剰余じょうよ環たまき

数学すうがくの一いち分野ぶんや、環たまき論ろんにおける商しょう環たまき（しょうかん、英えい: quotient ring）、剰余じょうよ環たまき（じょうよかん、英えい: factor ring）あるいは剰余じょうよ類るい環たまき（じょうよるいかん、英えい: residue class ring）とは、群論ぐんろんにおける剰余じょうよ群ぐんや線型せんけい代数だいすう学がくにおける商しょう線型せんけい空間くうかんに類似るいじした環たまきの構成こうせい法ほうおよびその構成こうせい物ぶつである。すなわち、はじめに環たまき R とその両側りょうがわイデアル I が与あたえられたとき、剰余じょうよ環たまき R/I と呼よばれる新あたらしい環たまきが、I の全すべての元もとが零れい元げんに潰つぶれる（I による違ちがいを「無視むし」するともいえる）ことで得えられる。

注意ちゅうい: 剰余じょうよ環たまきは商しょう環たまきとも呼よばれるけれども、整せい域いきに対たいする商しょう体たい（分数ぶんすうの体からだ）と呼よばれる構成こうせいとは異ことなるし、全ぜん商しょう環たまき（商しょうの環たまき、これは環たまきの局所きょくしょ化かの一種いっしゅ）とも異ことなる。

厳密げんみつな剰余じょうよ環たまき構成こうせい

環たまき R とその両側りょうがわイデアル I が与あたえられたとき、R 上うえの同値どうち関係かんけい ~ を

a ~ b ⇔ b − a ∈ I

で定さだめる。a ~ b が成立せいりつすることを「a と b はイデアル I を法ほうとして合同ごうどうである」という。イデアルの性質せいしつから、これが合同ごうどう関係かんけいを定義ていぎすることを確たしかめるのは難むずかしくない。

R の元もと a の属ぞくする同値どうち類るいは

$[a]=a+I:=\{a+r\mid r\in I\}$

で与あたえられる。この同値どうち類るいは a mod I とも書がき、「a を I で割わった剰余じょうよ類るい」("residue class of a modulo I") と呼よばれる。

このような同値どうち類るい全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうを R/I で表あらわせば、これは

${\begin{aligned}(a+I)+(b+I)&:=(a+b)+I;\\(a+I)(b+I)&:=(ab)+I\end{aligned}}$

を演算えんざんとする環たまきとなる（これが矛盾むじゅん無なく定義ていぎできることは確認かくにんすべきことである）。これを R を I で割わった商しょう環たまき、あるいは剰余じょうよ環たまきという。剰余じょうよ環たまき R/I の零れい元げんは 0 + I = I であり、乗法じょうほう単位たんい元もとは 1 + I で与あたえられる。

