分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 英語 えいご split-complex number 分裂 ぶんれつ 複素数 ふくそすう 数学 すうがく 実数 じっすう x , y j 2 = +1満 み 実数 じっすう 量 りょう 用 もち z = x + yj 表 あらわ 数 かず
分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 通常 つうじょう 複素数 ふくそすう 最 もっと 大 おお 幾何 きか 学 がく 的 てき 違 ちが 通常 つうじょう 複素数 ふくそすう 乗法 じょうほう ℝ 2 通常 つうじょう 自乗 じじょう x 2 + y 2 従 したが 一方 いっぽう 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 乗法 じょうほう 自乗 じじょう x 2 − y 2 従 したが
代数 だいすう 的 てき 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 通常 つうじょう 複素数 ふくそすう 無 な 非 ひ 自明 じめい 0 でも 1 でもない）冪 べき 等 とう 元 もと 含 ふく 興味深 きょうみぶか 性質 せいしつ 持 も 全 すべ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 成 な 集合 しゅうごう 体 からだ 代 か 環 たまき 成 な
分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 他 た 呼 よ 名 な #別称 べっしょう を参照 さんしょう 分解 ぶんかい 型 がた (split) というのは、(p , p ) -型 かた 計量 けいりょう 二 に 次 じ 形式 けいしき 符号 ふごう 数 すう 分解 ぶんかい 型 がた 符号 ふごう 数 すう 呼 よ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 分解 ぶんかい 型 がた 符号 ふごう 数 すう (1, 1) を持 も 複素数 ふくそすう 類似 るいじ
分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう z = x + jy 形 かたち x , y 実数 じっすう 量 りょう j は j 2 = +1満 み 実数 じっすう ±1 ）でない量 りょう 虚数 きょすう 単位 たんい
通常 つうじょう 複素数 ふくそすう 異 こと 虚数 きょすう 単位 たんい i 2 = −1j 2 = +1
分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう z 全体 ぜんたい 集合 しゅうごう 分解 ぶんかい 型 がた 複素 ふくそ 平面 へいめん (split-complex plane ) と呼 よ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 加法 かほう 乗法 じょうほう
(x + jy ) + (u + jv ) = (x + u ) + j (y + v ) ,(x + jy )(u + jv ) = (xu + yv ) + j (xv + yu ) で定義 ていぎ 乗法 じょうほう 可 か 換 かわ 結合 けつごう 的 てき 加法 かほう 対 たい 分配 ぶんぱい 的 てき
複素数 ふくそすう 複素 ふくそ 共役 きょうやく 同様 どうよう 分解 ぶんかい 型 がた 複素 ふくそ 共軛 きょうやく (split-complex conjugate ) の概念 がいねん 定義 ていぎ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう z = x + jy 対 たい 共軛 きょうやく
z* ≔ x − jy で与 あた 共軛 きょうやく 複素 ふくそ 共役 きょうやく 同様 どうよう
(z + w )* = z* + w* (z⋅w )* = z*⋅w* (z* )* = z などの性質 せいしつ 満 み 条件 じょうけん 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 環 たまき 分解 ぶんかい 型 がた 複素 ふくそ 共軛 きょうやく 対 たい 合 ごう 位 い 数 すう 自己 じこ 同型 どうけい 持 も 対 たい 合 ごう 付 つ 環 たまき 示 しめ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう z = x + jy 絶対 ぜったい 値 ち 平方 へいほう 二 に 次 じ 形式 けいしき
‖ z ‖ ≔ z⋅z* = z*⋅z = x 2 − y 2 で与 あた 重要 じゅうよう 性質 せいしつ 絶対 ぜったい 値 ち
‖ z⋅w ‖ = ‖ z ‖⋅‖ w ‖ が成立 せいりつ 意味 いみ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 乗法 じょうほう 両立 りょうりつ 二 に 次 じ 形式 けいしき 正 せい 定値 ていち 符号 ふごう 数 すう (1, 1) を持 も 不 ふ 定値 ていち 二 に 次 じ 形式 けいしき 絶対 ぜったい 値 ち 平方根 へいほうこん 取 と 解析 かいせき 学 がく 的 てき 意味 いみ ノルム にはならない。分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 付随 ふずい (1, 1) -型 かた 双 そう 曲 きょく 的 てき 不 ふ 定値 ていち 内積 ないせき
