スピン軌道きどう相互そうご作用さよう

スピン軌道きどう相互そうご作用さよう（英えい: Spin orbit coupling、稀まれに英えい: Spin orbit interaction）とは電子でんしのスピンと、電子でんしの軌道きどう角かく運動うんどう量りょうとの相互そうご作用さようのこと。

相対そうたい論ろん的てきに取とり扱あつかわれるディラック方程式ほうていしき（相対そうたい論ろん的てき量子力学りょうしりきがく）では自然しぜんに導入どうにゅうされる概念がいねんである。スピン軌道きどう相互そうご作用さようにより、縮退しゅくたいしていた電子でんしのエネルギー固有値こゆうちが分裂ぶんれつする。

ゲッパート＝マイヤーとイェンセンは、原子核げんしかくの問題もんだいについて、スピン軌道きどう相互そうご作用さようを導入どうにゅうした殻から模型もけいを用もちいれば、その準じゅん位いの分裂ぶんれつから、実験じっけん的てきに知しられていた安定あんていな核かく子こ数すう、魔法まほう数すうを説明せつめいできることを発見はっけんし、ノーベル賞しょうを受賞じゅしょうした。

原子げんしの最さい外そと殻から電子でんしではスピン軌道きどう相互そうご作用さようによりスピン・軌道きどう角かく運動うんどう量りょうの向むきがそろうことがある。常温じょうおんの範囲はんいでは分裂ぶんれつした準じゅん位くらい（LS多重たじゅう項こうという）の中なかで最低さいていエネルギーをもつ準じゅん位いに状態じょうたいがある確かく率りつが高たかい。最低さいていエネルギーの多重たじゅう項こうを知しるためにフントの規則きそくとよばれる実験じっけん則そくが有効ゆうこうである。

古典こてん的てきな説明せつめい

水素すいそ原子げんし内ないの電子でんしは陽子ようしのまわりを回転かいてんしているが、これを電子でんしの上うえに乗のっている人ひとから見みると、電子でんしのまわりを陽子ようしが回転かいてんしているように見みえる。回転かいてんしている陽子ようしは円形えんけい電流でんりゅうとみなすことができ、ビオ・サバールの法則ほうそくにより、それは電子でんし上じょうに磁場じば$\mathbf {B}$を作つくる。その磁場じばが電子でんしのスピンによる磁気じき双極そうきょく子こモーメント$\mathbf {\mu }$に作用さようする。この相互そうご作用さようは$\mathbf {B} \cdot \mathbf {\mu }$に比例ひれいする。$\mathbf {\mu }$はスピン角かく運動うんどう量りょう$\mathbf {s}$に比例ひれいしている。一方いっぽうで陽子ようしのつくる磁場じば$\mathbf {B}$は陽子ようしの磁気じき双極そうきょく子こモーメント$\mathbf {\mu ^{(P)}}$に比例ひれいし、その$\mathbf {\mu ^{(P)}}$は陽子ようしの軌道きどう角かく運動うんどう量りょう$\mathbf {L}$に比例ひれいしている。したがってこの場合ばあいの電子でんし-陽子ようし間あいだの相互そうご作用さようエネルギーは$\mathbf {s\cdot L}$に比例ひれいする。

具体ぐたい的てきな表ひょう式しき

球たま対称たいしょうなポテンシャル中なかでの一いち電子でんしに関かんする、スピン軌道きどう相互そうご作用さよう H_SO は、

$H_{\rm {SO}}=V(r)(\mathbf {l} \cdot \mathbf {s} )$

$V(r)=-(g-1)\left({e\hbar ^{2} \over {2m^{2}c^{2}}}\right)\left({1 \over r}{d\phi (r) \over {dr}}\right)$

l は軌道きどう角かく運動うんどう量りょう、s はスピン角かく運動うんどう量りょう（共ともに、$\hbar$ を単位たんいとする）、$\hbar =h/2\pi$ で、h はプランク定数ていすう、e は素す電荷でんか、m は電子でんしの質量しつりょう、r は電子でんしの位置いち座標ざひょう、c は光速こうそく、g は g因子いんし（真空しんくう中ちゅうの自由じゆう電子でんしの場合ばあい、g = 2）である。φふぁい は球っきゅう対称たいしょう場じょうでの電場でんじょう（E(r) とする）に対たいするスカラーポテンシャルで、

$\mathbf {E} (r)=-\mathrm {grad} \,\phi (r)=-\mathbf {r} \left({1 \over r}{d\phi (r) \over {dr}}\right)$

である。

ポテンシャルが非ひ球たま対称たいしょうの場合ばあいは、

$H_{\rm {SO}}=(g-1)\left({e\hbar \over {2mc^{2}}}\right)[E(\mathbf {r} )\times \mathbf {v} ]\cdot \mathbf {s}$

となる。v は電子でんしの速度そくど、E(r) は球っきゅう対称たいしょうでない電場でんじょう。

非ひ相対そうたい論ろん的てきなシュレーディンガー方程式ほうていしきに対たいし、最もっとも影響えいきょうの大おおきい相対そうたい論ろん効果こうかはスピン軌道きどう相互そうご作用さようの項こうなので、これを摂動せつどう項こうとしてシュレーディンガー方程式ほうていしきに取とり入いれて解とかれることがある。

（補足ほそく）
上うえに挙あげた電子でんし以外いがいに、原子核げんしかくの核かく子こ（陽子ようしや中性子ちゅうせいし）もスピンを持もつので（核かくスピン）、これらに関かんしてのスピン軌道きどう相互そうご作用さようが存在そんざいする。

スピン軌道きどう分裂ぶんれつ

スピン軌道きどう相互そうご作用さようH_SO が一いち粒子りゅうしポテンシャルに付つけ加くわわる場合ばあいを摂動せつどう論ろんで考かんがえる。

一体いったいハミルトニアンH₀ = T + U(r) の固有値こゆうち問題もんだいを解とくことによって一いち粒子りゅうし準じゅん位いE_nl と一いち粒子りゅうし波動はどう関数かんすうR_nl(r)Y_lm(θしーた,φふぁい)が求もとめられているとする。粒子りゅうしのスピンは1/2とする。

このような相互そうご作用さようがあると、スピン角かく運動うんどう量りょう$\mathbf {s}$と軌道きどう角かく運動うんどう量りょう$\mathbf {l}$は別々べつべつに良よい量子りょうし数すうになることができなくなり、全角ぜんかく運動うんどう量りょうのみが良よい量子りょうし数すうになる。$j$の値ねとしては角かく運動うんどう量りょうの合成ごうせい則のりから$l+(1/2)$と$l-(1/2)$が可能かのうである。

$\mathbf {s\cdot l} =(1/2)(\mathbf {j} ^{2}-\mathbf {s} ^{2}-\mathbf {l} ^{2})$

であるから、$\mathbf {s\cdot l}$の期待きたい値ちは$j=l+1/2$に対たいして$l/2$、$j=l-1/2$に対たいして$-(l+1)/2$と得えられる。

動どう径みち積分せきぶんを$\xi _{nl}$とおくと、$j=l-1/2$の軌道きどうと$j=l+1/2$の軌道きどうのエネルギー差さは$-\{l+(1/2)\}\xi _{nl}$となる。また$\xi _{nl}$がn およびl によって余あまり変化へんかしないものとすれば、スピン軌道きどう分裂ぶんれつはlの値ねが大おおきいほど大おおきくなる。

関連かんれん項目こうもく

• 量子力学りょうしりきがく
• 物性ぶっせい物理ぶつり学がく
• 微細びさい構造こうぞう