環たまき R から剰余じょうよ環たまき R/I への全ぜん射いな環たまき準じゅん同型どうけい πぱい が

$\pi (a):=a+I$

とおくことによって定さだまる。これは自然しぜんな射影しゃえいや標準ひょうじゅん準じゅん同型どうけいなどとも呼よばれる。

例れい

• もっとも極端きょくたんな剰余じょうよ環たまきの例れいは、環たまき R の極端きょくたんなイデアル（つまり、{0} および R 自身じしん）で割わることで得えられる。剰余じょうよ環たまき R/{0} は R に自然しぜん同型どうけいであり、剰余じょうよ環たまき R/R は自明じめいな環たまき {0} に自然しぜん同型どうけいである。これは、簡単かんたんに言いうと「より小ちいさなイデアル I で割わったほうが剰余じょうよ環たまき R/I はより大おおきくなる」という一般いっぱん的てきな法則ほうそくに、適合てきごうしている。I が R の真しんのイデアル（つまり I ≠ R）ならば R/I が自明じめいな環たまきになることはない。
• 整数せいすう全体ぜんたいの成なす環たまき Z と偶数ぐうすう全体ぜんたいの成なすイデアル 2Z を考かんがえれば、剰余じょうよ環たまき Z/2Z は偶数ぐうすう全体ぜんたいと奇数きすう全体ぜんたいというただ二ふたつの元もとからなる。これは二元にげん体たい F₂ に自然しぜん同型どうけいである（なんとなれば、偶数ぐうすう全体ぜんたいを 0, 奇数きすう全体ぜんたいを 1 と考かんがえればよい）。合同ごうどう算術さんじゅつとは本質ほんしつ的てきに剰余じょうよ環たまき Z/nZ における算術さんじゅつのことである。
• 実数じっすうに係数けいすうを持もつ、不定ふてい元もと X に関かんする多項式たこうしき全体ぜんたいの成なす環たまき R[X] と、そのイデアル I = (X² + 1) を考かんがえる（I は多項式たこうしき X² + 1 の倍ばい元もとの全体ぜんたいが成なすイデアル）。剰余じょうよ環たまき R[X]/(X² + 1) は複素数ふくそすう体からだ C に自然しぜん同型どうけいである。特とくに剰余じょうよ類るい [X] が虚数きょすう単位たんい i の役割やくわりを果はたす。直観ちょっかん的てきには、I で割わることは「強制きょうせい的てきに」X² + 1 = 0 とすることに相当そうとうするから、つまり X² = −1 という i を定義ていぎする性質せいしつを X（の剰余じょうよ類るい）が持もつことになる。
• すぐ上うえの例れいと同様どうよう、一般いっぱんに剰余じょうよ環たまきは体からだの拡大かくだいを構成こうせいすることにもよく用もちいられる。K が体からだで、f が K[X] に属ぞくする既すんで約やく多項式たこうしきならば L = K[X]/(f) は K 上うえの最小さいしょう多項式たこうしきが f であるような元もとによる体からだの拡大かくだいとみなせる。また、これは K や x = X + (f) を含ふくむ体からだである。
• 同様どうようの例れいとして、剰余じょうよ環たまきは有限ゆうげん体たいの構成こうせいにおいても重要じゅうようである。三さん元げん体たい F₃ = Z/3Z の場合ばあい、多項式たこうしき f(X) = X² + 1 は F₃ 上うえで既すんで約やくである（実際じっさい、F₃ に根ねを持もたない）。剰余じょうよ環たまき F₃[X]/(f) を構成こうせいすれば、これは 3² = 9 個この元もとを持もつ体からだであり、F₉ で表あらわされる。他たの有限ゆうげん体たいも同様どうようの方法ほうほうで構成こうせいできる。
• 代数だいすう多様たよう体たいの座標ざひょう環たまきは代数だいすう幾何きか学がくにおける剰余じょうよ環たまきの重要じゅうような例れいである。簡単かんたんな場合ばあいとして、実じつ代数だいすう多様たよう体たい V = {(x,y) | x² = y³} を実平さねひら面めん R² の部分ぶぶん集合しゅうごうとみる。V 上うえで定義ていぎされる実じつ数値すうち多項式たこうしき函数かんすうの全体ぜんたいが成なす環たまきは剰余じょうよ環たまき R[X,Y]/(X² − Y³) に同一どういつ視しされて、これを V の座標ざひょう環たまきとみなす。これにより代数だいすう多様たよう体たい V を調しらべることが、この座標ざひょう環たまきを調しらべることに帰着きちゃくされる。
• M が C^∞-多様たよう体たいで p が M の元もととするとき、M 上うえ定義ていぎされた C^∞-級きゅう函数かんすう全体ぜんたいの成なす環たまき R = C^∞(M) と、そのような函数かんすう f のうちで点てん p の適当てきとうな近傍きんぼう U で（U は f ごとに異ことなってもよい）恒等こうとう的てきに消きえているようなもの全体ぜんたいからなるイデアル I を考かんがえると、剰余じょうよ環たまき R/I は点てん p における M 上うえのC^∞-級きゅう函数かんすうの芽め全体ぜんたいの成なす環たまきとなる。
• F を超ちょう実数じっすう体からだ *R の有限ゆうげんな元もとからなる環たまきとする。これは標準ひょうじゅん実数じっすうとは無限むげん小しょうの寄与きよの分ぶんだけ異ことなる超ちょう実数じっすう全体ぜんたいからなる。い換いかえれば、F は標準ひょうじゅん整数せいすう n を十分じゅうぶん大おおきく取とれば −n < x < n とできるような超ちょう実数じっすう x 全体ぜんたいからなる。また集合しゅうごう I を *R の無限むげん小しょうの全体ぜんたいに 0 を合あわせて得えられるものとすると、これは F のイデアルとなり、剰余じょうよ環たまき F/I は標準ひょうじゅん実数じっすう体たい R に同型どうけいとなる。この同型どうけいは F の各かく元もと x に x の標準ひょうじゅん部分ぶぶん（x に無限むげんに近ちかい標準ひょうじゅん実数じっすう）st(x) を対応たいおうさせることによって導みちびかれる。実じつは、環たまき F を有限ゆうげん超ちょう準じゅん有理数ゆうりすう（超ちょう準じゅん整数せいすうの比ひ）の全体ぜんたいが成なす環たまきとしても同おなじやり方かたで同おなじく R を得えることができる。

