふぁ κかっぱαあるふぁιいおた Βべーた, δηλαδή ως ένα σύνολο f ⊂ A×B, ηいーた οποία υπακούει σしぐまτたうοおみくろん αξίωμα της μονοτιμίας, πぱいοおみくろんυうぷしろん εδώ παίρνει τたうηいーたνにゅー εξής μορφή:

αあるふぁνにゅー (a,b) ∈ f κかっぱαあるふぁιいおた (a,b') ∈ f τότε b = b'

Από τたうηいーたνにゅー άποψη της μαθηματικής λογικής, ηいーた έννοια της συνάρτησης εκφράζεται μみゅーεいぷしろん βάση μみゅーιいおたαあるふぁ τυπική γλώσσα ως ένα σύμβολο f βαθμού 2, τたうοおみくろん οποίο πάλι υπακούει σしぐまτたうοおみくろん αξίωμα μονοτιμίας:

αあるふぁνにゅー f(a,b) κかっぱαあるふぁιいおた f(a,b') τότε b ≡ b'

Σしぐまτたうαあるふぁ πλαίσια τたうοおみくろんυうぷしろん λらむだ-λογισμού, ηいーた έννοια της συνάρτησης εκφράζεται μみゅーεいぷしろん βάση μία τυπική γλώσσα ως λογικός όρος t, οおみくろん οποίος μπορεί αξιωματικά νにゅーαあるふぁ

• εφαρμόζεται σしぐまεいぷしろん άλλον όρο s, οおみくろん οποίος συμπεριφέρεται ως όρισμα, μみゅーεいぷしろん αποτέλεσμα ηいーた σύνταξη t s νにゅーαあるふぁ ανάγεται (βべーた-αναγωγή) σしぐまεいぷしろん έναν νέο όρο πぱいοおみくろんυうぷしろん μαθηματικά είναι ηいーた τιμή τたうοおみくろんυうぷしろん t(s)
• μετατρέπεται σしぐまεいぷしろん αφαίρεση ως προς κάποια τたうοおみくろんυうぷしろん μεταβλητή x, μみゅーεいぷしろん αποτέλεσμα έναν νέο όρο λらむだx.t, οおみくろん οποίος συμπεριφέρεται ως γενικός κανόνας αντιστοίχισης μέσα από τたうοおみくろんνにゅー κανόνα της αντικατάστασης:(λらむだx.t)(s) = t[x:=s]

Ηいーた συνηθισμένη διαισθητική ερμηνεία τたうωおめがνにゅー παραπάνω είναι ότι «ηいーた ανεξάρτητη μεταβλητή x αντιστοιχίζεται σしぐまτたうηいーたνにゅー εξαρτημένη μεταβλητή t(x), ώστε αあるふぁνにゅー εφαρμοστεί σしぐまεいぷしろん όρισμα s, τότε θしーたαあるふぁ προκύψει ηいーた τιμή t(s)».

Είδη συναρτήσεων

• Μία συνάρτηση f : A → B λέγεται ένα προς ένα (1-1) ή αμφιμονότιμη όταν αντιστοιχίζει κάθε όρισμα σしぐまεいぷしろん αποκλειστικά δική τたうοおみくろんυうぷしろん τιμή, δηλαδή όταν διαφορετικά ορίσματα απεικονίζονται σしぐまεいぷしろん διαφορετικές τιμές:

αあるふぁνにゅー a ≠ a' τότε f(a) ≠ f(a')

• Μία συνάρτηση f : A → B λέγεται επί (μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー έννοια: «τたうοおみくろん Αあるふぁ απεικονίζεται μέσω της f επί τたうοおみくろんυうぷしろん Βべーた, πάνω σしぐまτたうοおみくろん Βべーた») ή επιρριπτική όταν δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει στοιχείο σしぐまτたうοおみくろん Βべーた πぱいοおみくろんυうぷしろん νにゅーαあるふぁ μみゅーηいーたνにゅー είναι ηいーた εικόνα κάποιου στοιχείου σしぐまτたうοおみくろん Αあるふぁ:

γがんまιいおたαあるふぁ κάθε b∈B υπάρχει a∈A ώστε b = f(a)

