円周えんしゅう率りつ

円周えんしゅう率りつ（えんしゅうりつ、英えい: Pi、独どく: Kreiszahl、中なか: 圓周えんしゅう率りつ）とは、円えんの直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅうの長ながさの比率ひりつのことをいい、数学すうがく定数ていすうの一ひとつである。通常つうじょう、円周えんしゅう率りつはギリシア文字もじである πぱいで表あらわされる。円えんの直径ちょっけいから円周えんしゅうの長ながさや円えんの面積めんせきを求もとめるときに用もちいる。また、数学すうがくをはじめ、物理ぶつり学がく、工学こうがくといった科学かがくの様々さまざまな理論りろんの計算けいさん式しきにも出現しゅつげんし、最もっとも重要じゅうような数学すうがく定数ていすうとも言いわれる。

円周えんしゅう率りつは無理むり数すうであり、その小数しょうすう展開てんかいは循環じゅんかんしない。さらに、円周えんしゅう率りつは無理むり数すうであるのみならず、超越ちょうえつ数すうでもある。

円周えんしゅう率りつの計算けいさんにおいて功績こうせきのあったルドルフ・ファン・クーレンに因ちなみ、ルドルフ数すうとも呼よばれる。ルドルフは小数点しょうすうてん以下いか35桁けたまで計算けいさんした。小数点しょうすうてん以下いか35桁けたまでの値ねは次つぎの通とおりである。

$\pi =3.14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,50288\ldots$

ギリシャ文字もじの πぱい は円周えんしゅう率りつに代表だいひょうされる。

基礎きそ

表記ひょうきと呼よび方かた

円周えんしゅう率りつを表あらわすギリシア文字もじ πぱい は、ギリシア語ごでいずれも周辺しゅうへん・円周えんしゅう・周しゅうを意味いみする πぱいερίμετρος（ペリメトロス）あるいは πぱいεριφέρεια（ペリペレイア）の頭文字かしらもじから取とられた。文字もじ πぱい をウィリアム・オートレッドは1631年ねんに著あらわした著書ちょしょにおいて半はん円周えんしゅうの長ながさを表あらわす文字もじとして用もちい、アイザック・バローは論文ろんぶんにおいて半径はんけい R の円周えんしゅうの長ながさとして用もちいた。ウィリアム・ジョーンズ (1706) やレオンハルト・オイラーらにより（現代げんだいと同おなじく）円周えんしゅうの直径ちょっけいに対たいする比率ひりつを表あらわす記号きごうとして用もちいられ、それが広ひろまった。日本にっぽんでは「パイ」と発音はつおんする。

数かず πぱい を指さす言葉ことばには、日本にっぽん・中国ちゅうごく・韓国かんこくにおける「円周えんしゅう率りつ（圓周えんしゅう率りつ）」、ドイツの「Kreiszahl」（Kreis は円えん（周しゅう）、Zahl は数かずの意い）の他ほか、それを計算けいさんした人物じんぶつの名前なまえを取とった「アルキメデス数かず」（英えい: Archimedes' constant）、「ルドルフ数かず」（英えい: Ludolph's constant、独どく: Ludolphsche Zahl）などがある。一般いっぱんにドイツ語ごを除のぞくヨーロッパの諸しょ言語げんごには「円周えんしゅう率りつ」に対応たいおうする単語たんごはない。

なお、「πぱい」の字体じたいは、表示ひょうじ環境かんきょうによってはキリル文字もじの п に近ちかい πぱい などと表示ひょうじされることがある。また、ギリシャ文字もじ「πぱい」は、円周えんしゅう率りつとは無関係むかんけいに、素数そすう計数けいすう関数かんすうや、基本きほん群ぐん・ホモトピー群ぐん、ある種しゅの写像しゃぞう（射影しゃえいなど）を表あらわすのに用もちいられることもある。

定義ていぎ

ユークリッド平面へいめん上うえにおいて、全すべての円えんは相似そうじなので、円周えんしゅう C と直径ちょっけい d の比率ひりつ C/d は一定いってい (πぱい) である。

直径ちょっけい 1 の円えんの周しゅう長ちょうは πぱい

平面へいめん幾何きか学がくにおいて、円周えんしゅう率りつ πぱい は、円えんの周しゅう長ちょうの直径ちょっけいに対たいする比率ひりつとして定義ていぎされる。すなわち、円えんの周しゅう長ちょうを C, 直径ちょっけいを d としたとき、

$\pi ={\frac {C}{d}}$

である。全すべての円えんは互たがいに相似そうじなので、この比率ひりつは円えんの大おおきさに依よらず一定いっていである。

ところが、この定義ていぎは円えんの周しゅう長ちょうを用もちいているため、曲線きょくせんの長ながさを最初さいしょに定義ていぎしていない解析かいせき学がくなどの分野ぶんやでは、πぱい が現あらわれる際さいに問題もんだいとなることがある。この場合ばあい、円えんの周しゅう長ちょうに言及げんきゅうせず、解析かいせき学がくなどにおける性質せいしつの一ひとつを πぱい の定義ていぎとすることが多おおい。この際さいの πぱい の定義ていぎの一般いっぱんなものとして、三角さんかく関数かんすう cos x が 0 を取とるような x > 0 の最小さいしょう値ちの2倍ばいとするもの、級数きゅうすうによる定義ていぎ、定てい積分せきぶんによる定義ていぎなどがある。後述こうじゅつの#円周えんしゅう率りつに関かんする式しきも参照さんしょう。

歴史れきし

「円周えんしゅう率りつの歴史れきし」も参照さんしょう

円えんに内接ないせつする正多角形せいたかっけいによる πぱい の近似きんじ

円えんに内接ないせつ・外接がいせつする正多角形せいたかっけいによる πぱい の近似きんじ。アルキメデスによる計算けいさん。

古代こだい

円周えんしゅうの直径ちょっけいに対たいする比率ひりつは円えんの大おおきさに依よらず一定いっていであり、それは 3 より少すこし大おおきいことは古代こだいエジプトやバビロニア、インド、ギリシアの幾何きか学がく者ものたちにはすでに知しられていた。また、古代こだいインドやギリシアの数学すうがく者しゃたちの間あいだでは半径はんけい r の円えん板ばんの面積めんせきが πぱいr² であることも知しられていた。さらに、アルキメデスは正ただし96角形かくがたを用もちいて半径はんけい r の球たまの体積たいせきが 4/3πぱいr³ であることや、この球たまの表面積ひょうめんせきが 4πぱいr²（その球たまの大円だいえんによる切きり口くちの面積めんせきの4倍ばい）であることを導みちびき出だした。中国ちゅうごくでは 263年ねんに魏ぎの劉りゅう徽が3072角形かくがたを使用しようし3.14159と計算けいさんし、5世紀せいきに祖そ沖おき之のが十じゅう尺しゃくもの直径ちょっけいの円えんを使用しようして3.14159 26<πぱい<3.14159 27 と 求もとめ、以後いご1000年ねんこれ以上いじょう正確せいかくな計算けいさんはなされなかった。祖その計算けいさんが正確せいかくであったことは、1300年ねん頃ごろに趙ちょう友とも欽が16384辺へんの内接ないせつ多角たかく形がたにより確たしかめた。

