四よん次じ方程式ほうていしき

四よん次じ方程式ほうていしき（よじほうていしき、quartic equation）とは、次数じすうが 4 である代数だいすう方程式ほうていしきのことである。この項目こうもくでは主おもに一変いっぺん数すうの四よん次じ方程式ほうていしきを扱あつかう。

概要がいよう

一変いっぺん数すうの四よん次じ方程式ほうていしきは

a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (a 4 \neq 0)

の形かたちで表現ひょうげんされる。 $a 4$ で割わり

x 4 + A 3 x 3 + A 2 x 2 + A 1 x + A 0 = 0

(

A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{4}}}

)

の形かたちにしても解かいは変かわらないのでこの形かたちで論ろんじられることが多おおい。

一般いっぱん的てきな四よん次じ方程式ほうていしきの解法かいほうは、ジェロラモ・カルダーノの弟子でしであるルドヴィコ・フェラーリによって発見はっけんされ、カルダノの著書ちょしょ『アルス・マグナ』で概要がいようが述のべられた。カルダノは $x, x 2, x 3$ をそれぞれ、線分せんぶんの長ながさ、一辺いっぺんの長ながさが $x$ の正方形せいほうけいの面積めんせき、一辺いっぺんの長ながさが $x$ の立方体りっぽうたいの体積たいせきと対応たいおうさせてとらえ、4次じ以上いじょうの方程式ほうていしきには意味いみがないと考かんがえていたため、三さん次じ方程式ほうていしきと違ちがって詳細しょうさいには述のべられていない。

しかし、カルダノの死後しご、ルネ・デカルトは著書ちょしょ『方法ほうほう序説じょせつ』の試論しろんの一ひとつである『幾何きか学がく』において定規じょうぎとコンパスによる作図さくずを論ろんじ、長ながさ $x$ の線分せんぶん、長ながさ $y$ の線分せんぶん、長ながさ $1$ の線分せんぶんから長ながさ $x y$ の線分せんぶんが得えられることを示しめしている。これによると、長ながさ $x$ の線分せんぶんと長ながさ $1$ の線分せんぶんから長ながさ $x n$ （ $n$ は任意にんいの自然しぜん数すう）の線分せんぶんの作図さくずが可能かのうであることが分わかるため 4 次じ以上いじょうの方程式ほうていしきを解とくことにも幾何きか学がく的てきな意味いみを与あたえることは可能かのうであり、カルダノの捉とらえ方かたは不十分ふじゅうぶんであったことが分わかる。

その後ご、四よん次じ方程式ほうていしきは三さん次じ方程式ほうていしきと同様どうように様々さまざまな解法かいほうが発見はっけんされ、五ご次じ方程式ほうていしきの代数だいすう的てき解法かいほうの探索たんさくと合あわせて詳細しょうさいな研究けんきゅうが進すすめられた。

複ふく二に次じ式しき

四よん次じ方程式ほうていしきの内うち奇数きすう次じの項こうが無ない

a 4 x 4 + a 2 x 2 + a 0 = 0 (a 4 \neq 0)

の形かたちの式しきは $x 2$ を変数へんすうとする二に次じ方程式ほうていしきと見みることができ、複ふく二に次じ方程式ほうていしき (biquadratic equation)、左辺さへんは複ふく二に次じ式しきと呼よばれる。二に次じ方程式ほうていしきの解法かいほうを知しっていれば簡単かんたんに解とくことができる。

$y = x 2$ と変換へんかんすることで $y$ に関かんする二に次じ方程式ほうていしき

a 4 y 2 + a 2 y + a 0 = 0

を得えることができ、この二に次じ方程式ほうていしきを解とくことによって解かいを求もとめられる。

また、実数じっすうを係数けいすうとする複ふく二に次じ式しき

x 4 + A 2 x 2 + A 0

に対たいして、次つぎのような二に次じ式しきの積せきへの因数いんすう分解ぶんかいもよく行おこなわれる。 $x 2$ の二に次じ方程式ほうていしきとみたときの判別はんべつ式しき

D = A 22 - 4 A 0

の符号ふごうによって

$D > 0$ であれば $x 2$ について平方へいほう完成かんせいすることにより

x^{4}+A_{2}x^{2}+A_{0}=\left(x^{2}+{A_{2} \over 2}\right)^{2}-{\frac {{A_{2}}^{2}-4A_{0}}{4}}

$D < 0$ であれば $A 0 > 0$ であることに注意ちゅういして

x^{4}+A_{2}x^{2}+A_{0}=\left(x^{2}+{\sqrt {A_{0}}}\right)^{2}-\left(2{\sqrt {A_{0}}}-A_{2}\right)x^{2}

と変形へんけいすれば、いずれの場合ばあいも因数いんすう分解ぶんかいの公式こうしき

α あるふぁ 2 - β べーた 2 = (α あるふぁ + β べーた) (α あるふぁ - β べーた)