Από πολλούς μαθηματικούς, οおみくろん όρος «αμφιμονότιμη συνάρτηση» δでるたεいぷしろんνにゅー χρησιμοποιείται ως συνώνυμο τたうοおみくろんυうぷしろん «ένα προς ένα συνάρτηση» παρά ως συνώνυμο τたうοおみくろんυうぷしろん «ένα προς ένα κかっぱαあるふぁιいおた επί». Τたうοおみくろん δでるたεいぷしろん επίθημα -εいぷしろんσしぐまηいーた (<ίημι) αποδίδει τたうοおみくろん γαλλικό - jection (<λらむだαあるふぁτたう. jacere), κかっぱαあるふぁιいおた έτσι χρησιμοποιούνται κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた όροι «ένεση» - «έφεση» - «αμφίεση» γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποδίδουν τたうαあるふぁ «injection» - «surjection» - «bijection», τたうαあるふぁ οποία έχουν επικρατήσει σしぐまτたうηいーた δυτική μαθηματική ορολογία, κかっぱαあるふぁιいおた σημαίνουν «ένα προς ένα» - «επί» - «ένα προς ένα κかっぱαあるふぁιいおた επί» αντίστοιχα.

Καθορισμός συνάρτησης

Μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί από οποιοδήποτε μαθηματικό όρο σχετίζοντας τたうοおみくろん κάθε όρισμα (τιμή εισόδου) προς τたうηいーたνにゅー αντίστοιχη τιμή εξόδου.Εάν τたうοおみくろん σύνολο ορισμού είναι πεπερασμένο, μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση f μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί απλά κατατάσσοντας όλα τたうαあるふぁ ορίσματα x κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー αντίστοιχη συνάρτηση τたうωおめがνにゅー τιμών της f(x). Συνηθέστερα, μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση ορίζεται από έναν τύπο, ή (γενικότερα) από έναν αλγόριθμο - μみゅーιいおたαあるふぁ συνταγή πぱいοおみくろんυうぷしろん λέει πώς νにゅーαあるふぁ υπολογιστεί ηいーた τιμή τたうοおみくろんυうぷしろん f(x) δίνοντας οποιοδήποτε χかい σしぐまτたうοおみくろん σύνολο ορισμού.

Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι ορισμού συναρτήσεων. Παραδείγματα περιλαμβάνουν τμηματικούς ορισμούς, μαθηματική επαγωγή ή αναδρομή, αλγεβρική ή αναλυτική συνάρτηση κλείσιμο, όρια, αναλυτική συνέχεια, άπειρες σειρές, κかっぱαあるふぁιいおた λύσεις σしぐまεいぷしろん ολοκληρωτικές κかっぱαあるふぁιいおた διαφορικές εξισώσεις. Οおみくろん λογισμός λάμδα παρέχει μみゅーιいおたαあるふぁ ισχυρή κかっぱαあるふぁιいおた ευέλικτη σύνταξη γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー καθορισμό κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん συνδυασμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Σしぐまεいぷしろん προχωρημένα μαθηματικά, ορισμένες συναρτήσεις υπάρχουν εξαιτίας ενός αξιώματος, όπως τたうοおみくろん Αξίωμα της επιλογής.

Γραφική Παράσταση

Ηいーた γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー διατεταγμένων ζευγών F. Αυτό είναι μみゅーιいおたαあるふぁ αφαίρεση της ιδέας ενός γραφήματος, σしぐまαあるふぁνにゅー μみゅーιいおたαあるふぁ εικόνα πぱいοおみくろんυうぷしろん δείχνει τたうηいーた συνάρτηση νにゅーαあるふぁ απεικονίζεται σしぐまεいぷしろん ένα ζεύγος αξόνων συντεταγμένων.Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα,(3, 9), τたうοおみくろん σημείο πάνω από τたうοおみくろん 3 βρίσκεται επί τたうοおみくろんυうぷしろん οριζόντιου άξονα κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうαあるふぁ δεξιά τたうοおみくろんυうぷしろん 9 επί τたうοおみくろんυうぷしろん κατακόρυφου άξονα, βρίσκεται πάνω σしぐまτたうηいーた γραφική παράσταση της y=x².

Τύποι κかっぱαあるふぁιいおた αλγόριθμοι

Διαφορετικοί τύποι ή αλγόριθμοι μπορεί νにゅーαあるふぁ περιγράψουν τたうηいーたνにゅー ίδια συνάρτηση.Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, f(x) = (x + 1) (x − 1) είναι ακριβώς ηいーた ίδια συνάρτηση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー f(x) = x² − 1..Επιπλέον, ηいーた συνάρτηση δでるたεいぷしろんνにゅー χρειάζεται νにゅーαあるふぁ περιγράφεται από έναν τύπο, έκφραση, ή αλγόριθμο, ούτε απαιτείται νにゅーαあるふぁ ασχολείται μみゅーεいぷしろん τους αριθμούς.Τたうοおみくろん σύνολο ορισμών κかっぱαあるふぁιいおた σύνολο τιμών μιας συνάρτησης μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι αυθαίρετα σύνολα. Ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης πぱいοおみくろんυうぷしろん ενεργεί γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーηいーた αριθμητικές εισόδους παίρνει αγγλικές λέξεις ως τιμή εισόδου, κかっぱαあるふぁιいおた επιστρέφει τたうοおみくろん πρώτο γράμμα της λέξης της τιμής εισόδου ως τιμή εξόδου.

Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた παραγοντική συνάρτηση ορίζεται στους μみゅーηいーた αρνητικούς ακεραίους κかっぱαあるふぁιいおた παράγει έναν μみゅーηいーた αρνητικό ακέραιο αριθμό. Ορίζεται από τたうηいーたνにゅー ακόλουθο επαγωγικό αλγόριθμο: 0! πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται νにゅーαあるふぁ ισούται μみゅーεいぷしろん 1, κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん n! πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται νにゅーαあるふぁ είναι $n(n-1)!$ γがんまιいおたαあるふぁ όλους τους θετικούς ακέραιους n. Ηいーた παραγοντική συνάρτηση συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん θαυμαστικό (πぱいοおみくろんυうぷしろん απεικονίζει τたうοおみくろん σύμβολο της συνάρτησης) μετά τたうηいーた μεταβλητή (συμβολισμός postfix).

Υπολογισιμότητα

Συναρτήσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん στέλνουν ακέραιους αριθμούς σしぐまεいぷしろん ακέραιους αριθμούς, ή πεπερασμένο χορδές σしぐまεいぷしろん πεπερασμένες χορδές, μπορεί μερικές φορές νにゅーαあるふぁ ορίζονται από έναν αλγόριθμο, πぱいοおみくろんυうぷしろん δίνει μみゅーιいおたαあるふぁ ακριβή περιγραφή μιας σειράς βημάτων γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό της εξόδου της συνάρτησης από τたうηいーたνにゅー είσοδο τたうοおみくろんυうぷしろん .Οおみくろんιいおた συναρτήσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん προσδιορίζονται από έναν αλγόριθμο ονομάζονται υπολογίσιμες συναρτήσεις.Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, οおみくろん Αλγόριθμος τたうοおみくろんυうぷしろん Ευκλείδη δίνει μみゅーιいおたαあるふぁ ακριβή διαδικασία γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό τたうοおみくろんυうぷしろん μέγιστου κοινού διαιρέτη τたうωおめがνにゅー δύο θετικών ακεραίων. Πολλές από τις συναρτήσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん μελετήθηκαν σしぐまτたうοおみくろん πλαίσιο της Θεωρίας Αριθμών είναι υπολογίσιμες.

Θεμελιώδη αποτελέσματα της θεωρίας υπολογισιμότητας δείχνουν ότι υπάρχουν συναρτήσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん μπορούν νにゅーαあるふぁ προσδιοριστούν επακριβώς, αλλά δでるたεいぷしろんνにゅー είναι υπολογίσιμες. Εξάλλου, υπό τたうηいーたνにゅー έννοια τたうοおみくろんυうぷしろん πληθάριθμου, σχεδόν όλες οおみくろんιいおた συναρτήσεις από τους ακέραιους αριθμούς σしぐまεいぷしろん ακέραιους δでるたεいぷしろんνにゅー είναι υπολογίσιμες.Οおみくろん αριθμός τたうωおめがνにゅー υπολογίσιμων συναρτήσεων από ακέραιους αριθμούς σしぐまεいぷしろん ακέραιους αριθμούς είναι μετρήσιμος, επειδή οおみくろん αριθμός τたうωおめがνにゅー πιθανών αλγορίθμων είναι.Οおみくろん αριθμός όλων τたうωおめがνにゅー συναρτήσεων από ακέραιους σしぐまεいぷしろん ακέραιους είναι υψηλότερη: τたうοおみくろん ίδιο συμβαίνει κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー πληθάριθμο τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών.Έτσι, οおみくろんιいおた περισσότερες συναρτήσεις από ακέραιους αριθμούς σしぐまεいぷしろん ακέραιους αριθμούς δでるたεいぷしろんνにゅー είναι υπολογίσιμες. Συγκεκριμένα παραδείγματα μみゅーηいーた υπολογίσιμων συναρτήσεων είναι γνωστά, συμπεριλαμβανομένου της Busy beaver κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー συναρτήσεων πぱいοおみくろんυうぷしろん σχετίζονται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん πρόβλημα ανάσχεσης κかっぱαあるふぁιいおた άλλα αναποφάσιστα προβλήματα.