⟨ z , w ⟩ ≔ ℜe (z⋅w* ) = ℜe (z*⋅w ) = xu − yv によって与 あた z = x + jy , w = u + jv 用 もち 絶対 ぜったい 値 ち 別 べつ 表示 ひょうじ
‖ z ‖ = ⟨ z , z ⟩ と書 か 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 可逆 かぎゃく 絶対 ぜったい 値 ち 非 ひ 零 れい 同値 どうち 逆 ぎゃく 元 もと
z −1 ≔ z* ‖ z ‖ で与 あた 可逆 かぎゃく 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう ヌル元 もと (null element ) と呼 よ 元 もと 全体 ぜんたい 適当 てきとう 実数 じっすう a をとって a ± ja 形 かたち 書 か 元 もと 全体 ぜんたい 一致 いっち
分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 非 ひ 自明 じめい 冪 べき 等 とう 元 もと 存在 そんざい e ≔ (1 − j )/2, e* = (1 + j )/2与 あた [注釈 ちゅうしゃく
‖
e
‖
=
‖
e
∗
‖
=
e
∗
e
=
0
{\displaystyle \lVert e\rVert =\lVert e^{*}\rVert =e^{*}e=0}
ゆえ、ヌル元 もと 分解 ぶんかい 型 がた 複素 ふくそ 平面 へいめん 一 ひと 基底 きてい {e , e* } をとるとしばしば便利 べんり 基底 きてい 対 たい 角 かく 基底 きてい ヌル基底 きてい と呼 よ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう z は対 たい 角 かく 基底 きてい 用 もち
z = x + jy = (x − y )e + (x + y )e* と表 あらわ 実数 じっすう a, b の順序 じゅんじょ 対 たい (a , b ) で分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう ae + be* 表 あらわ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 乗法 じょうほう
(a 1 , b 1 )(a 2 , b 2 ) ≔ (a 1 a 2 , b 1 b 2 ) で与 あた 基底 きてい 用 もち 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 全体 ぜんたい 環 たまき 直和 なおかず ℝ ⊕ ℝ [注釈 ちゅうしゃく 同型 どうけい 判 わか
対 たい 角 かく 基底 きてい 関 かん 分解 ぶんかい 型 がた 複素 ふくそ 共軛 きょうやく (a , b )* = (b , a ) であり、絶対 ぜったい 値 ち ‖ (a , b ) ‖ = ab を満 み
青 あお 単位 たんい 直交 ちょっこう 双曲線 そうきょくせん ‖ z ‖ = 1 , 緑 みどり 共軛 きょうやく 双曲線 そうきょくせん ‖ z ‖ = −1 , 赤 あか 漸近 ぜんきん 線 せん ‖ z ‖ = 0 ミンコフスキー内積 ないせき 備 そな 実 じつ 二 に 次元 じげん 線型 せんけい 空間 くうかん (1 + 1) -次元 じげん ミンコフスキー空間 くうかん と呼 よ ℝ 1,1 表 あらわ 平面 へいめん ℝ 2 幾何 きか 学 がく 複素数 ふくそすう 用 もち 記述 きじゅつ 同様 どうよう 平面 へいめん ℝ 1,1 幾何 きか 学 がく 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 用 もち 記述 きじゅつ
0 でない任意 にんい 実数 じっすう a に対 たい 点 てん 集合 しゅうごう
{
z
:
‖
z
‖
=
a
2
}
{\displaystyle \{z:\lVert z\rVert =a^{2}\}}
は双曲線 そうきょくせん 成 な 双曲線 そうきょくせん 左右 さゆう (a , 0) を通 とお (−a , 0) を通 とお 枝 えだ 持 も a = 1場合 ばあい 単位 たんい 双曲線 そうきょくせん 呼 よ 各 かく a に対 たい 共軛 きょうやく 双曲線 そうきょくせん
{
z
:
‖
z
‖
=
−
a
2
}
{\displaystyle \{z:\lVert z\rVert =-a^{2}\}}
で与 あた 上下 じょうげ (0, a ) を通 とお (0, −a ) を通 とお 枝 えだ 持 も 双 そう 曲面 きょくめん 共軛 きょうやく 双 そう 曲面 きょくめん 元 もと 全体 ぜんたい 集合 しゅうごう
{
z
:
‖
z
‖
=
0
}
{\displaystyle \{z:\lVert z\rVert =0\}}
の成 な 対角線 たいかくせん 上 じょう 漸近 ぜんきん 線 せん 隔 へだ ヌル錐 きり (null cone ) とも呼 よ 本 ほん 直線 ちょくせん 傾 かたむ ±1 を持 も ℝ 2 直交 ちょっこう