異種いしゅ複素ふくそ平面へいめん

剰余じょうよ環たまき R[X]/(X), R[X]/(X + 1), R[X]/(X − 1) はどれも R に同型どうけいだから、さほど面白おもしろいことにはならないが、剰余じょうよ環たまき R[X]/(X²) は幾何きか代数だいすうにおいて二に重じゅう数すう (dual number) と呼よばれる二に次元じげんの対象たいしょうを定さだめる。これは R[X] の元もとを X² で割わった「余あまり」としての線型せんけい二に項こう式しきのみからなる。このような異種いしゅ複素ふくそ平面へいめんが生しょうじることは、二に重じゅう数すうの存在そんざいを際立きわだたせるのに十分じゅうぶんである。

さらに剰余じょうよ環たまき R[X]/(X² − 1) は二ふたつの剰余じょうよ環たまき R[X]/(X + 1) および R[X]/(X − 1) に分解ぶんかいするので、これを分解ぶんかい型がた複素数ふくそすう環たまきといい、しばしば環たまきの直和なおかず R ⊕ R と同一どういつ視しされる。 その一方いっぽうで、これにより双曲線そうきょくせん上じょうへ複素数ふくそすう構造こうぞうを持もち込こむことができ、通常つうじょうの複素数ふくそすうが回転かいてんを表現ひょうげんするのと同様どうように分解ぶんかい型がた複素数ふくそすうの演算えんざんと双そう曲きょく的てき回転かいてんが結むすびつくので、双そう曲きょく的てき回転かいてんの平面へいめん線型せんけい代数だいすうが自然しぜんに行おこなえる。

四よん元げん数すうとその変種へんしゅ

ハミルトンの四よん元げん数すうは1843年ねんに

R[X,Y]/(X² + 1, Y² + 1, XY + YX).

として与あたえられた。Y² + 1 を Y² − 1 に置おき換かえれば分解ぶんかい型がた四よん元げん数すうの環たまきが得えられる。二ふたつの + を両方りょうほうとも − に置おき換かえてもやはり分解ぶんかい型がた四よん元げん数すうを得える。反はん交換こうかん性せい YX = −XY から XY の平方へいほうが

(XY)(XY) = X(YX)X = −X(XY)Y = − XXYY = −1

となることが従したがう。三さん種類しゅるいの複ふく四よん元げん数すうも、三みっつの不定ふてい元もとを持もつ環たまき R[X,Y,Z] と適当てきとうなイデアルを考かんがえれば、剰余じょうよ環たまきとして表あらわすことができる。

性質せいしつ

明あきらかに、R が可か換かわ環たまきならば剰余じょうよ環たまき R/I もそうである。しかし、逆ぎゃくは一般いっぱんには正ただしくない。

R から R/I への自然しぜん射影しゃえい πぱい の核かくは I である。環たまき準じゅん同型どうけいの核かくは常つねに両側りょうがわイデアルであるから、任意にんいの両側りょうがわイデアルを何なんらかの環たまき準じゅん同型どうけいの核かくになるものとして扱あつかうことができる。

環たまき準じゅん同型どうけいとその核かく、および剰余じょうよ環たまきの間あいだにある密接みっせつな関係かんけいを以下いかのように述のべることができる。

剰余じょうよ環たまき R/I 上うえで定義ていぎされる環たまき準じゅん同型どうけいを考かんがえることと、R 上うえで定義ていぎされる環たまき準じゅん同型どうけいで、I 上うえ消きえている（自明じめいである、すなわち常つねに零れい元げんにうつる）ものを考かんがえることとは本質ほんしつ的てきに同おなじである。