Σύγκριση συναρτήσεων κかっぱαあるふぁιいおた πράξεις

Μία συνάρτηση f είναι ίση μみゅーεいぷしろん μία συνάρτηση g όταν έχουν τたうοおみくろん ίδιο σύνολο ορισμού, τたうοおみくろん ίδιο σύνολο τιμών κかっぱαあるふぁιいおた αντιστοιχίζουν ίσα ορίσματα σしぐまεいぷしろん ίσες τιμές:

f(a) = b αあるふぁνにゅーνにゅー g(a) = b

Σύμφωνα εξάλλου μみゅーεいぷしろん τたうηいーた συνολοθεωρητική προσέγγιση, δύο συναρτήσεις είναι ίσες όταν τたうαあるふぁ γραφήματά τους ταυτίζονται (ως σύνολα).

• Ηいーた (ξένη) ένωση δύο συναρτήσεων f : A → B κかっぱαあるふぁιいおた g : A' → B', όπου τたうαあるふぁ Αあるふぁ, Αあるふぁ' είναι σύνολα ξένα μεταξύ τους, είναι ηいーた αντιστοίχιση f∪g: A∪A' → B∪B' πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται ως

f∪g(a) = f(a) κかっぱαあるふぁιいおた f∪g(a') = g(a')

γがんまιいおたαあるふぁ κάθε a∈A, a'∈A'.

• Ηいーた τομή δύο συναρτήσεων f : A → B κかっぱαあるふぁιいおた g : A' → B' είναι ηいーた αντιστοίχιση f∩g: A∩A' → B∩B' πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται ως

f∩g(a) = b αあるふぁνにゅーνにゅー f(a)=g(a)=b

γがんまιいおたαあるふぁ κάθε a∈ A∩A'.

• Ηいーた σύνθεση της συνάρτησης f : A → B μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー g : B → C είναι ηいーた αντιστοίχιση gof: A → C, πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται ως

gof(a) = g(f(a))

γがんまιいおたαあるふぁ κάθε a∈ A∩f(a)∈B.

Ιδιότητες

Υπάρχουν ορισμένες βασικές ιδιότητες κかっぱαあるふぁιいおた έννοιες. Σしぐまεいぷしろん αυτή τたうηいーたνにゅー ενότητα,f είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση μみゅーεいぷしろん σύνολο ορισμού Χかい κかっぱαあるふぁιいおた σύνολου τιμών Y.

Εικόνα κかっぱαあるふぁιいおた αντίστροφη εικόνα

Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん Αあるふぁ είναι οποιοδήποτε υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου ορισμού Χかい, τότε τたうοおみくろん f(Αあるふぁ) είναι τたうοおみくろん υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τιμών τたうοおみくろんυうぷしろん Υうぷしろん πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελείται από όλες τις εικόνες τたうωおめがνにゅー στοιχείων τたうοおみくろんυうぷしろん Αあるふぁ . Λέμε τたうοおみくろん f(Αあるふぁ) είναι ηいーた εικόνα τたうοおみくろんυうぷしろん Αあるふぁ. Ηいーた εικόνα της f δίνεται από τたうηいーたνにゅー f(Χかい). Από τたうηいーたνにゅー άλλη πλευρά, ηいーた αντίστροφη εικόνα (ή '' πλήρης αντίστροφη εικόνα'') ενός υποσυνόλου Βべーた τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τιμών Υうぷしろん κάτω από μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση f είναι τたうοおみくろん υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου ορισμού Χかい πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται από τたうηいーたνにゅー

$f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}.$

Έτσι, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた αντίστροφη εικόνα τたうοおみくろんυうぷしろん {4, 9} υπό τたうηいーたνにゅー συνάρτηση τετράγωνου είναι τたうοおみくろん σύνολο {-3, -2,2,3}. Οおみくろん όρος εύρος αναφέρεται συνήθως σしぐまτたうηいーたνにゅー εικόνα, αλλά μερικές φορές αναφέρεται κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうοおみくろん σύνολο τιμών.