近代きんだいまで

14世紀せいきインドの数学すうがく者しゃ・天文学てんもんがく者しゃであるサンガマグラーマのマーダヴァは次つぎの πぱい の級数きゅうすう表示ひょうじを見みいだしている（ライプニッツの公式こうしき）：

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

これは逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすう Arctan x のテイラー展開てんかいの x = 1 での表ひょう式しきになっている。マーダヴァはまた、

$\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)$

を用もちいて πぱい の値ねを小数点しょうすうてん以下いか11桁けたまで求もとめている。

17世紀せいき、ドイツのルドルフ・ファン・コーレンが正ただし325億おく角形かくがたを使つかい、小数点しょうすうてん以下いか第だい35位いまで計算けいさん。1699年ねん（または1706年ねん）にエイブラハム・シャープが小数点しょうすうてん以下いか第だい72～127位いまで求もとめた。

18世紀せいきフランスの数学すうがく者しゃアブラーム・ド・モアブルは、ある定数ていすう C を取とると、コインを 2n回かい投なげて表ひょうが x回かいだけ出でる確かく率りつは、n が十分じゅうぶん大おおきいとき

${\frac {C}{\sqrt {n}}}\exp \left\{-{\frac {(x-n)^{2}}{n}}\right\}$

で近似きんじできることを、n = 900 における数値すうち計算けいさんにより見みいだした。この正規せいき分布ぶんぷの概念がいねんは1738年ねんに出版しゅっぱんされたド・モアブルの『巡めぐり合あわせの理論りろん』に現あらわれている。ド・モアブルの友人ゆうじんのジェイムズ・スターリングは後のちに、$C={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$であることを示しめした。

1751年ねんにヨハン・ハインリヒ・ランベルトは、x が 0 でない有理数ゆうりすうならば正接せいせつ関数かんすう tan x の値ねは無理むり数すうであることを示しめし、その系けい（の対偶たいぐう）として πぱい は無理むり数すうであることを導みちびいた。さらに1882年ねんにフェルディナント・フォン・リンデマンは πぱい が超越ちょうえつ数すうであることを示しめし、円えん積せき問題もんだい（与あたえられた長ながさを半径はんけいとする円えんと等とう積せきの正方形せいほうけいを作図さくずする問題もんだい）は解とくことができないことを導みちびいた。

1873年ねん、ウィリアム・シャンクスは彼かれ自身じしんの手てで小数点しょうすうてん以下いか第だい707位いまでを計算けいさんした（ただしその結果けっかは途中とちゅうで生しょうじた誤あやまりにより小数点しょうすうてん以下いか第だい527位いまでしか正ただしくなかった）。

和算わさんにおける円周えんしゅう率りつの取とり扱あつかい

江戸えど時代じだいの初期しょきの和算わさん家かの3.16

江戸えど時代じだい初期しょきの数学すうがく書しょである毛利もうり重忠しげただの『割算わりざん書しょ』では円周えんしゅう率りつを3.16としている。その弟子でしの吉田よしだ光由みつよしの『塵ちり劫こう記き』でも3.16となっている。しかし、当時とうじの先進せんしん国こく中国ちゅうごくの文献ぶんけんにはこの3.16という数値すうちは見みられず、中国ちゅうごくの文献ぶんけんの数値すうちを引ひき写うつしたとは考かんがえにくいという。そのため、なぜ初期しょきの和算わさん家いえが円周えんしゅう率りつを3.16としたかの理由りゆうはよく分わかっていない。おそらく、毛利もうり重忠しげただとその弟子でしの吉田よしだ光由みつよしなどの先駆せんく者しゃらは、円周えんしゅう率りつを実際じっさいに測定そくていして3.14ないし3.16ほどの値ねを得えたが、最後さいごの桁けたの数字すうじに確信かくしんが持もてなかったため、「円えんのような美うつくしい形かたちを求もとめる数値すうちは、もっと美うつくしい数値すうちになっていいはずだ」と考かんがえ、「美うつくしい理論りろん」を求もとめた。その結果けっか √10 = 3.16 が美うつくしい数値すうちとして採用さいようされたと推測すいそくされている。その考かんがえは日本にっぽんで2番目ばんめに3.14の値ねを計算けいさんで求もとめた野沢のざわ定じょう長ちょうの『算さん九きゅう回かい』（延のべ宝たから五ご年ねん:1677年ねん）の中なかにも見みられ、その著書ちょしょの中なかで「忽然こつぜんとして円えん算ざんの妙みょうを悟さとった」として「円周えんしゅう率りつの値ねは形かたち＝経験けいけんによって求もとめれば3.14であるが、理り＝思弁しべんによって求もとめれば3.16である」として「両方りょうほうとも捨すてるべきでない」とした。

和算わさん家かが計算けいさんした3.14

江戸えど初期しょき、1600年代ねんだい前半ぜんはん頃ごろから、円えんを対象たいしょうとした和算わさん的てき研究けんきゅうである「円えん理り」が始はじまる。その最初さいしょのテーマの一ひとつが円周えんしゅう率りつを数学すうがく的てきに計算けいさんする努力どりょくであり、1663年ねんに日本にっぽんで初はじめて村松むらまつ茂しげる清きよしが『算さん爼（さんそ）』において「円えんの内接ないせつ多角たかく形がたの周しゅうの長ながさを計算けいさんする方法ほうほう」で3.14…という値ねを算出さんしゅつした。『算さん爼』では円えんに内接ないせつする正せい8角形かくがたから角かく数すうを順次じゅんじ2倍ばいしていき、内接ないせつ2¹⁵ = 32768角形かくがたの周しゅうの長ながさで、

3.1415 9264 8777 6988 6924 8

と小数点しょうすうてん以下いか21桁けたまで算出さんしゅつしている。これは実際じっさいの値ねと小数しょうすう第だい7位いまで一致いっちしている。その後ご1680年代ねんだいに入はいると、円周えんしゅう率りつの値ねを3.16とする数学すうがく書しょはなくなり、3.14に統一とういつされた。1681年ねん頃ごろには関せき孝和こうわが内接ないせつ2¹⁷角形かくがた（13万まん1072角形かくがた）の計算けいさんを工夫くふうし、小数しょうすう第だい16位いまで現代げんだいの値ねと同おなじ数値すうちを算出さんしゅつした。この計算けいさん値ちは関せきの死後しご1712年ねんに刊行かんこうされた『括くく要よう算法さんぽう』に記しるされている。

日本にっぽんの和算わさん家いえに特徴とくちょう的てきなのは、1663年ねんに3.14が初はじめて導みちびき出だされても、その後ご1673年ねんまでの10年間ねんかんに円周えんしゅう率りつの値ねを3.14とした算数さんすう書しょのいずれもが、先行せんこう者しゃの円周えんしゅう率りつをそのまま引ひき継つぐことをせず、それぞれ独自どくじの値ねを提出ていしゅつしていたことである。この背景はいけいには当時とうじの遺のこ題だい継承けいしょう運動うんどうに「他人たにんの算法さんぽうをうけつぐ」と共ともに「自己じこの算法さんぽうを誇ほこる」という性格せいかくがあったためだという。そのため古ふるい3.16の値ねが疑うたがわれてから、遺のこ題だい継承けいしょうの際さいに必かならずといってよいほど円周えんしゅう率りつの値ねが変かえられている。しかしながら江戸えど時代じだいの3大だい和算わさん書しょ『塵ちり劫こう記き』『改あらため算さん記き』『算法さんぽう闕疑抄しょう』の増補ぞうほ改訂かいてい版ばんでは1680年代ねんだいには3.14に統一とういつされた。