を利用りようして実数じっすうを係数けいすうとする二に次じ式しきの積せきに因数いんすう分解ぶんかいできる。

解かいの様子ようす

四よん次じ方程式ほうていしきは、代数だいすう学がくの基本きほん定理ていりより、高々たかだか4個この複素数ふくそすう解かいを持もつ。

四よん次じ方程式ほうていしき $ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0$ の判別はんべつ式しきは

{\begin{aligned}\Delta =\;&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&\ +144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&\ -4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}

によって与あたえられ、係数けいすうによって定さだまる以下いかの4個この定数ていすうによってさらに詳細しょうさいな情報じょうほうが得えられる。

{\begin{aligned}P&=8ac-3b^{2}\\R&=b^{3}+8a^{2}d-4abc\\\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\D&=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}\end{aligned}}

$Δ でるた, P, R, Δ でるた 0, D$ に関かんして、以下いかの事実じじつが成立せいりつする^[1]。

$Δ でるた < 0$ のとき、異ことなる2個この実数じっすう解かいと1組くみの共役きょうやく複素数ふくそすう解かいを持もつ。
Δでるた > 0 のとき、
1. $P < 0$ かつ $D < 0$ ならば、相そう異ことなる4個この実数じっすう解かいを持もつ。
2. $P > 0$ または $D > 0$ ならば、2組くみの共役きょうやく複素数ふくそすう解かいを持もつ。
Δでるた = 0 のときにのみ、方程式ほうていしきは重じゅう解かいを持もち、
1. $P < 0$ かつ $D < 0$ かつ $Δ でるた 0 \neq 0$ ならば、1個いっこの実数じっすう二に重じゅう解かいと、異ことなる2個この重複じゅうふく度ど 1 の実数じっすう解かいを持もつ。
2. $D > 0$ または（ $P < 0$ かつ（ $D, R$ のどちらかが0でない））ならば、1個いっこの実数じっすう二に重じゅう解かいと、1組くみの共役きょうやく複素数ふくそすう解かいを持もつ。
3. $Δ でるた 0 = 0$ かつ $D \neq 0$ ならば、1個いっこの実数じっすう三さん重じゅう解かいと、1個いっこの重複じゅうふく度ど 1 の実数じっすう解かいを持もつ。
4. D = 0 のとき、
  1. $P < 0$ ならば、異ことなる 2個この実数じっすう二に重じゅう解かいを持もつ。
  2. $P < 0$ かつ $R = 0$ ならば、1組くみの共役きょうやく複素数ふくそすうである、異ことなる 2個この虚数きょすう二に重じゅう解かいを持もつ。
  3. $Δ でるた 0 = 0$ ならば、 $−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}b/4a$ を実数じっすう四よん重じゅう解かいとして持もつ。

以上いじょうには、例たとえば $Δ でるた > 0$ かつ $P \cdot D < 0$ である場合ばあいなどが記しるされていない。しかし、このような組くみ合あわせは実際じっさいには存在そんざいしない。

フェラーリの解法かいほう

フェラーリの解法かいほうは、一般いっぱん的てきな四よん次じ方程式ほうていしきの解法かいほうのうちで最初さいしょに与あたえられた解法かいほうである。四よん次じ方程式ほうていしき

a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (a 4 \neq 0)

を $a 4$ で割わり

x 4 + A 3 x 3 + A 2 x 2 + A 1 x + A 0 = 0

の形かたちにする。( $A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{4}}}$ )

B_{3}:={\frac {A_{3}}{4}}

とし

x = y - B 3

によって変数へんすう変換へんかんを行おこなうと

y 4 + (A 2 - 6 B 32) y 2 + (A 1 - 2 A 2 B 3 + 8 B 33) y + (A 0 - A 1 B 3 + A 2 B 32 - 3 B 34) = 0

となり、3次じの項こうが消きえた方程式ほうていしきが得えられる。見みやすいように

y 4 + p y 2 + q y + r = 0

と書かく。 $q = 0$ の時ときは、複ふく二に次じ式しきとして解とけばよいので、以後いごは $q \neq 0$ とする。

媒介ばいかい変数へんすう $u \neq 0$ を用もちい

\left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)^{2}-u\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)^{2}=0

と変形へんけいする。ここで上うえ式しきを展開てんかいし係数けいすうを比較ひかくすると、 $u$ の三さん次じ方程式ほうていしき

u (p + u) 2 - 4 r u = q 2

が得えられる。このような補助ほじょ的てきな方程式ほうていしきを、与あたえられた四よん次じ方程式ほうていしきに関かんする三さん次じ分解ぶんかい方程式ほうていしき(resolvent cubic equation) という。 $q \neq 0$ なので、この分解ぶんかい方程式ほうていしきの解かいは $u \neq 0$ を満みたしており、この解かいの一ひとつを $u$ として取とる。また、求もとめる四よん次じ方程式ほうていしきは

