二進法にしんほう

二進法にしんほう（にしんほう、（英えい: binary numeral system, base-2 numeral system）とは、底そこを2とする位取くらいどり記数きすう法ほうおよび命数めいすう法ほうである。二進法にしんほうによって表あらわされた数かずを二に進数しんすう（にしんすう、（英えい: binary number）と呼よぶ。二進法にしんほうにおいて、位くらいは順じゅんに底そこ2の冪べき（…, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, …）ごとに取とり、位くらいの値ねは 0 または 1 を取とる（例れい：十じゅう進数しんすうの 7 (= 4 + 2 + 1) は二進法にしんほうで 111、1.75 (= 1 + 0.5 + 0.25) は 1.11 と表あらわされる）。

記数きすう法ほう

「位取くらいどり記数きすう法ほう」も参照さんしょう

二進法にしんほうで表あらわされた数かず

二にを底そことする位取くらいどり記数きすう法ほうを二に進しん記数きすう法ほうまたは単たんに二進法にしんほうと呼よぶ。二進法にしんほうによる数かずの表示ひょうじは、一いちの位いを k = 0 とし添字そえじ k で位くらいの位置いちを表あらわし、位くらいの値ねを d_k ∈ {0, 1} で表あらわせば、以下いかのように書かける：

$$d_{n-1}\cdots d_{1}d_{0}.d_{-1}\cdots \,.$$

これは以下いかの総和そうわの略記りゃっきと見みなせる：

$$\sum _{k}^{n-1}d_{k}2^{k}=d_{n-1}2^{n-1}+\cdots +2d_{1}+d_{0}+{\frac {d_{-1}}{2}}+\dotsm {}\,.$$

例たとえば十進法じっしんほうにおける 21.25 は二進法にしんほうにおいて、

$$10101.01_{2}=16+4+1+{\frac {1}{4}}=21.25$$

と表あらわされる（添字そえじの 2 は二に進しん表記ひょうきであることを示しめす）。負まけの数かずは一般いっぱん的てきな記数きすう法ほうと同おなじく、負号ふごうをつけて表あらわす（例れい：−10101.01₂）。

十進法じっしんほうなど一般いっぱんの位取くらいどり記数きすう法ほうと同様どうように、二進法にしんほうにおいても小数しょうすう部ぶが有限ゆうげんの長ながさとなる数かずは一部いちぶの有理数ゆうりすうに限かぎられ、また円周えんしゅう率りつのような無理むり数すうを厳密げんみつに表あらわすことはできない。二進法にしんほうの場合ばあい、有理数ゆうりすうを表あらわす既すんで約分やくぶん数すうについて、分母ぶんぼが2の冪べきならば有限ゆうげん小数しょうすうとして書かけるが、そうでないならば有限ゆうげん小数しょうすうとしては書かけない。例たとえば十進法じっしんほうでは 1/5 を有限ゆうげん小数しょうすう 0.2 で表あらわせるが、二進法にしんほうでは循環じゅんかん小数しょうすう 0.0011₂ = 0.00110011…₂ で表あらわさなければならない。

デジタル機器ききでの使用しよう

「コンピュータの数値すうち表現ひょうげん」も参照さんしょう

電子でんし式しきコンピュータの電子でんし回路かいろなどのデジタル回路かいろ（デジタル論理ろんり回路かいろ）、磁気じきディスク等ひとしの記憶きおくメディアでは、電圧でんあつの高低こうてい、磁極じきょくの N/S など、物理ぶつり現象げんしょうを二に状態じょうたいのみに縮退しゅくたいして扱あつかう（離散りさん化かなどと言いう）ので、それに、真しんと偽にせの2つの値ね（2値ちの真理しんり値ち）のみを使用しようする二に値ち論理ろんり（しばしば、電子でんし的てきには H と L、論理ろんり的てきには T と F という記号きごうが使つかわれる）をマッピングする。更さらにそこで数値すうちを扱あつかうには、それに「0 と 1」の二進法にしんほうをマッピングするのが最適さいてきである。

