Pauli maatriksid

Pauli maatriksiteks kutsutakse matemaatilises füüsikas ja füüsikas kolme 2x2 kompleksset maatriksit, mis on herimiitilised ja unitaarsed. Reeglina tähistatakse Pauli maatriksit kreeka tähega sigma ($\sigma$).

$$\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$$

Pauli maatriksid on nimetatud Šveitsi ja USA teoreetilise füüsiku Wolfgang Ernst Pauli järgi. Kvantmehaanikas kasutatakse maatrikseid Pauli valemis, mis võtab arvesse osakese spinni vastastikmõju välise elektromagnetväljaga.

Iga Pauli maatriks on hermiitiline ja koos ühikmaatriksiga $I$ (teinekord kutsutud ka nullindaks Pauli maatriksiks $\sigma _{0}$) moodustavad Pauli maatriksid (korrutatuna reaalsete koefitsientidega) vektorruumi baasi 2x2 hermiitilistele maatriksitele.

Algerbralised omadused

Kõik kolm Pauli maatriksit saab välja kirjutada järgmiselt

$\sigma _{a}={\begin{pmatrix}\delta _{a3}&\delta _{a1}-i\delta _{a2}\\\delta _{a1}+i\delta _{a2}&-\delta _{a3}\end{pmatrix}}$,

kus $i={\sqrt {-1}}$ on imaginaarühik ja $\delta _{ab}$ on Kroneckeri delta, mis võrdub ühega, kui $a=b$ ning muudel juhtudel nulliga. Valides $a$ väärtuseks 1, 2 või 3, saame vastava Pauli maatriksi.

Pauli maatriksite determinant on $\det \sigma _{a}=-1$ ja jälg on ${\text{Tr }}\sigma _{a}=0$.

Omavektorid ja omaväärtused

Kõigil Pauli maatriksitel on kaks omaväärtus $+1$ ja $-1$.

${\text{det}}\left(\sigma _{1}-\lambda I\right)={\text{det}}\left({\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{pmatrix}}\right)={\text{det}}{\begin{pmatrix}-\lambda &1\\1&-\lambda \end{pmatrix}}=\lambda ^{2}-1\quad \to \quad \lambda =\pm 1$

${\text{det}}\left(\sigma _{2}-\lambda I\right)={\text{det}}\left({\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{pmatrix}}\right)={\text{det}}{\begin{pmatrix}-\lambda &-i\\i&-\lambda \end{pmatrix}}=\lambda ^{2}-1\quad \to \quad \lambda =\pm 1$

${\text{det}}\left(\sigma _{3}-\lambda I\right)={\text{det}}\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{pmatrix}}\right)={\text{det}}{\begin{pmatrix}1-\lambda &0\\0&-1-\lambda \end{pmatrix}}=\lambda ^{2}-1\quad \to \quad \lambda =\pm 1$

Neile vastavad normeeritud omavektorid on

$\psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},\qquad \psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},$

$\psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}},\qquad \psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}},$

$\psi _{z+}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\qquad \qquad \psi _{z-}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.$

Pauli vektor

Pauli vektor defineeritakse järgmiselt

$\mathbf {\sigma } =\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}$

Kommutatsiooni reeglid

Pauli maatriksid järgivad kommutatsiooni reegleid $[\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}$ ja antikommutatsiooni reegleid $\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}=2\delta _{ab}I$, kus $\varepsilon _{abc}$ on Levi-Civita sümbol, $\delta _{ab}$ on Kroneckeri delta ja $I$ on 2x2 ühikmaatriks ning kasutatud on Einsteini summeerimise reegleid.

Näiteks:

$$[\sigma _{1},\sigma _{2}]=2i\sigma _{3},\qquad [\sigma _{2},\sigma _{3}]=2i\sigma _{1},\qquad [\sigma _{3},\sigma _{1}]=2i\sigma _{2},\qquad [\sigma _{1},\sigma _{1}]=0,\qquad \{\sigma _{1},\sigma _{1}\}=2I,\qquad \{\sigma _{1},\sigma _{2}\}=0.$$

Kommutaatori ja antikommutaatori liidetist saab väljendada Pauli maatriksite skalaarkorrutise kaudu.

$$[\sigma _{a},\sigma _{b}]+\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}=(\sigma _{a}\sigma _{b}-\sigma _{b}\sigma _{a})+(\sigma _{a}\sigma _{b}+\sigma _{b}\sigma _{a})=2i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}+2\delta _{ab}I=2\sigma _{a}\sigma _{b}$$

Seega $\sigma _{a}\sigma _{b}=\delta _{ab}I+i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}$.