Εいぷしろんξくしー ορισμού μιας συνάρτησης, ηいーた εικόνα ενός στοιχείου x τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου ορισμού είναι πάντα ένα μόνο στοιχείο y τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τιμών. Αντίθετα, όμως, ηいーた αντίστροφη εικόνα τたうοおみくろんυうぷしろん μみゅーοおみくろんνにゅーοおみくろんυうぷしろん (μαθηματικά) συνόλου (ένα σύνολο μみゅーεいぷしろん ακριβώς ένα στοιχείο) μπορεί γενικά νにゅーαあるふぁ περιέχει οποιοδήποτε αριθμό στοιχείων. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, αあるふぁνにゅー f(x) = 7 (ηいーた σταθερή συνάρτηση, παίρνει τたうηいーたνにゅー τιμή 7), τότε ηいーた αντίστροφη εικόνα τたうοおみくろんυうぷしろん τたうοおみくろんυうぷしろん {5} είναι τたうοおみくろん κενό σύνολο, αλλά τたうοおみくろんυうぷしろん {7} είναι ολόκληρο τたうοおみくろん σύνολο ορισμού. Είναι σύνηθες νにゅーαあるふぁ γράφουμε f⁻¹(b) αντί f⁻¹({b}), δηλαδή

$f^{-1}(b)=\{x\in X:f(x)=b\}.$

Ηいーた χρήση τたうοおみくろんυうぷしろん f(Αあるふぁ) γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ υποδηλώσει τたうηいーたνにゅー εικόνα ενός υποσυνόλου Αあるふぁ⊆Χかい ορίζεται εφόσον κανένα υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου ορισμού δでるたεいぷしろんνにゅー είναι επίσης ένα στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου ορισμού. Σしぐまεいぷしろん ορισμένους τομείς (πぱい.χかい., σしぐまτたうηいーた θεωρία τたうωおめがνにゅー συνόλων, όπου οおみくろん διατεταγμένος αριθμός είναι επίσης σύνολα διάταξης) είναι βολικό ή ακόμα κかっぱαあるふぁιいおた απαραίτητο νにゅーαあるふぁ γίνει διάκριση μεταξύ τたうωおめがνにゅー δύο εννοιών.Οおみくろん συνήθης συμβολισμός είναι f[A] γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん σύνολο { f(x): x ∈ A }.Ομοίως, ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν αγκύλες γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποφευχθεί ηいーた σύγχυση μεταξύ της αντίστροφης εικόνας κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー αντίστροφης συνάρτησης.Έτσι θしーたαあるふぁ έγραφαν f⁻¹[B] κかっぱαあるふぁιいおた f⁻¹[b] γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー αντίστροφη εικόνα ενός συνόλου κかっぱαあるふぁιいおた μιας συνάρτησης.

Αμφιμονοσήμαντες κかっぱαあるふぁιいおた επιρριπτικές συναρτήσεις

Μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση ονομάζεται αμφιμονότιμη (ή ένα-προς-ένα, ή ένεση) αあるふぁνにゅー f(a) ≠ f(b) γがんまιいおたαあるふぁ οποιαδήποτε διαφορετικά στοιχεία a κかっぱαあるふぁιいおた b τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου ορισμού.Ονομάζεται επιρριπτική (ή επί) αあるふぁνにゅー f(X) = Y.Δηλαδή, είναι επί αあるふぁνにゅー γがんまιいおたαあるふぁ κάθε στοιχείο y τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τιμών υπάρχει ένα x σしぐまτたうοおみくろん σύνολο ορισμού, έτσι ώστε f(x) = y. Τέλος ηいーた f ονομάζεται αμφιρριπτική, αあるふぁνにゅー είναι αμφιμονότιμη κかっぱαあるふぁιいおた επί. Αυτή ηいーた ονοματολογία εισήχθη από τたうηいーたνにゅー ομάδα bourbaki.

Ηいーた παραπάνω χρώμα τたうοおみくろんυうぷしろん σχήματος συνάρτηση δでるたεいぷしろんνにゅー είναι αμφιμονότιμη αφού δύο διαφορετικά σχήματα (τたうοおみくろん κόκκινο τρίγωνο κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん κόκκινο ορθογώνιο) έχουν τたうηいーたνにゅー ίδια τιμή. Επιπλέον, δでるたεいぷしろんνにゅー είναι επί, δεδομένου ότι ηいーた εικόνα της συνάρτησης περιέχει μόνο τρία, αλλά όχι κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ πέντε χρώματα τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τιμών.

Σύνθεση συνάρτησης

Μみゅーιいおたαあるふぁ σύνθεση συνάρτησης g(f(x)) μπορεί νにゅーαあるふぁ απεικονιστεί ως συνδυασμός δでるたυうぷしろんοおみくろん "μηχανών".Ηいーた πρώτη παίρνει ως είσοδο τたうοおみくろん x κかっぱαあるふぁιいおた εξάγει τたうοおみくろん f(x).Ηいーた δεύτερη εισάγει τたうοおみくろん f(x) κかっぱαあるふぁιいおた εξάγει τたうοおみくろん g(f(x)).

