エルミート作用素さようそ

エルミート作用素さようそ（エルミートさようそ、英えい: Hermitian operator, Hermitian）とは、複素ふくそヒルベルト空間くうかん上うえの線形せんけい作用素さようそで、自分じぶん自身じしんと形式けいしき共役きょうやくになるようなもののことである。

物理ぶつり学がくの特とくに量子力学りょうしりきがくの文脈ぶんみゃくでは作用素さようそのことを「演算えんざん子こ」と呼よぶ。そのため、エルミート作用素さようそはエルミート演算えんざん子こと呼よばれる。

エルミート作用素さようそという名称めいしょうは、エルミート行列ぎょうれつなどの研究けんきゅうで知しられるフランス人数にんずう学者がくしゃシャルル・エルミートに因ちなむ。

定義ていぎ

エルミート内積ないせき ⟨•, •⟩ を備そなえた複素ふくそヒルベルト空間くうかん H 上うえの線型せんけい作用素さようそ h が定義ていぎ域いき内うちの任意にんいの ξくしー, ηいーた ∈ D(H) について

$$\langle h\xi ,\eta \rangle =\langle \xi ,h\eta \rangle$$

を満みたす場合ばあい、作用素さようそ h は内積ないせき ⟨•, •⟩ に関かんするエルミート作用素さようそと呼よばれる。

無限むげん次元じげんヒルベルト空間くうかん H の稠密ちゅうみつな部分ぶぶん空間くうかん D 上うえで定義ていぎされた線型せんけい作用素さようそ h が ξくしー, ηいーた ∈ D について

$$\langle h\xi ,\eta \rangle =\langle \xi ,h\eta \rangle$$

を満みたす場合ばあい、作用素さようそ h は対称たいしょう作用素さようそ (symmetric operator) と呼よばれる。

更さらに対称たいしょう作用素さようそ h について、

$$\{\xi \in H\mid \eta \to \langle \xi ,h\eta \rangle {\text{ is bounded on }}D\}=D$$

を満みたす場合ばあい、作用素さようそ h は自己じこ共役きょうやく作用素さようそ (self-conjugate operator) または自己じこ随伴ずいはん作用素さようそ (self-adjoint operator) と呼よばれる。

上記じょうきの作用素さようそを「自己じこ共役きょうやく（自己じこ随伴ずいはん）」と呼よぶのは、一般いっぱんに内積ないせき空間くうかんで

$$\langle \psi ^{*}\xi ,\eta \rangle =\langle \xi ,\psi \eta \rangle$$

を満みたす線型せんけい作用素さようそ ψぷさい^* を ψぷさい の内積ないせき ⟨•, •⟩ に関かんする共役きょうやく (conjugate) または随伴ずいはん (adjoint) と呼よぶことに由来ゆらいする。 つまり、自分じぶん自身じしんが自分じぶんの共役きょうやくであるという意味いみである。

例れい

エルミート行列ぎょうれつ、すなわち行列ぎょうれつ A = (a_ij)_ij で、A^* = A を満みたすもの。ただし "*" は転置てんち複素ふくそ共役きょうやくをとる対たい合ごうであり、$A^{*}=({\bar {a}}_{ji})_{ij}$ は通常つうじょうのエルミート内積ないせきに関かんする A の共役きょうやく作用素さようそである。

• $A{\mbox{: Hermitian}}\iff a_{ij}={\bar {a}}_{ji}{\mbox{ for all }}i,j.$

実直じっちょく線せん R 上うえの L² 空間くうかん L²(R, dx) の稠密ちゅうみつな部分ぶぶん空間くうかん

$D=\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ,dx):{\frac {df}{dx}}\in L^{2}(\mathbb {R} ,dx)\}$

上うえで定義ていぎされた非ひ有界ゆうかいな作用素さようそ

$f\mapsto i{\frac {df}{dx}}$

は自己じこ共役きょうやくである。

性質せいしつ

エルミート作用素さようその固有値こゆうちは必かならず実数じっすうである。また、相そう異ことなる固有値こゆうちに属ぞくする固有こゆうベクトル同士どうしは直交ちょっこうしている。とくに、エルミート行列ぎょうれつはユニタリ行列ぎょうれつによって実じつ対たい角かく行列ぎょうれつへと対たい角かく化かすることができる。無限むげん次元じげんヒルベルト空間くうかん上じょうの自己じこ共役きょうやく作用素さようそで連続れんぞくスペクトルを持もつものの場合ばあいには、この固有こゆう空間くうかん分解ぶんかいはスペクトル測度そくどの概念がいねんによって一般いっぱん化かされる。

物理ぶつり学がく的てきな意味いみ

詳細しょうさいは「量子力学りょうしりきがくの数学すうがく的てき定式ていしき化か」および「オブザーバブル」を参照さんしょう

量子力学りょうしりきがくにおける系けいの変化へんかは演算えんざん子こで表現ひょうげんされ、観測かんそく可能かのうな物理ぶつり量りょう（オブザーバブル）に関かんする観測かんそくはすべて実数じっすうを固有値こゆうちとするエルミート演算えんざん子こ（厳密げんみつにはより強つよい概念がいねんである自己じこ共役きょうやく作用素さようそ）で表現ひょうげんされる。物理ぶつり量りょうの観測かんそく値ちを求もとめるためにはエルミート演算えんざん子こに対たいする固有値こゆうち問題もんだいを扱あつかうことになる。

関連かんれん項目こうもく

• 線型せんけい代数だいすう学がく
• 関数かんすう解析かいせき学がく
• C*-環たまき
• フォン・ノイマン環たまき

参考さんこう文献ぶんけん

• Pedersen, Gert K. (1989). Analysis Now. Springer. ISBN 978-0387967882