3.14から3.16への逆行ぎゃっこう

しかし、遺のこ題だい継承けいしょう運動うんどうは1641年ねんに始はじまって1699年ねん頃ごろには終おわってしまい、いったん3.14に統一とういつされた円周えんしゅう率りつの値ねは江戸えど時代じだい後半こうはんになると揺ゆらぎ始はじめ、古ふるい3.16に逆行ぎゃっこうするという現象げんしょうが生しょうじた。文政ぶんせい年間ねんかん（1818～30年ねん）に出版しゅっぱんされた算数さんすう書しょとソロバン書しょを悉皆しっかい調査ちょうさした結果けっかでは、円周えんしゅう率りつの値ねを3.14とするものと、3.16とするものの2系統けいとうがあることが明あきらかにされた。いくらか専門せんもん的てきな数学すうがく書しょでは3.14とされているのに、大衆たいしゅう向むけの小しょう冊子さっしの中なかでは3.16の方ほうが普通ふつうに用もちいられていた。

当時とうじの識者しきしゃである橘たちばな南みなみ谿（1754-1806年ねん）は「いまに至いたり3.16あるいは3.14色々いろいろに論ろんずれども、なおきわめがたきところあり」と述のべ、3.14はまだ確定かくていしていないとしている。儒学じゅがく者ものの荻生おぎゅう徂徠そらいも和算わさん家かの算出さんしゅつした3.14の根拠こんきょに納得なっとくしなかった。当時とうじの和算わさん家かのほとんどは、円えんに内接ないせつする多角たかく形がたの周しゅうを計算けいさんすることで円周えんしゅう率りつを計算けいさんした。内接ないせつ多角たかく形がたの角かく数すうを増ふやすほど求もとまる円周えんしゅう率りつの桁けたは増ふえていくので、素人目しろうとめにはその値ねが増大ぞうだいする一方いっぽうに見みえる。「それがいくら増ふえても3.1416を超こえない」ということを和算わさん家かたちはついに納得なっとくさせることができなかったのである。

そのような和算わさん家か以外いがいの素人しろうとたちを納得なっとくさせるには、どうしても万まん人にんに納得なっとくさせる「理り」に基もとづいて計算けいさんしてみせる他ほかはない。それを行おこなうには西洋せいようで行おこなわれたように、「円えんを内接ないせつ多角たかく形がたと外接がいせつ多角たかく形がたではさんで、円周えんしゅう率りつの上限じょうげんと下限かげんを示しめすこと」が必要ひつようであったが、（次つぎの鎌田かまたによる成果せいかを例外れいがいとして）和算わさん家かはついにその方法ほうほうを取とることがなかった。

宅間たくま流りゅう和算わさんの円周えんしゅう率りつ

日本にっぽんで唯一ゆいいつ「円周えんしゅうを内接ないせつ・外接がいせつ多角たかく形がたで挟はさみ込こんで円周えんしゅう率りつの上限じょうげんと下限かげんを示しめす」ことに成功せいこうしたのは鎌田かまた俊しゅん清きよし（1678-1747年ねん）が享とおる保ほ七なな年ねん（1722年ねん）に著あらわした『宅間たくま流りゅう円えん理り』である。その値ねは以下いかの通とおりである。

内うち周しゅう：3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 3665 8

外周がいしゅう：3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 4166 7

鎌田かまたは円周えんしゅう率りつの小数点しょうすうてん以下いか24桁けたまで正ただしいと確信かくしんしうる円周えんしゅう率りつの値ねを算出さんしゅつすることに成功せいこうしていた。しかし、鎌田かまたの方法ほうほうは後継こうけい者しゃを持もたず、当時とうじの識者しきしゃに知しられることがなかった。

級数きゅうすう展開てんかいによる算出さんしゅつ

日本にっぽんの数学すうがく史しでは級数きゅうすうによる値ねの算出さんしゅつは広ひろく一般いっぱん的てきであった。円周えんしゅう率りつの級数きゅうすうによる公式こうしきは多おおくの学者がくしゃに研究けんきゅうされており、蜂谷はちや定じょう章あきら、松永まつなが良りょう弼、坂部さかべ広ひろ畔ほとり、川井かわい久徳ひさのり、長谷川はせがわ寛ひろしらによるものがある。また、建部たけべ賢けん弘ひろしは円周えんしゅう率りつの二乗にじょうを求もとめる日本にっぽん初はつの公式こうしきを考案こうあんした。

和算わさんの限界げんかい

日本にっぽんの和算わさんの弱点じゃくてんは単たんに理論りろん面めんの弱よわさにとどまらず、万まん人にんが納得なっとくできる正ただしい円周えんしゅう率りつの教育きょういく・啓蒙けいもうへの関心かんしんも失うしなったことであった。そのため和算わさん家かたちがいくら円周えんしゅう率りつは3.14…と書かいたところで、『塵ちり劫こう記き』の古ふるい円周えんしゅう率りつ3.16の値ねがそのまま残存ざんそんする結果けっかとなった。『塵ちり劫こう記き』の重版じゅうはん（1694年ねん）などは古ふるい円周えんしゅう率りつ3.16のまま出版しゅっぱんされ続つづけ、18世紀せいきに大衆たいしゅう的てきな通俗つうぞく算数さんすう書しょが大量たいりょうに出版しゅっぱんされる際さいに、必かならずというほど3.16という値ねを引ひき継つぐようになってしまった。

18世紀せいき半なかば以降いこうの和算わさんは数学すうがく的てき証明しょうめいの概念がいねんの追求ついきゅうは無視むしされ、せっかく宅たく間あいだ流りゅうの鎌田かまた俊しゅん清きよしがその独創どくそう的てき方法ほうほうで正ただしい円周えんしゅう率りつを算出さんしゅつしても、全まったく継承けいしょうされなかった。江戸えど時代じだい後半こうはんの和算わさん家かは家元いえもと制度せいど的てきな秘密ひみつ主義しゅぎと保守ほしゅ主義しゅぎと、権威けんい主義しゅぎが在野ざいやの独創どくそう性せいを無視むしし、結果けっかとして学問がくもんの進歩しんぽを妨さまたげることとなった。

コンピュータの利用りよう

円周えんしゅう率りつの小数しょうすう部分ぶぶんの判明はんめいした桁数けたすうと時期じきの関係かんけい。このグラフの縦たて目盛めもりは対数たいすうスケールである。新あらたなアルゴリズムが開発かいはつされ、コンピュータが利用りようできるようになると、判明はんめいした桁数けたすうは劇的げきてきに増加ぞうかした。

