Pauli-spinmatrix

In de natuurkunde zijn de pauli-spinmatrices drie hermitische en unitaire 2×2-matrices. Ze worden meestal aangeduid met de Griekse letter sigma σしぐま, maar ook wel met de tau τたう, als ze met de symmetrieën van de isospin in verband worden gebracht.

De pauli-spinmatrices zijn:

$\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Ze zijn naar de Oostenrijkse natuurkundige Wolfgang Pauli 1900-1958 genoemd, die ze in zijn theorie voor de kwantummechanische spin gebruikte.

Het spoor van de drie matrices is 0.

De reële deelalgebra die wordt voortgebracht door de $\sigma _{i}$, dus de verzameling van reële of complexe lineaire combinaties van de pauli-spinmatrices, is de volledige verzameling $\mathrm {M} _{2}(\mathbb {C} )$ van complexe hermitische 2×2-matrices. Deze algebra is isomorf met de reële clifford-algebra van de $\mathbb {R} ^{3}$, zodat de pauli-spinmatrices voorzien in een expliciet isomorfisme.

Vermenigvuldigingstabel

Noem

$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I_{2}$

dan volgt

$\cdot$	$I_{2}$	$\sigma _{1}$	$\sigma _{2}$	$\sigma _{3}$
$I_{2}$	$I_{2}$	$\sigma _{1}$	$\sigma _{2}$	$\sigma _{3}$
$\sigma _{1}$	$\sigma _{1}$	$I_{2}$	$\mathrm {i} \ \sigma _{3}$	$-\mathrm {i} \ \sigma _{2}$
$\sigma _{2}$	$\sigma _{2}$	$-\mathrm {i} \ \sigma _{3}$	$I_{2}$	$\mathrm {i} \ \sigma _{1}$
$\sigma _{3}$	$\sigma _{3}$	$\mathrm {i} \ \sigma _{2}$	$-\mathrm {i} \ \sigma _{1}$	$I_{2}$

dus

$\sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\$ voor $i\neq j$

Literatuur

• W Pauli. Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, 1927. in Zeitschrift für Physik, 43, blz 601