分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう z , w ⟨ z, w ⟩ = 0満 み 双 そう 曲 きょく 的 てき 直交 ちょっこう （英語 えいご 版 ばん 特 とく 通常 つうじょう 複素数 ふくそすう 算術 さんじゅつ 知 し 通常 つうじょう 意味 いみ 直交 ちょっこう 性 せい 類似 るいじ 条件 じょうけん 判 わか 時空 じくう 同時 どうじ 超 ちょう 平面 へいめん 概念 がいねん 根幹 こんかん 成 な
複素数 ふくそすう オイラーの公式 こうしき の分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 該当 がいとう 類似 るいじ 物 ぶつ
exp
(
j
θ しーた )
=
cosh
(
θ しーた )
+
j
sinh
(
θ しーた )
{\displaystyle \exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}
が成立 せいりつ 双曲線 そうきょくせん 余弦 よげん 関数 かんすう cosh(θ しーた の冪 べき 級数 きゅうすう 展開 てんかい 偶数 ぐうすう 次 じ 項 こう 双曲線 そうきょくせん 正弦 せいげん 関数 かんすう sinh(θ しーた が奇数 きすう 次 じ 項 こう 用 もち 導出 どうしゅつ 任意 にんい 実 じつ 数値 すうち 取 と 双 そう 曲 きょく 角 かく （英語 えいご 版 ばん θ しーた 対 たい 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう λ らむだ jθ しーた )1 で単位 たんい 双曲線 そうきょくせん 右側 みぎがわ 枝 えだ 上 じょう 数 かず λ らむだ 双 そう 曲 きょく 呼 よ
λ らむだ 絶対 ぜったい 値 ち 1 であるから、任意 にんい 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう z への λ らむだ 掛 か 操作 そうさ z の絶対 ぜったい 値 ち 保 たも 双 そう 曲 きょく 的 てき 回転 かいてん 狭義 きょうぎ 変換 へんかん 縮小 しゅくしょう 写像 しゃぞう 表現 ひょうげん 回転 かいてん 絶対 ぜったい 値 ち 1 通常 つうじょう 複素数 ふくそすう 掛 か 操作 そうさ ℝ 2 回転 かいてん 引 ひ 起 お 示唆 しさ λ らむだ 掛 か 操作 そうさ 双曲線 そうきょくせん 自身 じしん 写 うつ 錐 きり 自身 じしん 写 うつ 意味 いみ 幾何 きか 学 がく 的 てき 構造 こうぞう 保 たも
分解 ぶんかい 型 がた 複素 ふくそ 平面 へいめん 上 じょう 絶対 ぜったい 値 ち 保存 ほぞん 同 おな 内積 ないせき 保存 ほぞん 変換 へんかん 全体 ぜんたい 成 な 集合 しゅうごう 不 ふ 定値 ていち 直交 ちょっこう 群 ぐん （英語 えいご 版 ばん O (1, 1)呼 よ 群 ぐん 成 な 群 ぐん 双 そう 曲 きょく 的 てき 回転 かいてん z ↦ ±z z ↦ ±z* 与 あた 離散 りさん 的 てき 鏡 かがみ 映 うつ 変換 へんかん 組 く 合 あ 双 そう 曲 きょく 的 てき 回転 かいてん 全体 ぜんたい SO + (1, 1)表 あらわ O (1, 1)部分 ぶぶん 群 ぐん 成 な
双 そう 曲 きょく 角 かく θ しーた 双 そう 曲 きょく 回転 かいてん exp(jθ しーた ) へ写 うつ 指数 しすう 写像 しゃぞう
exp
:
(
R
,
+
)
→
S
O
+
(
1
,
1
)
{\textstyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+)\to {\mathit {SO}}^{+}(1,1)}
通常 つうじょう 指数 しすう 法則 ほうそく 用 もち
e
j
(
θ しーた +
ϕ
)
=
e
j
θ しーた
e
j
ϕ
{\textstyle e^{j(\theta +\phi )}=e^{j\theta }e^{j\phi }}
成立 せいりつ 群 ぐん 同型 どうけい
抽象 ちゅうしょう 代 だい 数学 すうがく 言葉 ことば 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 全体 ぜんたい 多項式 たこうしき 環 たまき ℝ [x ]x 2 − 1生成 せいせい イデアル による商 しょう 環 たまき
R
[
x
]
/
(
x
2
−
1
)
{\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}
として記述 きじゅつ 商 しょう x の像 ぞう x mod (x 2 − 1)虚数 きょすう 単位 たんい j である。この方法 ほうほう 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 全体 ぜんたい 標 しるべ 数 すう 0 可 か 換 かわ 環 たまき 成 な 明 あき 自明 じめい 仕方 しかた 倍 ばい 定義 ていぎ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 全体 ぜんたい 実 じつ 次元 じげん 可 か 換 かわ 多元 たげん 環 たまき 多元 たげん 環 たまき 可逆 かぎゃく 元 もと 元 もと 斜体 しゃたい 可 か 換 かわ 体 からだ 事実 じじつ 非 ひ 零 れい 元 もと 零 れい 因子 いんし 加法 かほう 乗法 じょうほう 平面 へいめん 通常 つうじょう 位相 いそう 関 かん 連続 れんぞく 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 全体 ぜんたい 位相 いそう 環 たまき 成 な