20世紀せいき以降いこう、計算けいさん機きの発達はったつにより、計算けいさんされた円周えんしゅう率りつの桁数けたすうは飛躍ひやく的てきに増大ぞうだいした。1949年ねんに、電子でんし計算けいさん機きENIACを使つかい72時じ間あいだかけて、円周えんしゅう率りつは2037桁けたまで計算けいさんされた。その後ごの数すう十じゅう年間ねんかん、様々さまざまな計算けいさん機き科学かがく者ものや計算けいさん科学かがく者ものなど、あるいはコンピュータのアマチュアによって計算けいさんは進すすめられ、1973年ねんには100万まん桁けたを超こえた。この進歩しんぽは、スーパーコンピュータの開発かいはつだけによるものではなく、効率こうりつの良よいアルゴリズムが考案こうあんされたためである。そのうちの最もっとも重要じゅうような発見はっけんの一ひとつとして、1960年代ねんだいの高速こうそくフーリエ変換へんかんがある。これにより、多倍たばい長ちょうの演算えんざんが高速こうそくに実行じっこうできるようになった。

2022年ねん6月がつ9日にちに、Googleの技術ぎじゅつ者しゃ、岩尾いわおエマはるかがGoogle Cloudで、チュドノフスキー級数きゅうすうを使つかい、157日にち23時じ間あいだかけて100兆ちょう桁けたを計算けいさんしたと発表はっぴょう。

性質せいしつ

無理むり性せい

πぱい は無理むり数すうであるため、循環じゅんかんしない無限むげん小数しょうすうである。

円周えんしゅう率りつは無理むり数すうであることの証明しょうめいについては「円周えんしゅう率りつの無理むり性せいの証明しょうめい」を参照さんしょう

πぱい は無理むり数すうである。つまり、2つの整数せいすうの商しょうで表あらわすことはできず、小数しょうすう展開てんかいは循環じゅんかんしない。このことは1761年ねんにヨハン・ハインリヒ・ランベルトが証明しょうめいしたが、厳密げんみつ性せいに欠かけた部分ぶぶんがあった。その部分ぶぶんは1806年ねんにルジャンドルによって補おぎなわれた。

したがって、円周えんしゅう率りつのコンピュータによる計算けいさんや暗唱あんしょう、十進法じっしんほう表示ひょうじでの小数しょうすう部分ぶぶんの各かく数字すうじ (0, 1, …, 9) の出現しゅつげん頻度ひんどは、人々ひとびとの興味きょうみの対象たいしょうとなる。

πぱい は超越ちょうえつ数すうであるため、コンパスと定規じょうぎを有限ゆうげん回かい用もちいて円えんと等とう面積めんせきの正方形せいほうけいを作図さくずすることは不可能ふかのうである。

超越ちょうえつ性せい

円周えんしゅう率りつは超越ちょうえつ数すうであることの証明しょうめいについては「リンデマンの定理ていり」を参照さんしょう

さらに、πぱい は超越ちょうえつ数すうである。つまり、有理数ゆうりすう係数けいすうの代数だいすう方程式ほうていしきの解かいにはならない。これは1882年ねんにフェルディナント・フォン・リンデマンによって証明しょうめいされた（リンデマンの定理ていり）。これより、整数せいすうから四則しそく演算えんざんと冪べき根ねをとる操作そうさだけを有限ゆうげん回かい組くみ合あわせてもけっして πぱい の値ねをとることはできないことが分わかる。

πぱい が超越ちょうえつ数すうであることより、古代こだいギリシアの三さん大だい作図さくず問題もんだいの内うちの一ひとつである「円えん積せき問題もんだい」（与あたえられた長ながさを半径はんけいとする円えんと等とう積せきの正方形せいほうけいを定規じょうぎとコンパスを有限ゆうげん回かい用もちいて作図さくずすること）が不可能ふかのうであることが従したがう。

ランダム性せい

2022年ねん10月がつの時点じてんで、πぱい は小数点しょうすうてん以下いか100兆ちょう桁けたまで計算けいさんされている。そして、分わかっている限かぎりでは 0 から 9 までの数字すうじがランダムに現あらわれているようには見みえるが、それが乱数らんすう列れつといえるかどうかははっきりとは分わかっていない。たとえば πぱい が正規せいき数すうであるかどうかも分わかっていない。正規せいき数すうであれば πぱい の10進しん表示ひょうじにおいて、各かく桁けたを順じゅんに取とり出だして得えられる数列すうれつ：

3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, …

には、0 から 9 が均等きんとうに現あらわれるはずだが分わかっておらず、それどころか、0 から 9 がそれぞれ無数むすうに現あらわれるのかどうかすら分わかっていない。もし仮かりに正規せいき数すうでないとすれば、乱数らんすう列れつでもないということになる。

5兆ちょう桁けたまでの数字すうじの出現しゅつげん回数かいすうは以下いかの通とおりである。全すべてほぼ等ひとしく（約やく0.0005%の違ちがいに収おさまる）、最もっとも多おおいのは 8 で、最もっとも少すくないのは 6 である。

0：4999億おく9897万まん6328回かい

1：4999億おく9996万まん6055回かい

2：5000億おく0070万まん5108回かい

3：5000億おく0015万まん1332回かい

4：5000億おく0026万まん8680回かい

5：4999億おく9949万まん4448回かい

6：4999億おく9893万まん6471回かい

7：5000億おく0000万まん4756回かい

8：5000億おく0121万まん8003回かい

9：5000億おく0027万まん8819回かい

連分数れんぶんすう

「連分数れんぶんすう」も参照さんしょう

分母ぶんぼを整数せいすうと分数ぶんすうの和わで表あらわすことを続つづけていった表示ひょうじを連分数れんぶんすうという。「整数せいすう」を最大さいだいにしていくと、分子ぶんしを全すべて 1 にできる：

$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}$

πぱい は無理むり数すうであるから、円周えんしゅう率りつ πぱい の連分数れんぶんすう展開てんかいは有限ゆうげん項こうでは終おわらず無限むげん項こうの連分数れんぶんすうとなる：

$\pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

上記じょうきの正則せいそく連分数れんぶんすう展開てんかい（すべての分子ぶんしが 1 である連分数れんぶんすう）を途中とちゅうで打うち切きると、πぱい の良よい有理数ゆうりすう近似きんじが得えられる。その最初さいしょの4つは 3, 22/7, 333/106, 355/113 である。これらは古ふるくからよく知しられ使用しようされてきた近似きんじ値ちである。これらはそれぞれ分母ぶんぼが大おおきくないどの分数ぶんすうよりも πぱい に近ちかく、πぱい の最良さいりょう有理数ゆうりすう近似きんじである。

さらに、πぱい は超越ちょうえつ数すうである（つまり代数だいすう的てき数すうでない）ことが知しられている。一般いっぱんに、正則せいそく連分数れんぶんすうの分母ぶんぼに現あらわれる整数せいすう部ぶが循環じゅんかんするのは二に次じ無理むり数すう（有理ゆうり係数けいすうの二に次じ方程式ほうていしきの解かいとなるような代数だいすう的てき数すう）に限かぎられ、πぱい は二に次じ無理むり数すうでないため循環じゅんかん連分数れんぶんすうとして表あらわせない。加くわえて πぱい の正則せいそく連分数れんぶんすうは規則きそく性せいを示しめさないが、πぱい の一般いっぱん化か連分数れんぶんすうでは以下いかの規則きそくをもつものが知しられている：

