一実 かずみ 変数 へんすう 関数 かんすう のテイラー展開 てんかい
編集 へんしゅう
一変 いっぺん 数 すう 複素 ふくそ 関数 かんすう のテイラー展開 てんかい
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点 てん a を含 ふく む開 ひらけ 集合 しゅうごう D ⊆ C 上 うえ で微分 びぶん 可能 かのう 、すなわち正則 せいそく な複素 ふくそ 関数 かんすう f が与 あた えられたとき、べき級数 きゅうすう
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
z
−
a
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}}
を関数 かんすう f の点 てん a まわりのテイラー級数 きゅうすう という。正則 せいそく 関数 かんすう の解析 かいせき 性 せい から、点 てん a を中心 ちゅうしん として D に包含 ほうがん されるような任意 にんい の開 ひらき 円 えん 板 ばん B (a ,r ) = { z ∈ C | |z − a | < r } ⊆ D 上 うえ でこの級数 きゅうすう は f (a ) に収束 しゅうそく する。
剰余 じょうよ 項 こう Rn は複素 ふくそ 線 せん 積分 せきぶん を用 もち いて、次 つぎ のように表 あらわ せる:
R
n
(
z
)
=
(
z
−
a
)
n
[
1
2
π ぱい
i
∫
C
f
(
w
)
(
w
−
a
)
n
(
w
−
z
)
d
w
]
{\displaystyle R_{n}(z)=(z-a)^{n}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(w)}{(w-a)^{n}(w-z)}}\mathrm {d} w\right]}
ここで C は、点 てん a とz を囲 かこ み、周 しゅう および内部 ないぶ が D に含 ふく まれるような反 はん 時計 とけい 回 まわ りの円周 えんしゅう である。
テイラー展開 てんかい は一変 いっぺん 数 すう 関数 かんすう のみならず、多 た 変数 へんすう 関数 かんすう にも適用 てきよう できる。d 変数 へんすう 関数 かんすう f のテイラー展開 てんかい は以下 いか の式 しき である。
f
(
x
1
,
…
,
x
d
)
=
∑
n
1
=
0
∞
∑
n
2
=
0
∞
⋯
∑
n
d
=
0
∞
(
x
1
−
a
1
)
n
1
⋯
(
x
d
−
a
d
)
n
d
n
1
!
⋯
n
d
!
(
∂
n
1
+
⋯
+
n
d
f
∂
x
1
n
1
⋯
∂
x
d
n
d
)
(
a
1
,
…
,
a
d
)
.
{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\dots ,a_{d}).\!}
多重 たじゅう 指数 しすう 記法 きほう を用 もち いれば、d 変数 へんすう 関数 かんすう f (x ) のテイラー展開 てんかい は次 つぎ 式 しき で表現 ひょうげん される。
f
(
x
)
=
∑
α あるふぁ
∈
N
0
d
(
x
−
a
)
α あるふぁ
α あるふぁ
!
(
∂
α あるふぁ
f
)
(
a
)
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}^{}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\,({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}\,f)(\mathbf {a} )}
アインシュタインの縮 ちぢみ 約 やく 記法 きほう を用 もち いれば、多 た 変数 へんすう 関数 かんすう f (xμ みゅー ) のテイラー展開 てんかい は次 つぎ 式 しき である。
f
(
x
μ みゅー
)
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
[
(
x
μ みゅー
−
α あるふぁ
μ みゅー
)
∂
μ みゅー
]
n
f
(
α あるふぁ
μ みゅー
)
{\displaystyle f(x^{\mu })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left[(x^{\mu }-\alpha ^{\mu })\partial _{\mu }\right]^{n}f(\alpha ^{\mu })}
上 うえ 式 しき の ∂μ みゅー は微分 びぶん 演算 えんざん 子 こ であり、ベクトル解析 かいせき の記法 きほう では ∇ に置 お き換 か えられる。一番 いちばん 後 うし ろに f (α あるふぁ μ みゅー ) があるが、これは f (xμ みゅー ) に左 ひだり の演算 えんざん 子 こ を作用 さよう させてから f (xμ みゅー ) の引数 ひきすう として α あるふぁ μ みゅー を与 あた えることを表 あらわ していることに注意 ちゅうい する。
^ f の 0 次 つぎ 導 しるべ 関数 かんすう は f 自身 じしん である。
^ 0の0乗 じょう も参照 さんしょう 。定義 ていぎ の衝突 しょうとつ を避 さ けるならば、単 たん に n = 0 の項 こう を明示 めいじ 的 てき に書 か き、n = 0 を含 ふく めない形 かたち で和 わ を取 と り直 なお せばよい。