分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 全体 ぜんたい 正 せい 定値 ていち 術語 じゅつご 通常 つうじょう 意味 いみ 解 げ 限 かぎ ノルム代数 だいすう を成 な 定義 ていぎ 拡張 かくちょう 一般 いっぱん 符号 ふごう 数 すう 持 も 考 かんが 意味 いみ ノルム代数 だいすう 」と考 かんが 以下 いか 事実 じじつ
‖
z
w
‖
=
‖
z
‖
‖
w
‖
{\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert }
から従 したが 一般 いっぱん 符号 ふごう 数 すう 持 も 代数 だいすう 詳細 しょうさい Harvey 1990 ) を参照 さんしょう
定義 ていぎ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 環 たまき 位 い 数 すう 2 巡回 じゅんかい 群 ぐん C 2 対 たい 実数 じっすう 体 たい ℝ 上 うえ 群 ぐん 環 たまき ℝ [C 2 ]同型 どうけい 従 したが
分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 全体 ぜんたい 環 たまき クリフォード代数 だいすう の特別 とくべつ 場合 ばあい 正 せい 定値 ていち 二 に 次 じ 形式 けいしき 備 そな 一 いち 次元 じげん 空間 くうかん 上 じょう 代数 だいすう 対 たい 通常 つうじょう 複素数 ふくそすう 負 ふ 定値 ていち 二 に 次 じ 形式 けいしき 備 そな 一 いち 次元 じげん 空間 くうかん 上 じょう 代数 だいすう [注釈 ちゅうしゃく 枠組 わくぐ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう クリフォード代数 だいすう Cℓ 1,0 ℝ ) = Cℓ 0 ℝ )元 もと 実数 じっすう 同様 どうよう 拡張 かくちょう 複素数 ふくそすう ℂ ≔ Cℓ 0,1 ℝ ) = Cℓ 0 ℝ )定義 ていぎ
分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 行列 ぎょうれつ 用 もち 簡単 かんたん 表示 ひょうじ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう z = x + jy 対応 たいおう
z
↦
(
x
y
y
x
)
{\displaystyle z\mapsto {\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}}
により行列 ぎょうれつ 表示 ひょうじ 分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 加法 かほう 乗法 じょうほう 行列 ぎょうれつ 加法 かほう 乗法 じょうほう 与 あた z の絶対 ぜったい 値 ち 対応 たいおう 行列 ぎょうれつ 行列 ぎょうれつ 式 しき 値 ね 得 え 分解 ぶんかい 型 がた 複素 ふくそ 共軛 きょうやく 両側 りょうがわ 次 つぎ 行列 ぎょうれつ
C
=
(
1
0
0
−
1
)
{\displaystyle C={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
を掛 か 対応 たいおう 任意 にんい 実数 じっすう a に対 たい 双 そう 曲 きょく 角 かく a の双 そう 曲 きょく 的 てき 回転 かいてん 行列 ぎょうれつ
(
cosh
a
sinh
a
sinh
a
cosh
a
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}}
を掛 か 対応 たいおう 分解 ぶんかい 型 がた 複素 ふくそ 平面 へいめん 対 たい 角 かく 基底 きてい z = x + jy 順序 じゅんじょ 対 たい (x , y ) で表 あらわ 写像 しゃぞう
(
u
,
v
)
=
(
x
,
y
)
(
1
1
1
−
1
)
{\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}
を作 つく 想起 そうき 二 に 次 じ 形式 けいしき uv = (x + y )(x − y ) = x 2 − y 2 得 え
(
cosh
a
,
sinh
a
)
(
1
1
1
−
1
)
=
(
e
a
,
e
−
a
)
{\displaystyle (\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(e^{a},e^{-a})}
だから、2つのパラメータ付 つ （英語 えいご 版 ばん 双曲線 そうきょくせん 互 たが 他方 たほう 写 うつ ebj の作用 さよう 従 したが 線型 せんけい 変換 へんかん
(
u
,
v
)
↦
(
r
u
,
v
/
r
)
(
r
=
e
b
)
{\displaystyle (u,v)\mapsto (ru,v/r)\qquad (r=e^{b})}
のもとで縮小 しゅくしょう 写像 しゃぞう 対応 たいおう