${\begin{aligned}\pi &=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {5^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {7^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {5^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {7^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}\\[8pt]&=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{3+\textstyle {\cfrac {2^{2}}{5+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{7+\textstyle {\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}$

未み解決かいけつ問題もんだい

詳細しょうさいは「数学すうがく上じょうの未み解決かいけつ問題もんだい」を参照さんしょう

• 次つぎの数かずは超越ちょうえつ数すうか？

$\pi \pm e,\,\pi e,\,{\frac {\pi }{e}},\,\pi ^{\pi },\,\pi ^{e},\,\pi ^{\sqrt {2}},\,e^{\pi ^{2}}$

• ただし、$\pi \pm e$と$\pi e,{\frac {\pi }{e}}$は両者りょうしゃ少すくなくとも一方いっぽうは超越ちょうえつ数すうであることは分わかっている。

• πぱい は正規せいき数すうか？

円周えんしゅう率りつに関かんする式しき

πぱい についての式しきは非常ひじょうに多おおい。ここではその一部いちぶを紹介しょうかいする。数式すうしきによってはそれ自体じたいが πぱい の定義ていぎになり得えるし、πぱい の近似きんじ値ちの計算けいさんなどにも使つかわれてきた。

幾何きか

円えんの面積めんせきは、1辺へんが半径はんけいの正方形せいほうけい（灰色はいいろ）の面積めんせきの πぱい倍ばいである。

長ちょう半径はんけい a, 短たん半径はんけい b の楕円だえんの面積めんせきは πぱいab に等ひとしい。

• 半径はんけい r の円えんの周しゅう長ちょう：$2\pi r$
• 半径はんけい r の円えんの面積めんせき：$\pi r^{2}$
• 半径はんけい r の球たまの体積たいせき：${4 \over 3}\pi r^{3}$
• 半径はんけい r の球たまの表面積ひょうめんせき：$4\pi r^{2}$
• 長ちょう半径はんけい $a$, 短たん半径はんけい $b$ の楕円だえんの面積めんせき：$\pi ab$
• $180^{\circ }=\pi$ rad

解析かいせき（特殊とくしゅ関数かんすうと虚数きょすうを除のぞく）

• ライプニッツの公式こうしき、#2千年紀せんねんき、逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすうも参照さんしょう

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

• マーダヴァの公式こうしき、逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすうも参照さんしょう

${\sqrt {12}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)=\pi$

• ウォリスの公式こうしき

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\cdot {\frac {4^{2}}{3\cdot 5}}\cdot {\frac {6^{2}}{5\cdot 7}}\cdot {\frac {8^{2}}{7\cdot 9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

• $\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}+n}{n^{2}+n+{\frac {1}{4}}}}={\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdot {\frac {80}{81}}\cdot {\frac {120}{121}}\cdot {\frac {168}{169}}\cdot {\frac {224}{225}}\cdot {\frac {288}{289}}\cdots ={\frac {\pi }{4}}$
• ビエトの公式こうしき

${\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots ={\frac {2}{\pi }}$

• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}2^{n-1}}}+(\log 2)^{2}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$（オイラー）

関数かんすう y = exp(−x²) のグラフと x軸じくで囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきは √πぱい である。（ガウス積分せきぶん）

• $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$（ガウス積分せきぶん）
• $\pi =2\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}$
• $\pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}$
• $\pi =2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}\,dt$
• $\pi =4\int _{0}^{1}{\frac {dt}{1+t^{2}}}$
• 逆ぎゃく三角さんかく関数かんすうは主おも値ちを取とるものとすると

${\begin{aligned}\pi &=2\arccos 0\\&=2\arcsin 1\\&=4\arctan 1\end{aligned}}$

• 逆ぎゃく三角さんかく関数かんすう（逆ぎゃく正弦せいげん関数かんすう）の公式こうしきより

$\pi =2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}$

• 逆ぎゃく三角さんかく関数かんすう（逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすう）の公式こうしきより
  • 逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすうのテイラー展開てんかいによる：$${\begin{aligned}\pi &=4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\end{aligned}}$$
  • オイラーによる：$${\begin{aligned}\pi &=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\end{aligned}}$$
• 双曲線そうきょくせん関数かんすう（双曲線そうきょくせん余あまり接せっ関数かんすう）の公式こうしきより

${\frac {1}{e^{2}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n\pi )^{2}+1}}$

• ニュートンの無む平方根へいほうこん公式こうしき

${\begin{aligned}\pi &=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2n+1)16^{n}(n!)^{2}}}\\&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+1)C_{n}}{(2n+1)16^{n}}}\end{aligned}}$

（C_n はカタラン数すう）この式しきは、

$\pi =6\arcsin {\frac {1}{2}}$ のマクローリン級数きゅうすうとなっている。

• マチンの公式こうしき（マチン、1706年ねん（1709年ねんとも））

$4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}$

$4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239={\frac {\pi }{4}}$ と書かかれることもある。

4 と 1/4 が二進法にしんほうと相性あいしょうが良よく、収束しゅうそくも早はやいため、コンピュータでの円周えんしゅう率りつ計算けいさんによく使つかわれる公式こうしきの一ひとつである。

• 4/πぱい の連分数れんぶんすう表示ひょうじ

${\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{\ddots }}}}}}}}}}$

• ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム

初期しょき値ちの設定せってい：

$a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.$

反復はんぷく式しき：a_n, b_n が希望きぼうする桁数けたすうになるまで以下いかの計算けいさんを繰くり返かえす。小数しょうすう第だいn位くらいまで求もとめるとき log₂ n回かい程度ていどの反復はんぷくでよい。

${\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\t_{n+1}&=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\\p_{n+1}&=2p_{n}.\end{aligned}}$

πぱい の算出さんしゅつ：円周えんしゅう率りつ πぱい は、a_n, b_n, t_n を用もちいて以下いかのように近似きんじされる。

$\pi \approx {\frac {1}{4t_{n}}}(a_{n}+b_{n})^{2}$

非常ひじょうに収束しゅうそくが早はやく、金田かねだ康正こうせいが1995年ねんに42億おく桁けた、2002年ねんに1.24兆ちょう桁けたを計算けいさんしたスーパー πぱい に使つかわれていた。

• $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$（スターリングの近似きんじ。f (n) ∼ g(n) は $\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1$ を表あらわす）
• ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(26390n+1103)\cdot (4n)!}{(4^{n}99^{n}\cdot n!)^{4}}}$（ラマヌジャン）
• ${\frac {4}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(21460n+1123)\cdot (4n)!}{882^{2n+1}(4^{n}n!)^{4}}}$（ラマヌジャン）
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{2\pi n}-1}}={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{8\pi }}$（ラマヌジャン）
• ${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{C_{0}{\sqrt {C_{0}}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(C_{2}n+C_{1})\cdot (6n)!}{(-C_{0})^{3n}\cdot (3n)!\cdot (n!)^{3}}}$（チュドノフスキー兄弟きょうだい）

（各かく定数ていすうと、その素因数そいんすう分解ぶんかい：

C₀ = 640320 = 2⁶ × 3 × 5 × 23 × 29,

C₁ = 13591409 = 13 × 1045493,

C₂ = 545140134 = 2 × 3² × 7 × 11 × 19 × 127 × 163.）

• ${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{C_{2}{\sqrt {C_{2}}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(6n)!(C_{0}+C_{1}n)}{(3n)!(n!)^{3}C_{2}^{n}}}$ (Peter Borwein, Jonathan Borwein)