Ηいーた σύνθεση συνάρτησης δでるたυうぷしろんοおみくろん συναρτήσεων παίρνει τたうηいーたνにゅー έξοδο της μιας συνάρτησης ως τたうηいーたνにゅー είσοδο της δεύτερης. Πぱいιいおたοおみくろん συγκεκριμένα, ηいーた σύνθεση της f μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση g: Y → Z είναι ηいーた συνάρτηση $g\circ f\colon X\rightarrow Z$ πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται από τたうηいーたνにゅー

$(g\circ f)(x)=g(f(x)).$

Δηλαδή, ηいーた τιμή τたうοおみくろんυうぷしろん x προέρχεται εφαρμόζοντας πρώτα τたうοおみくろん f σしぐまτたうοおみくろん x γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ διατηρήσουμε τたうοおみくろん y = f(x) κかっぱιいおた έπειτα εφαρμόζοντας τたうοおみくろん g σしぐまτたうοおみくろん y γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ διατηρήσουμε τたうοおみくろん z = g(y).Σしぐまτたうοおみくろん συμβολισμό $g\circ f$, ηいーた συνάρτηση σしぐまτたうαあるふぁ δεξιά, ηいーた f, δでるたρろーαあるふぁ πρώτη κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた συνάρτηση σしぐまτたうαあるふぁ αριστερά,ηいーた g λειτουργεί δεύτερη ,αντιστρέφοντας τたうηいーた σειρά ανάγνωσης.Οおみくろん συμβολισμός μπορεί νにゅーαあるふぁ απομνημονευθεί διαβάζοντας τたうοおみくろん συμβολισμό ως "g τたうοおみくろんυうぷしろん f".Ηいーた σύνθεση $g\circ f$ ορίζεται μόνο όταν τたうοおみくろん σύνολο τιμών της f είναι τたうοおみくろん σύνολο ορισμού της g.. Υποθέτοντας ότι, ηいーた σύνθεση κατά τたうηいーたνにゅー αντίθετη σειρά $f\circ g$ δでるたεいぷしろんνにゅー χρειάζεται νにゅーαあるふぁ οριστεί.Ακόμα κかっぱιいおた αあるふぁνにゅー είναι, δηλαδή, αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん σύνολο τιμών της f είναι τたうοおみくろん σύνολο τιμών της g,σしぐまεいぷしろん γενικές γραμμές δでるたεいぷしろんνにゅー ισχύει πως

$g\circ f=f\circ g.$

Δηλαδή, ηいーた διάταξη της σύνθεσης είναι σημαντική. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ας υποθέσουμε f(x) = x² κかっぱαあるふぁιいおた g(x) = x+1. Τότε g(f(x)) = x²+1, ενώ f(g(x)) = (x+1)², πぱいοおみくろんυうぷしろん ισούται μみゅーεいぷしろん x²+2x+1, μみゅーιいおたαあるふぁ διαφορετική συνάρτηση.

Ταυτοτική συνάρτηση

Ηいーた μοναδική συνάρτηση ενός συνόλου X πぱいοおみくろんυうぷしろん αντιστοιχεί τたうοおみくろん κάθε στοιχείο σしぐまτたうοおみくろんνにゅー εαυτό τたうοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται ταυτοτική συνάρτηση τたうοおみくろんυうぷしろん Χかい, κかっぱαあるふぁιいおた συνήθως συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん id_X. Κάθε σύνολο έχει τたうηいーた δική τたうοおみくろんυうぷしろん ταυτοτική συνάρτηση, οπότε οおみくろん δείκτης δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ παραλειφθεί εάν τたうοおみくろん σύνολο μπορεί προκύψει από τたうαあるふぁ συμφραζόμενα. Σしぐまτたうηいーた σύνθεση ηいーた ταυτοτική συνάρτηση είναι ουδέτερη: αあるふぁνにゅー ηいーた f είναι οποιαδήποτε συνάρτηση από τたうοおみくろん X σしぐまτたうοおみくろん Y, τότε

${\begin{aligned}f\circ \operatorname {id} _{X}&=f,\\\operatorname {id} _{Y}\circ f&=f.\end{aligned}}$

Περιορισμοί κかっぱαあるふぁιいおた επεκτάσεις

Ανεπίσημα, οおみくろん περιορισμός μιας συνάρτησης f είναι τたうοおみくろん αποτέλεσμα της περικοπής τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου ορισμού τたうοおみくろんυうぷしろん. Πぱいιいおたοおみくろん συγκεκριμένα, αあるふぁνにゅー S είναι οποιοδήποτε υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん Χかい, οおみくろん περιορισμός της f σしぐまτたうοおみくろん S είναι ηいーた συνάρτηση f|_S από τたうοおみくろん S σしぐまτたうοおみくろん Υうぷしろん, έτσι ώστε f|_S(s) = f(s) γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ s τたうοおみくろんυうぷしろん S. Αあるふぁνにゅー g είναι ένας περιορισμός τたうοおみくろんυうぷしろん f, τότε λέγεται ότι τたうοおみくろん f είναι μみゅーιいおたαあるふぁ επέκταση της g.