この対応 たいおう A = B = ℝ 1,1 C = D = ℝ 2 f を双 そう 曲 きょく 作用 さよう g, h を行列 ぎょうれつ 線型 せんけい 変換 へんかん k を縮小 しゅくしょう 写像 しゃぞう 可 か 換 かわ 図式 ずしき
を満足 まんぞく
分解 ぶんかい 型 がた 複素数 ふくそすう 高 こう 次元 じげん 版 ばん ケーリー＝ディクソン構成 こうせい を修正 しゅうせい 得 え
包絡 ほうらく 環 たまき 数 かず 目録 もくろく 関 かん
^ これらが冪 べき 等 とう e⋅e = e e*⋅e* = e* 満 み
^ 加法 かほう 乗法 じょうほう 成分 せいぶん 定義 ていぎ ^ 注意 ちゅうい 著者 ちょしゃ 代数 だいすう 符号 ふごう 逆 ぎゃく 場合 ばあい 正 せい 定値 ていち 負 ふ 定値 ていち 入 い 替 か 読 よ 必要 ひつよう
Benz, W. (1973), uber Geometrie der Algebren , Springer William Kingdon Clifford (1882), Mathematical Works , edited by A.W.Tucker Cockle, J. (1848), “A New Imaginary in Algebra”, London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine 33 (3): 345-349 De Boer, R. (1987), “An also known as list for perplex numbers”, American Journal of Physics 55 (4): 296 Fjelstadt, P. (1986), “Extending Special Relativity with Perplex Numbers”, American Journal of Physics 54 : 416 Hucks, J. (1993), “Hyperbolic Complex Structures in Physics”, Journal of Mathematical Physics 34 : 5986 F. Reese Harvey (1990), Spinors and calibrations , San Diego: Academic Press, ISBN 0-12-329650-1 不定 ふてい 符号 ふごう 数 すう 代数 だいすう 数 すう 関 かん 記述 きじゅつ 含 ふく Louis Kauffman (1985), “Transformations in Special Relativity”, International Journal of Theoretical Physics 24 : 223-236 Rosenfeld, B. (1997), Geometry of Lie Groups , Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-4390-5 Sobczyk, G. (1995) (PDF), Hyperbolic Number Plane , http://www.garretstar.com/HYP2.PDF Vignaux, J. (1935), “Sobre el numero complejo hiperbolico y su relacion con la geometria de Borel” (Spanish), Contribucion al Estudio de las Ciencias Fisicas y Matematicas (Universidad Nacional de la Plata , Republica Argentina ) Isaak Yaglom (1968), Complex Numbers in Geometry , translated by E. Primrose from 1963 Russian original, N.Y.: Academic Press
出典 しゅってん 列挙 れっきょ 脚注 きゃくちゅう 用 もち どの記述 きじゅつ 情報 じょうほう 源 げん 明記 めいき してください。記事 きじ 信頼 しんらい 性 せい 向上 こうじょう 協力 きょうりょく 願 ねが （2017年 ねん ）
C. Musès, Applied hypernumbers: Computational concepts, Appl. Math. Comput. 3 (1977) 211–226.
C. Musès, Hypernumbers II—Further concepts and computational applications, Appl. Math. Comput. 4 (1978) 45–66.
K. Carmody, Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions, Appl. Math. Comput. 28:47–72 (1988)
K. Carmody, Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions— further results, Appl. Math. Comput. 84:27–48 (1997) 
![{\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29edbdd7a09968cb2fd42397bcab00406e77854c)