多おおくの応用おうようで見みられるように桁けた数かずが有限ゆうげんの場合ばあいは、数学すうがく的てきに言いうなら「有理数ゆうりすうの部分ぶぶん集合しゅうごう」が表現ひょうげんされているわけであるが、通常つうじょうは「有限ゆうげん精度せいどの実数じっすう」が表現ひょうげんされていると解釈かいしゃくされる。このため、コンピュータやデジタル機器ききは二に進数しんすうが使用しようされる。

また、八はち進しん法ほうや十じゅう六ろく進しん法ほうや三さん十じゅう二進法にしんほうは同おなじく2の冪べきを底そことするためしばしば利用りようされる。

負数ふすうの扱あつかい

「符号ふごう付づけ数値すうち表現ひょうげん」も参照さんしょう

ビット列れつによって負まけの数かずの値ねを表あらわすため広ひろく用もちいられる方法ほうほうの一ひとつとして、2の補数ほすう表現ひょうげんがある。2の補数ほすう表現ひょうげんは、n 桁けたのビット列びっとれつの最さい上位じょういビットの重おもみを +2ⁿ⁻¹ ではなく −2ⁿ⁻¹ とするものである。2の補数ほすう表現ひょうげんは、そのビットパターンが、加減かげん(及および、乗じょう)の演算えんざんにおいて特別とくべつな処理しょりが不要ふようなものになる、という特長とくちょうを持もつ。ただし、溢あふれ（オーバーフロー）の扱あつかいが違ちがってくる（これは、例たとえばx86プロセッサにおける、キャリーフラグとオーバフローフラグの違ちがいのことである（ステータスレジスタ#キャリーとオーバーフローを参照さんしょう））。

他たのN進すすむ法ほうから二進法にしんほうへの変換へんかん方法ほうほう

「十進法じっしんほうから二進法にしんほうへの変換へんかん方法ほうほう」などといったものを考かんがえる必要ひつようはない。どちらも数かずの「表現ひょうげん法ほう」に過すぎないのだから、単たんに「表現ひょうげん法ほう → 数かず → 表現ひょうげん法ほう」といったようにして変換へんかんすれば良よいのである。

正せいの整数せいすう

正せいの整数せいすう m を十進法じっしんほうから二進法にしんほうに変換へんかんするのは次つぎのようにする。

1. m を x に代入だいにゅうする。
2. x を 2 で割わって、余あまりを求もとめる。
3. x/2 の商しょうを x に代入だいにゅうする。
4. 2. に戻もどる。x = 0 であれば終了しゅうりょう。

余あまりを求もとめた順じゅんの逆ぎゃくに並ならべると、それが二進法にしんほうに変換へんかんされた結果けっかになる。

例れい:192を二進法にしんほうに変換へんかんする。

2)192　 　192=20×192

2) 96…0　192=21× 96+20×0

2) 48…0　192=22× 48+21×0+20×0

2) 24…0　192=23× 24+22×0+21×0+20×0

2) 12…0　192=24× 12+23×0+22×0+21×0+20×0

2)  6…0　192=25×  6+24×0+23×0+22×0+21×0+20×0

2)  3…0　192=26×  3+25×0+24×0+23×0+22×0+21×0+20×0

2)  1…1　192=27×  1+26×1+25×0+24×0+23×0+22×0+21×0+20×0

    0…1

よって 192₁₀ = 11000000₂ である。

正せいで 1 未満みまんの数かず

正せいで 1 未満みまん (0 < m < 1) である数かず m を十進法じっしんほうから二進法にしんほうに変換へんかんするのは次つぎのようにする。

1. 1 を n に、m を x に代入だいにゅうする。
2. 2x < 1 ならば、小数点しょうすうてん以下いか第だい n 位くらいは 0 になる。2x > 1 ならば、小数点しょうすうてん以下いか第だい n 位くらいは 1 になる。
3. 2x = 1 ならば終了しゅうりょう。
4. 2x > 1 ならば 2x - 1 を x に代入だいにゅうする。2x < 1 ならば 2x を x に代入だいにゅうする。
5. n + 1 を n に代入だいにゅうする。
6. 小数点しょうすうてん以下いかの桁数けたすうが必要ひつような桁数けたすうまで求もとまっているか、循環じゅんかん小数しょうすうとなったら終了しゅうりょうする。
7. 2. へ戻もどる。