（各かく定数ていすうの値ね：

C₀ = 1657145277365+212175710912√61,

C₁ = 107578229802750+3773980892672√61,

C₂ = 1249638720+159999840√61.）

• David Bailey, Peter Borwein, およびサイモン・プラウフによるもの（ベイリー＝ボールウェイン＝プラウフの公式こうしき・俗称ぞくしょう "BBP"）、Adamchik と Wagon によるもの、Fabrice Bellard によるもの等ひとしについては、あまりに高度こうどなため割愛かつあいする。

複素ふくそ解析かいせき

オイラーの公式こうしきの図形ずけい的てき表現ひょうげん。複素数ふくそすう平面へいめんにおいて、複素数ふくそすう e^iφふぁい は、単位たんい円周えんしゅう上じょうの偏へん角かく φふぁい の点てんを表あらわす。この公式こうしきよりオイラーの等式とうしきが導みちびかれる。

• $e^{i\pi }+1=0$（オイラーの等式とうしき）
• $\sum \limits _{k=0}^{n-1}e^{i\cdot {\frac {2\pi k}{n}}}=0$（n は 2 以上いじょうの整数せいすう）

後者こうしゃはオイラーの等式とうしきの一般いっぱん化かであり、1 の n乗の根ねの総和そうわは 0 になることを示しめしている。n = 2 とするとオイラーの等式とうしきになる。

特殊とくしゅ関数かんすう

• $\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$（1735年ねん：オイラー、バーゼル問題もんだい、ゼータ関数かんすう）
• $\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$
• $\zeta (2n)={\frac {(-1)^{n-1}2^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}}\pi ^{2n}\ (n\in \mathbb {N} )$（B_n はベルヌーイ数すう）
• $\Gamma {\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}={\biggl (}-{\frac {1}{2}}{\biggr )}!={\sqrt {\pi }}$（ガンマ関数かんすう）

数かず論ろん

• 整数せいすう全体ぜんたいから無作為むさくいに2つ取とり出だすとき、その2つが互たがいに素もとである確かく率りつは 6/πぱい² である（互たがいに素もと_(整数せいすう論ろん)#互たがいに素そである確かく率りつを参照さんしょう）。

力学りきがく系けい・エルゴード理論りろん

ロジスティック写像しゃぞう x_i+1 = 4x_i(1 − x_i) により帰納的きのうてきに定さだまる数列すうれつ {x_i} を考かんがえる。初期しょき値ち x₀ を 0 以上いじょう 1 以下いかに取とるとき、そのほとんど全すべてで、次つぎが成なり立たつ。

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}$

統計とうけい

• $f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp {\biggl [}-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}{\biggr ]}$（正規せいき分布ぶんぷの確かく率りつ密度みつど関数かんすう）
• 幅はば 1 の無数むすうの平行へいこう線せんの上うえから長ながさ 1/2 の針はりを落おとすとき、その針はりが直線ちょくせんと共有きょうゆう点てんを持もつ確かく率りつは 1/πぱい である（ビュフォンの針はり）。

その他た

• 河川かせんの長ながさの水源すいげん・河口かこう間あいだの直線ちょくせん距離きょりに対たいする比率ひりつは、平均へいきんすると円周えんしゅう率りつに近ちかい。

暗唱あんしょう

語呂合ごろあわせ

詳細しょうさいは「Piphilology」を参照さんしょう

πぱい の桁けたを記憶きおく術じゅつに頼たよらずに暗記あんきする方法ほうほうが各種かくしゅ存在そんざいしている。

日本語にほんごでは、語呂合ごろあわせにより、長ながい桁けたを暗記あんきするのも比較的ひかくてき簡単かんたんである。有名ゆうめいなものとして、以下いかがある。

産さん医師いし異国いこくニ向こうコー、産後さんご厄やく無むク産婦さんぷ御社おんしゃニ虫ちゅうサンザン闇やみニ鳴なク

（	産さん	医い	師し	異こと	国くに	ニ	向むかい	コー、	産さん	後のち	厄やく	無む	ク	産さん	婦ふ	御お	社しゃ	ニ	虫むし	サン	ザン	闇やみ	ニ	鳴な	ク	）
	3.	1	4	1	59	2	6	5	3	5	89	7	9	3	2	3	846	2	64	3	3	83	2	7	9	（小数しょうすう以下いか30桁けた）

産さん	医い	師し	異こと	国くに	に	向むかい	かう。	産さん	後のち	厄やく	な	く、	産さん	に	産さん	婆ばば、	四よん	郎ろう	二に	郎ろう	死し	産さん、	産さん	婆ばば	産さん	に	泣	く。	困こまる	に	母はは	よ	行くだり	く	な。	一いち	郎ろう	苦く	産さんで	苦くが続つづき、	美よし	奈	子こ	一人ひとり	を	小しょう	屋や	に	置おけ	く。
3.	1	4	1	59	2	6	5	3	5	89	7	9	3	2	3	8	4	6	2	6	4	3	3	8	3	2	7	9	50	2	88	4	1	9	7	1	6	9	3	99	3	7	5	1	0	5	8	2	0	9	（小数しょうすう以下いか55桁けた）

全まったく傾向けいこうが異ことなるものとして、

身み	一ひとつ、	宵よい、	獄ごく	に	向むかい	こう。	惨むごたるかな	医い	薬くすり	な	く
3.	1	41	59	2	6	5	3	5	89	7	9		（小数しょうすう以下いか14桁けた）

身み	ひとつ	よ	人ひとの、	いづこに	婿むこ見み、	いつ、	厄やくなく	見みつ、	文ぶんや	読よむらん
3.	1	4	1	592	653	5	8979	3	238	46	（小数しょうすう以下いか20桁けた）

英語えいご圏けんでは語呂合ごろあわせがうまくいかないため、単語たんごの文字数もじすうで覚おぼえる方法ほうほうがある。

Yes,	I	have	a	number.
3.	1	4	1	6	（小数しょうすう以下いか4桁けたまでで四捨五入ししゃごにゅう）

Can	I	find	a	trick	recalling	Pi	easily?
3.	1	4	1	5	9	2	6	（7桁けた、また「πぱい を簡単かんたんに思おもい出だせるトリックってある？」という文章ぶんしょう自体じたいがその質問しつもんの答こたえにもなっている）

How	I	like	a	drink,	alcoholic	of	course,	after	the	heavy	lectures	involving	quantum	mechanics!
3.	1	4	1	5	9	2	6	5	3	5	8	9	7	9	（小数しょうすう以下いか14桁けた）

3桁けた目めの like を want としたものもある（出典しゅってんは不明ふめい）。

And	if	the	lectures	were	boring	or	tiring,	then	any	odd	thinking	was	on	quartic	equations	again.
3	2	3	8	4	6	2	6	4	3	3	8	3	2	7	9	5	（上うえに続つづけて、31桁けた）S. ボトムリー