Τたうοおみくろん πρωταρχικό της f: X → Y μέσω της g: W → Y'(πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται επίσης επιτακτική ένωση) είναι μみゅーιいおたαあるふぁ επέκταση της g πぱいοおみくろんυうぷしろん συμβολίζεται ως (f ⊕ g): (X ∪ W) → Y.Ηいーた γραφική παράσταση τたうοおみくろんυうぷしろん είναι ηいーた σύνολο-θεωρητική ένωση τたうωおめがνにゅー γραφικών παραστάσεων τたうωおめがνにゅー g and f|X \ W. Έτσι, σχετίζει οποιοδήποτε στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου ορισμού της g σしぐまτたうηいーたνにゅー εικόνα τたうοおみくろんυうぷしろん επί της g, καθώς κかっぱαあるふぁιいおた κάθε άλλο στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου ορισμού της f σしぐまτたうηいーたνにゅー εικόνα τたうοおみくろんυうぷしろん επί της f. είναι μみゅーιいおたαあるふぁ προσεταιριστική ιδιότητα ,πぱいοおみくろんυうぷしろん περιέχει τたうηいーたνにゅー κενή συνάρτηση ως τたうοおみくろん ουδέτερο στοιχείο. Αあるふぁνにゅー f|X ∩ W κかっぱαあるふぁιいおた g|X ∩ W είναι σημειακά ίσες (πぱい.χかい., ηいーた τομή τたうωおめがνにゅー f κかっぱαあるふぁιいおた g είναι ξένη), τότε ηいーた ένωση τたうωおめがνにゅー f κかっぱαあるふぁιいおた g ορίζεται κかっぱαあるふぁιいおた είναι ίση μみゅーεいぷしろん επιτακτικό ένωσή τους. Οおみくろん ορισμός αυτός συμφωνεί μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー ορισμό της ένωσης γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー δυαδική σχέση.

Αντίστροφη συνάρτηση

Μみゅーιいおたαあるふぁ αντίστροφη συνάρτηση γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー f, συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん f⁻¹,κかっぱαあるふぁιいおた είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση προς τたうηいーたνにゅー αντίθετη κατεύθυνση, από τたうοおみくろん Υうぷしろん σしぐまτたうοおみくろん X, ικανοποιώντας τたうηいーたνにゅー

$f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}.$

Δηλαδή, οおみくろんιいおた δύο πιθανές συνθέσεις της f κかっぱαあるふぁιいおた f⁻¹ πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι οおみくろんιいおた αντίστοιχοι ακριβείς τたうοおみくろんυうぷしろん Χかい κかっぱαあるふぁιいおた Υうぷしろん.

Ως ένα απλό παράδειγμα, αあるふぁνにゅー ηいーた f μετατρέπει μみゅーιいおたαあるふぁ θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου C σしぐまεいぷしろん βαθμούς Fahrenheit F, ηいーた συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん μετατρέπει τους βαθμούς Fahrenheit σしぐまεいぷしろん βαθμούς Κελσίου θしーたαあるふぁ ήταν μみゅーιいおたαあるふぁ κατάλληλη f⁻¹.

${\begin{aligned}f(C)&={\frac {9}{5}}C+32\\f^{-1}(F)&={\frac {5}{9}}(F-32)\end{aligned}}$

Μみゅーιいおたαあるふぁ τέτοια αντίστροφη συνάρτηση υπάρχει αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο αあるふぁνにゅー ηいーた f είναι αμφιρριπτική. Σしぐまεいぷしろん αυτή τたうηいーたνにゅー περίπτωση,ηいーた f ονομάζεται αντιστρέψιμη. Οおみくろん συμβολισμός $g\circ f$ (ή, σしぐまεいぷしろん κάποια κείμενα, απλά $gf$) κかっぱαあるふぁιいおた f⁻¹ είναι παρόμοιος μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー πολλαπλασιασμό. Έτσι, οおみくろんιいおた ταυτοτικές συναρτήσεις είναι σしぐまαあるふぁνにゅー τたうηいーたνにゅー πολλαπλασιαστική ταυτότητα, 1, κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた αντίστροφες συναρτήσεις είναι σしぐまαあるふぁνにゅー αντίστροφες(εいぷしろんξくしー οおみくろんυうぷしろん κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん συμβολισμός).