計算けいさんの例れい1: 1/3 を二進法にしんほうに変換へんかんする。

処理しょり	（途中とちゅう）結果けっか
${\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}$	0.
${\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}$	0.0
${\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\times 2=1{\frac {1}{3}}\geq 1\end{matrix}}$	0.01
${\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}$	0.010

ここで「処理しょり」の部分ぶぶんの最後さいご「${\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}$」はそれ以前いぜんに出でてきた式しきである。このため、これ以上いじょう続つづけても同おなじ式しきの繰くり返かえしで永久えいきゅうに終おわらないことがわかる。すなわち小数しょうすう部ぶの「01」が循環じゅんかんすることがわかるので終了しゅうりょうする。

よって1/3₁₀=0.010101…₂=0.01₂

（なお、アンダーバーの部分ぶぶん（01）は無限むげんに繰くり返かえしという意味いみ）

計算けいさんの例れい 2: 十進法じっしんほうでの 0.1 を二進法にしんほうに変換へんかんする。

処理しょり	（途中とちゅう）結果けっか
0.1	0.
0.1×2=0.2<1	0.0
0.2×2=0.4<1	0.00
0.4×2=0.8<1	0.000
0.8×2=1.6≥1	0.0001
0.6×2=1.2≥1	0.00011
0.2×2=0.4<1	0.000110
0.4×2=0.8<1	0.0001100

ここで「処理しょり」の部分ぶぶんの最後さいご「0.4×2 = 0.8 < 1」はそれ以前いぜんに出でてきた式しきである。このため、これ以上いじょう続つづけても同おなじ式しきの繰くり返かえしで永久えいきゅうに終おわらないことがわかる。すなわち小数しょうすう部ぶの「0011」が循環じゅんかんすることがわかるので終了しゅうりょうする。

よって 0.1₁₀ = 0.0001100110011…₂ = 0.00011₂ である。

命数めいすう法ほう

二に進しん命数めいすう法ほうとは、2 を底そことする命数めいすう法ほうである。 通常つうじょう、二進法にしんほうの数詞すうしを持もつとされるものは二ふたつ組ぐみで数かぞえる体系たいけいであり、乗算じょうざんが含ふくまれない。以下いかにパプアニューギニアの南みなみキワイ語ご (Southern Kiwai) およびシッサノ語ご (Sissano) の数詞すうしを示しめす。

十じゅう進しん	二に進しん	南みなみキワイ語ご	シッサノ語ご
1	1	neis	puntanen
2	10	netewa	eltin
3	11	netewa nao	eltin puntanen
4	100	netewa netewa	eltin eltin
5	101	netewa netewa nao	eltin eltin puntanen

現代げんだい日本にっぽんにおける万まん進しん、あるいは十じゅう二進法にしんほう体系たいけいであるダース・グロスなどのように、2倍ばいごとに新あたらしい単位たんいが命名めいめいされる体系たいけいは、自然しぜん言語げんごでは、パプアニューギニアのメルパ語ご (Melpa) でのみ知しられている。

十じゅう進しん	二に進しん	メルパ語ご
1	1	tenta
2	10	ralg
3	11	raltika
4	100	timbakaka
5	101	timbakaka pamb ti
6	110	timbakaka pamb ralg
7	111	timbakakagul raltika
8	1000	engaka
9	1001	engaka pamb ti
10	1010	engaka pamb ralg pip

歴史れきし

ライプニッツによる八卦はっけと二進法にしんほうの比較ひかく

中国ちゅうごくには古ふるくから易えきの八卦はっけや六ろく十じゅう四よん卦けがあり、それぞれ 3 ビットと 6 ビットに相当そうとうしている。易えき経けいの六ろく十じゅう四よん卦けの配列はいれつは対応たいおうする整数せいすうの順じゅんになっていて、それらを 1→2→4→8→16→32→64 と進展しんてんさせる｢加か一いち倍ばいの法ほう｣を11世紀せいきの儒学じゅがく者しゃ邵雍が考案こうあんした。ただし、彼かれらがそれを整数せいすう（ないし、数かず）に対応たいおうするとして理解りかいしていたという証拠しょうこはない。その配列はいれつはそれぞれが二に種類しゅるいの値ねをとる要素ようその 6 タプルを辞書じしょ式しき順序じゅんじょに並ならべたものと見みることもできる。