これらのような覚おぼえ方かたは多おおくあり、日本語にほんごでは上記じょうきのものの改編かいへんで90桁けたまでのものや、歌うたに合あわせたもの、数値すうちを文字もじに置おき換かえて1,000桁けた近ちかく覚おぼえる方法ほうほうなどがある。

暗唱あんしょう記録きろく

2004年ねん9月25日にち、原はら口證こうしょうが8時じ間あいだ45分ふんかけて円周えんしゅう率りつ5万まん4000桁けたの暗唱あんしょうに成功せいこうし、従来じゅうらいの世界せかい記録きろくを更新こうしんした。しかしながら、実際じっさいはより多おおくの桁けたを覚おぼえていたため、2005年ねん7月がつ1日にち - 7月がつ2日にちに再さい挑戦ちょうせんし、8万まん3431桁けたまでの暗唱あんしょうに成功せいこうした。2006年ねん10月3日にち午前ごぜん9時じ - 10月4日にち午前ごぜん1時じ30分ふん（16時じ間あいだ30分ふん）の挑戦ちょうせんで円周えんしゅう率りつ10万まん桁けたの暗唱あんしょうに成功せいこうした。

2022年ねん2月がつ現在げんざいで『ギネス世界せかい記録きろく』に認定にんていされている円周えんしゅう率りつ暗唱あんしょうの世界せかい記録きろくは、2015年ねん3月21日にちにRajveer Meenaが10時じ間近まぢかくかけて暗唱あんしょうした7万まん桁けたである。

文化ぶんか的てき影響えいきょう

ベルリン工科こうか大学だいがく数学すうがく科かの近ちかくにあるタイル

πぱいのパイ。 パイは円形えんけいかつ"パイ"とπぱいは同音どうおん異義いぎ語ごであるため、 駄洒落だじゃれの対象たいしょうにされる。

円えんという日常にちじょうでもよく知しられた図形ずけいについての単純たんじゅんな定義ていぎでありながら、小数しょうすう部分ぶぶんが循環じゅんかんせずに無限むげんに続つづくという不可思議ふかしぎさから、数学すうがくにおける概念がいねんの中なかで最もっともよく知しられたものの一ひとつである。

• 3月14日にちは円周えんしゅう率りつの日ひおよび数学すうがくの日ひである。小数点しょうすうてん以下いかが「永遠えいえんに続つづく」という意味いみにあやかり、3月14日にちに結婚けっこんするカップルもいる。また、πぱい (pi) とパイ (pie) は同音どうおん異義いぎ語ごであること、パイが円形えんけいであることから、アメリカ合衆国あめりかがっしゅうこくなど複数ふくすうの国くにで「パイの日ひ」として祝いわわれ、パイ焼やきやパイ食しょくのほか、数学すうがくに関係かんけいした活動かつどうが行おこなわれる。
• 7月がつ22日にちは円周えんしゅう率りつ近似きんじ値ちの日ひとされている（22/7 は円周えんしゅう率りつの近似きんじ値ち）。
• 1999年ねんの学習がくしゅう指導しどう要領ようりょうの改訂かいていにより「小学校しょうがっこうの算数さんすうで円周えんしゅう率りつは3で計算けいさんすることになる」との噂うわさが世間せけんに広ひろまったが、実際じっさいには必要ひつように応おうじて3で計算けいさんすることも可能かのうにするための措置そちであった。
• 2012年ねん8月がつ14日にち、米べい国勢調査こくせいちょうさ局きょくが、米国べいこくの人口じんこうが円周えんしゅう率りつと同おなじ並ならびの3億おく1415万まん9265人にんに達たっしたと発表はっぴょうした。アメリカには円周えんしゅう率りつの曲きょくを作つくる人ひともいる。
• 組版くみはん処理しょりソフトウェア TeX のバージョン番号ばんごうは、3.14, 3.141, 3.1415, … というように、更新こうしんの度たびに円周えんしゅう率りつに近ちかづいていくように一いち桁けたずつ増ふやされる。

実務じつむ上じょうの近似きんじ値ち

円弧えんこの長ながさの計算けいさんなど、実務じつむ上じょうの数値すうち計算けいさんでは、その用途ようとに応おうじて必要ひつような桁数けたすうの円周えんしゅう率りつが計算けいさんに用もちいられる。例れいとして、

• 指輪ゆびわなどの小ちいさなものでは、3.14で設計せっけいしている。
• 公認こうにん陸上りくじょう競技きょうぎ場じょうの曲きょく走路そうろの計算けいさんでは、3.1416を用もちいている。
• NASAのJPLの惑星わくせい間あいだ航行こうこうシステムにおける最高さいこう精度せいどの計算けいさんでは、小数点しょうすうてん以下いか15桁けたまでの3.141592653589793を用もちいている。
• 観測かんそく可能かのうな宇宙うちゅうが球体きゅうたいだとして、その円周えんしゅうの誤差ごさが水素すいそ原子げんし程度ていどになるためには、小数点しょうすうてん以下いか40桁けた程度ていどを使つかえば足たりる。

値ね

小数点しょうすうてん以下いか1000桁けたまでの値ね

πぱい = 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 … （オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A000796）

十じゅう進しん記数きすう法ほう以外いがいの表記ひょうき法ほうによる表現ひょうげん

• 二に進しん記数きすう法ほう（基数きすう2）による最初さいしょの48桁けた（48ビットとも呼よばれる）は 11.001001000011111101101010100010001000010110100011...（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A004601）
• 三さん進しん記数きすう法ほう（基数きすう3）による最初さいしょの38桁けたは 10.0102110122220102110021111102212222201...（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A004602）
• 十じゅう六ろく進しん記数きすう法ほう（基数きすう16）による最初さいしょの20桁けたは3.243F6A8885A308D31319...（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A062964）
• 六ろく十じゅう進しん記数きすう法ほう（基数きすう60）による最初さいしょの5桁けたは 3;8,29,44,0,47（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A060707）