${\begin{matrix}R&&\\&\searrow {}^{f}&\\{}^{\pi }\downarrow &&S\\&\nearrow {}_{g}&\\R/I&&\end{matrix}}$

より具体ぐたい的てきに書かけば、R の両側りょうがわイデアル I と環たまき準じゅん同型どうけい f: R → S で ker(f) が I を含ふくむものが与あたえられたとき、環たまき準じゅん同型どうけい g: R/I → S で gπぱい = f を満みたすようなものがただひとつ存在そんざいする。すなわち写像しゃぞう g が R の任意にんいの元もと a に対たいして g([a]) = f(a) とおくことによって矛盾むじゅん無なく定さだまる。実際じっさい、このような普遍ふへん性せいを持もつものとして、剰余じょうよ環たまきおよび自然しぜんな射影しゃえいを「定義ていぎ」することもできる。

上記じょうきの帰結きけつとして、

任意にんいの環かん準じゅん同型どうけい f: R → S は剰余じょうよ環たまき R/ker(f) と像ぞう im(f) の間あいだの環かん同型どうけいを誘導ゆうどうする（準じゅん同型どうけい定理ていりを参照さんしょう）

という基本きほん的てきな主張しゅちょうを得える。

環たまき R のイデアルと剰余じょうよ環たまき R/I のイデアルの間あいだには密接みっせつな関係かんけいがある（対応たいおう定理ていり）。すなわち、自然しぜんな射影しゃえいを考かんがえることにより、R の I を含ふくむ両側りょうがわイデアルと R/I の両側りょうがわイデアルとの間あいだに一対一いちたいいち対応たいおうがつく（「両側りょうがわイデアル」を「左ひだりイデアル」や「右みぎイデアル」にいっせいに取とり替かえても同おなじことが成なり立たつ）。このイデアルの間あいだの対応たいおう関係かんけいは対応たいおうする剰余じょうよ環たまきの間あいだの対応たいおう関係かんけいに拡張かくちょうすることができる。すなわち、M を I を含ふくむ R の両側りょうがわイデアルとし、これに対応たいおうする R/I のイデアルを M/I(= πぱい(M)) と書かけば、写像しゃぞう

$a+M\mapsto (a+I)+M/I$

は矛盾むじゅん無なく定さだまり、剰余じょうよ環たまき R/M と (R/I)/(M/I) は自然しぜん同型どうけいとなる。

可か換かわ代だい数学すうがくおよび代数だいすう幾何きか学がくにおいて以下いかのような言及げんきゅうがよく用もちいられる。R(≠ {0}) は可か換かわ環たまきとするとき、I がその極大きょくだいイデアルならば剰余じょうよ環たまき R/I は可か換かわ体からだであり、I が素すイデアルならば R/I は整せい域いきである。イデアル I の性質せいしつから決きまる剰余じょうよ環たまき R/I の性質せいしつについて、同様どうようなものがいくつか知しられている。

中国ちゅうごくの剰余じょうよ定理ていりの主張しゅちょうは、イデアル I がどの二ふたつもに互たがいに素そなイデアル I₁, ..., I_k の交まじわりになっている（あるいは同おなじことだが、積せきになっている）ならば剰余じょうよ環たまきについての同型どうけい

$R/I\simeq R/I_{1}\times \cdots \times R/I_{k}$

が成なり立たつということである。

関連かんれん項目こうもく

• 剰余じょうよ体たい: 極大きょくだいイデアルによる商しょう
• 全ぜん商しょう環たまき・環たまきの局所きょくしょ化か
• 商しょう体たい

関連かんれん文献ぶんけん

• F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, translated by DAR Wallace (1982) Modules and Rings, Academic Press, page 33.
• Neal H. McCoy (1948) Rings and Ideals, §13 Residue class rings, page 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America.
• Joseph Rotman (1998), Galois Theory (2nd edition), Springer, pp. 21–3, ISBN 0-387-98541-7 
• B.L. van der Waerden (1970) Algebra, translated by Fred Blum and John R Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, New York. See Chapter 3.5, "Ideals. Residue Class Rings", pages 47 to 51.

外部がいぶリンク

• Ideals and factor rings from John Beachy's Abstract Algebra Online
• Quotient ring - PlanetMath.org（英語えいご）