インドの学者がくしゃピンガラ (Pingala, 紀元前きげんぜん200年ねん頃ごろ) は韻律いんりつを数学すうがく的てきに表現ひょうげんする方法ほうほうを考案こうあんし、それが現在げんざい知しられている最古さいこの二進法にしんほうの記述きじゅつの一ひとつとされている。

同様どうようの二進法にしんほう的てき組合くみあわせの使用しようは、アフリカのヨルバ人じんが行おこなっていた占うらない Ifá にもあり、中世ちゅうせいヨーロッパやアフリカのジオマンシーにも見みられる。2 を底そことする体系たいけいはサハラ以南いなんのアフリカでジオマンシーに長ながく使つかわれていた。

1605年ねん、フランシス・ベーコンはアルファベットの文字もじを2種しゅの記号きごうの列れつで表あらわす体系たいけいを論ろんじ、任意にんいの無作為むさくいなテキストで微かすかに判別はんべつ可能かのうなフォントの変化へんかに符号ふごう化かできるとした。一般いっぱん理論りろんとして彼かれが指摘してきした重要じゅうような点てんは、同おなじ方法ほうほうをあらゆる物ものに適用てきようできるという点てんであり、「2種類しゅるいの異ことなる状態じょうたいをそれらの物もので表現ひょうげんできればよく、鐘かね、トランペット、光ひかり、松明たいまつ、マスケット銃じゅうなど同様どうようの性質せいしつがあればどんなものでもよい」とした。これをベーコンの暗号あんごうと呼よぶ。

数学すうがく的てきに二進法にしんほうを確立かくりつしたのは17世紀せいきのゴットフリート・ライプニッツで、"Explication de l'Arithmétique Binaire" という論文ろんぶんも発表はっぴょうしている。ライプニッツは現代げんだいの二進法にしんほうと同おなじく、1 と 0 を使つかって二進法にしんほうを表あらわした。ライプニッツは中国ちゅうごく愛好あいこう家かでもあり、後のちに「易えき経けい」を知しって、その八卦はっけに 000 から 111 を対応たいおうさせ、彼かれの賞賛しょうさんしてきた中国ちゅうごくの哲学てつがく的てき数学すうがくの偉大いだいな成果せいかの証拠しょうこだとした。

1800年代ねんだい中頃なかごろ、イギリスの数学すうがく者しゃジョージ・ブールがブール代数だいすう（ブール論理ろんり）により、二に進しん的てきな数かず（ここで言いう「数かず」は、数学すうがく的てきな広義こうぎの意味いみであり、普通ふつうの二進法にしんほうの対象たいしょうである、数値すうちという意味いみではない）の代数だいすうによる命題めいだい論理ろんりの形式けいしき化かを示しめした。

1936-1937年ねんの中嶋なかじま章あきらと榛はしばみ沢さわ正男まさおによる「継電器けいでんき回路かいろに於おける単たん部分ぶぶん路ろの等価とうか変換へんかんの理論りろん」、1937年ねんのクロード・シャノンによる "A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits" により相次あいついで、リレーのようなスイッチング素子そしによる回路かいろ（ディジタル回路かいろ）の設計せっけいがブール代数だいすうによって行おこなえることが示しめされ、1940年代ねんだいに始はじまり今日きょうまで続つづくコンピュータの理論りろんの基礎きそのひとつとなっている。

脚注きゃくちゅう

関連かんれん項目こうもく

• 位取くらいどり記数きすう法ほう
• コンピュータの数値すうち表現ひょうげん
• 2の冪べき
• 2進しん接頭せっとう辞じ
• 二に進しん対数たいすう
• 二に進しん指数しすうえ法ほう
• 二に進化しんか十じゅう進しん表現ひょうげん
• カウンタ (電子でんし回路かいろ)
  • グレイコード
• 除算じょざん (デジタル)