Γενικά

• Μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο αあるふぁνにゅー είναι αμφίεση.
• Ηいーた ένωση δύο συναρτήσεων είναι πάλι συνάρτηση, ενώ ηいーた τομή όχι πάντα (ωστόσο είναι πάντα μερική συνάρτηση, δες παρακάτω).
• Ηいーた σύνθεση δύο συναρτήσεων είναι επίσης συνάρτηση.
• Αあるふぁνにゅー f : A → B κかっぱαあるふぁιいおた g : B → C είναι ενέσεις τότε κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた σύνθεσή τους gof είναι ένεση.
• Αあるふぁνにゅー f : A → B κかっぱαあるふぁιいおた g : B → C είναι εφέσεις τότε κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた σύνθεσή τους gof είναι έφεση.

Γενικεύσεις

• Μία αντιστοίχιση f : A → B, ηいーた οποία δでるたεいぷしろんνにゅー είναι απαραίτητα μονότιμη, αλλά μπορεί νにゅーαあるふぁ αποδίνει περισσότερες από μία τιμές σしぐまεいぷしろん ένα όρισμα, λέγεται πολύτιμη ή πλειότιμη ή πολυσήμαντη συνάρτηση. Παράδειγμα πολύτιμης συνάρτησης είναι ηいーた αντίστροφη αντιστοίχιση μιας συνάρτησης.
• Μία αντιστοίχιση f : A → B, ηいーた οποία δでるたεいぷしろんνにゅー αποδίνει απαραίτητα τιμή σしぐまεいぷしろん κάθε όρισμα από τたうοおみくろん Αあるふぁ, λέγεται μερική συνάρτηση, κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーたνにゅー αντίθετη περίπτωση, ολική συνάρτηση. Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση της μερικής συνάρτησης, λέμε ότι ηいーた f ορίζεται σしぐまεいぷしろん κάποιο στοιχείο a τたうοおみくろんυうぷしろん Αあるふぁ όταν τたうοおみくろん αντιστοιχίζει σしぐまεいぷしろん κάποιο στοιχείο b τたうοおみくろんυうぷしろん Βべーた· τたうοおみくろん υποσύνολο Αあるふぁ' τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου ορισμού Αあるふぁ σしぐまτたうοおみくろん οποίο ηいーた f ορίζεται, λέγεται πεδίο ορισμού (ακόμη, πεδίο), κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん υποσύνολο Βべーた' τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τιμών Βべーた, πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελείται από τις εικόνες της f, λέγεται πεδίο τιμών (ακόμη, συμπεδίο) της f.
• Μία αντιστοίχιση F : (A → B) → C, πぱいοおみくろんυうぷしろん δέχεται δηλαδή συναρτήσεις f : A → B ως ορίσματα κかっぱαあるふぁιいおた τους αποδίνει τιμή F(f) μέσα σしぐまτたうοおみくろん C, κかっぱαあるふぁιいおた ακόμη υπακούει σしぐまτたうοおみくろん αξίωμα της μονοτιμίας, λέγεται συναρτησιακό ή συναρτησοειδές. Τυπικά παραδείγματα συναρτησιακών σしぐまτたうηいーた μαθηματική ανάλυση είναι τたうοおみくろん ολοκλήρωμα κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた παράγωγος συνάρτησης.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Εいぷしろん. Πανάς (1979). «Γενικά περί συναρτήσεων». Ευκλείδης Β΄ (1): 30-37. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3564. 
• Χかい. Παξινός (1981). «Αντιστοιχίες-Συναρτήσεις». Ευκλείδης Β΄ (1): 52-57. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3564. 
• Νにゅー. Παξινός (1982). «Συναρτήσεις». Ευκλείδης Β΄ (3): 171-176. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3137. 
• Θしーた. Μαμούρη (1984). «Συναρτήσεις». Ευκλείδης Β΄ (1): 50-55. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2772. 
• Γがんま. Στρατής (1985). «Οおみくろんιいおた απεικονίσεις-συναρτήσεις σしぐま'ένα ευρύ φάσμα μαθηματικών εννοιών». Ευκλείδης Β΄ (2): 68-75. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2772. 

Δείτε επίσης

• Γραφική παράσταση συνάρτησης
• Συνέχεια συνάρτησης
• Πραγματική συνάρτηση
• Μιγαδική συνάρτηση
• Συναρτησιακό κかっぱαあるふぁιいおた Τελεστής
• Μερική συνάρτηση
• Σχέση
• Συνάρτηση μεταφοράς
• Συνάρτηση ζήτα