参考さんこう文献ぶんけん

• 上野うえの健けん爾なんじ『円周えんしゅう率りつπぱいをめぐって』日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ〈はじめよう数学すうがく 1 / 上野うえの健けん爾なんじ浪なみ川がわ幸彦さちひこ高橋たかはし陽一郎よういちろう編集へんしゅう〉、1999年ねん。ISBN 4535608407。 NCID BA41156434。全国ぜんこく書誌しょし番号ばんごう:99079085。https://iss.ndl.go.jp/books/R100000002-I000002769358-00。 
• 黒田くろだ成俊なりとし『微分びぶん積分せきぶん』共立きょうりつ出版しゅっぱん〈共立きょうりつ講座こうざ21世紀せいきの数学すうがく 第だい1巻かん〉、2002年ねん。ISBN 978-4320015531。 
• 日本にっぽん数すう学会がっかい 編へん『数学すうがく辞典じてん』（第だい4版はん）岩波書店いわなみしょてん、2007年ねん。ISBN 978-4-00-080309-0。 
• Berggren, Lennart; en:Jonathan Borwein, en:Peter Borwein (1991). Pi: A Source Book. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-94924-0 
• ウォルター・ルーディン (1976) [1953]. Principles of Mathematical Analysis (3e ed.). マグロウヒル. ISBN 0-07-054235-X 
• 板倉いたくら聖きよし宣せん、中村なかむら邦光くにみつ、板倉いたくら玲子れいこ「江戸えど時代じだいの円周えんしゅう率りつの値ね」『日本にっぽんにおける科学かがく研究けんきゅうの萌芽ほうがと挫折ざせつ : 近世きんせい日本にっぽん科学かがく史しの謎なぞ解とき』仮説かせつ社しゃ、1990年ねん、188-212頁ぺーじ。 NCID BN04953821。全国ぜんこく書誌しょし番号ばんごう:92054782。https://iss.ndl.go.jp/books/R100000002-I000002191996-00。 （初出しょしゅつ1982年ねん）
• 中村なかむら邦光くにみつ、板倉いたくら聖きよし宣せん『円周えんしゅう率りつ3.14の受うけ継つぎと定着ていちゃくの過程かてい』仮説かせつ社しゃ、1990年ねん、213-240頁ぺーじ。 （初出しょしゅつ1983年ねん）
• 中村なかむら邦光くにみつ、板倉いたくら聖きよし宣せん『円周えんしゅう率りつ3.14の動揺どうようと3.16の復活ふっかつの謎なぞ』仮説かせつ社しゃ、1990年ねん、241-255頁ぺーじ。 （初出しょしゅつ1984年ねん）
• 中村なかむら邦光くにみつ「江戸えど時代じだいの日本にっぽんにおける円周えんしゅう率りつの値ねの逆行ぎゃっこう現象げんしょう」『計量けいりょう史し研究けんきゅう』第だい38巻かん第だい1号ごう、日本にっぽん計量けいりょう史し学会がっかい、2016年ねん、42-48頁ぺーじ、ISSN 0286-7214、NAID 110010040017、NDLJP:10632319。 
• 板倉いたくら聖きよし宣せん「円周えんしゅう率りつの変化へんかに見みる日本にっぽんの数学すうがく＝和算わさんの発展はってん」『日本にっぽん史し再さい発見はっけん : 理系りけいの視点してんから』朝日新聞社あさひしんぶんしゃ〈朝日あさひ選書せんしょ 477〉、1993年ねん、258-268頁ぺーじ。ISBN 4-02-259577-9。 NCID BN09217299。https://iss.ndl.go.jp/books/R100000002-I000002255858-00。 
• 板倉いたくら聖きよし宣せん『新しん総合そうごう読本とくほん 2種類しゅるいあった江戸えど時代じだいの円周えんしゅう率りつ－〈3.16〉と〈3.14〉のなぞ』 356巻かん、9号ごう、仮説かせつ社しゃ、2009年ねん、92-115頁ぺーじ。 

関連かんれん書籍しょせき

• 『円周えんしゅう率りつπぱいの不思議ふしぎ―アルキメデスからコンピュータまで』堀場ほりば芳かおる数すう、講談社こうだんしゃ〈ブルーバックス〉、1989年ねん10月がつ17日にち。ISBN 978-4061327979。
• 『πぱい（パイ）のはなし』金田かねだ康正こうせい、東京とうきょう図書としょ、1991年ねん4月がつ1日にち。ISBN 978-4489003387。
• 『πぱいの公式こうしきをデザインする』猪口いのぐち和則かずのり、新風しんぷう舎しゃ、1998年ねん1月がつ9日にち。ISBN 4-7974-0493-0。
• 『円周えんしゅう率りつπぱいをめぐって』上野うえの健けん爾なんじ、日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、1999年ねん3月がつ。ISBN 978-4535608405。
• 『πぱい-魅惑みわくの数かず』ジャン＝ポール・ドゥラエ、畑はた政義まさよし訳やく、朝倉書店あさくらしょてん、2001年ねん10月がつ1日にち。ISBN 978-4254110869。
• 『πぱいの歴史れきし』ペートル・ベックマン、田尾たお陽一よういち訳やく、筑摩書房ちくましょぼう〈ちくま学芸がくげい文庫ぶんこ〉、2006年ねん4月がつ。ISBN 978-4480089854。
• 『πぱい ― πぱいの計算けいさんアルキメデスから現代げんだいまで』竹之内たけのうち脩おさむ、伊藤いとう隆たかし、共立きょうりつ出版しゅっぱん、2007年ねん3月がつ22日にち。ISBN 978-4320018341。
• 『円周えんしゅう率りつが歩あゆんだ道みち』上野うえの健けん爾なんじ、岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ現代げんだい全書ぜんしょ〉、2013年ねん6月がつ19日にち。ISBN 978-4000291040。
• 『円周えんしゅう率りつ ―歴史れきしと数理すうり―』中村なかむら滋しげる、共立きょうりつ出版しゅっぱん、2013年ねん11月23日にち。ISBN 978-4320110625。
• Pi: A Source Book (3rd ed.). Lennart Berggren; Jonathan Borwein; Peter Borwein (2004-8-9). シュプリンガー. ISBN 978-0387205717
• Pi: The Next Generation: A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation (1st ed.). David H. Bailey; Jonathan M. Borwein (2016-8-5). シュプリンガー. ISBN 978-3319323756

関連かんれん項目こうもく

• 数学すうがくに関かんするもの
  • 円周えんしゅう率りつの歴史れきし
  • 円周えんしゅう率りつの近似きんじ
  • 円周えんしゅう率りつの無理むり性せいの証明しょうめい
  • τたう (数学すうがく定数ていすう) - 円えんの半径はんけいに対たいする周しゅう長ちょうの比ひ
  • リンデマンの定理ていり
  • ファインマン・ポイント
  • 数学すうがく定数ていすう
• 教育きょういくに関かんするもの
  • 円周えんしゅう率りつは3
• 社会しゃかいに関かんするもの
  • 円周えんしゅう率りつの日ひ
  • インディアナ州しゅう円周えんしゅう率りつ法案ほうあん

外部がいぶリンク

• 算数さんすう用語ようご集しゅう「円周えんしゅう率りつ」 - 新興しんこう出版しゅっぱん社しゃ啓けい林りん館かん
• 円周えんしゅう率りつ.jp
• 江戸えどの数学すうがく「コラム 円周えんしゅう率りつ」 - 国立こくりつ国会図書館こっかいとしょかん
• 円周えんしゅう率りつナビ
• 円周えんしゅう率りつ計算けいさん｜ラマヌジャン型がた公式こうしき
• 円周えんしゅう率りつ100万まん桁けた表ひょう
• 寒川さむかわ光ひかり：「完全かんぜん楕円だえん積分せきぶんとガウス・ルジャンドル法ほうによるπぱいの計算けいさん」、平成へいせい29年ねん（西暦せいれき2017年ねん）4月がつ14日にち
• 高校生こうこうせいのための コンピュータサイエンス オンラインセッション2020 情報処理じょうほうしょり学会がっかい 第だい3回かい 2020/08/07 10:00-11:00 井上いのうえ 創造そうぞう、岩尾いわお エマ はるか（38m37s〜） - YouTube
  • ※ 円周えんしゅう率りつ30兆ちょう桁けたをGoogleCloudを使つかって計算けいさん。
• Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt and Heng Huat Chan: "Ramanujan's Series for 1/πぱい: A Survey", The American Mathematical Monthly, v116(7) (Aug-Sep.,2009),pp.567-587.