\left\{\left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)+{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)\right\}\left\{\left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)-{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)\right\}=0

となり、この2つの二に次じ方程式ほうていしきから、四よん次じ方程式ほうていしきの解かいを求もとめることができる。

デカルトの方法ほうほう

デカルトは、著書ちょしょ『方法ほうほう序説じょせつ』の試論しろんの一ひとつである『幾何きか学がく』において四よん次じ方程式ほうていしき

y 4 + p y 2 + q y + r = 0

を解とくために、二に次じ式しきによる因数いんすう分解ぶんかい

y 4 + p y 2 + q y + r = (y 2 + c 1 y + c 0) (y 2 + d 1 y + d 0)

を仮定かていした方法ほうほうを奨すすめた。係数けいすうを比較ひかくすると

c 1 + d 1 = 0

c 0 + d 0 + c 1 d 1 = p

c 1 d 0 + c 0 d 1 = q

c 0 d 0 = r

が得えられる。上うえの 3 つの式しきから

d 1 = - c 1

2 c 0 c 1 = c 13 + p c 1 - q

2 d 0 c 1 = c 13 + p c 1 + q

が得えられる。

4 c 12 r = 4 c 12 c 0 d 0 = (2 c 0 c 1)(2 d 0 c 1) = (c 13 + p c 1 - q)(c 13 + p c 1 + q)

であるから

c 12 (c 12 + p) 2 - q 2 = 4 c 12 r

という、 $c 1$ に関かんする六ろく次じ方程式ほうていしきが得えられる。偶数ぐうすう次じの項こうしか無ないので $u = c 12$ とでもおけば

u (u + p) 2 - q 2 = 4 r u

という $u$ に関かんする三さん次じ方程式ほうていしきが得えられる。この方程式ほうていしきは、フェラーリの方法ほうほうで得えたのと同おなじ三さん次じ分解ぶんかい方程式ほうていしきであり、これを解とくことによって、元もとの方程式ほうていしきの解かいが得えられる。

オイラーの方法ほうほう

レオンハルト・オイラーは、三さん次じ方程式ほうていしきや四よん次じ方程式ほうていしきの解法かいほうをいくつか発見はっけんした。ここに述のべる方法ほうほうもオイラーの方法ほうほうと呼よばれる解法かいほうの一ひとつである。

(x + a + b + c) (x + a - b - c) (x - a + b - c) (x - a - b + c)

= {(x + a) 2 - (b + c) 2}{(x - a) 2 - (b - c) 2}

= (x 2 - a 2) 2 + (b 2 - c 2) 2 - (x + a) 2 (b - c) 2 - (x - a) 2 (b + c) 2

= x 4 + a 4 + b 4 + c 4 - 2 (x 2 a 2 + x 2 b 2 + x 2 c 2 + a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2) + 8 x a b c

= x 4 - 2 (a 2 + b 2 + c 2) x 2 + 8 a b c x + a 4 + b 4 + c 4 - 2 (a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2)

という等式とうしきを用もちいると、 $x$ を未知数みちすうとする四よん次じ方程式ほうていしき

x 4 - 2 (a 2 + b 2 + c 2) x 2 + 8 a b c x + a 4 + b 4 + c 4 - 2 (a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2) = 0

の4個この解かいは

- a - b - c, - a + b + c, a - b + c, a + b - c

であることが分わかる。

この方程式ほうていしきと、3 次じの項こうの消きえた四よん次じ方程式ほうていしき

x 4 + p x 2 + q x + r = 0

の係数けいすうを比くらべ、 $p, q, r$ から $a, b, c$ を求もとめることができれば、3 次じの項こうの消きえた四よん次じ方程式ほうていしきの解かいは上うえにあるように 4 つ求もとまる。

実際じっさいに係数けいすうを比くらべてみれば

p = - 2 (a 2 + b 2 + c 2)

q = 8 a b c

r = a 4 + b 4 + c 4 - 2 (a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2) = (a 2 + b 2 + c 2) 2 - 4 (a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2)

ここで $f 0 = (2 a) 2$ , $f 1 = (2 b) 2$ , $f 2 = (2 c) 2$ とおけば

f 0 + f 1 + f 2 = -2 p

f 0 f 1 + f 1 f 2 + f 2 f 0 = p 2 - 4 r

f 0 f 1 f 2 = q 2

となり、根ねと係数けいすうの関係かんけいにより $f 0, f 1, f 2$ は三さん次じ方程式ほうていしき

u 3 + 2 p u 2 + (p 2 - 4 r) u - q 2 = 0

の解かいであり、これもフェラーリの方法ほうほうに現あらわれた三さん次じ分解ぶんかい方程式ほうていしきである。この三さん次じ方程式ほうていしきを解とくことによって $a, b, c$ が得えられる。

ラグランジュの方法ほうほう

ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは、既すでに知しられていた三さん次じ方程式ほうていしきや四よん次じ方程式ほうていしきの解法かいほうを、いろいろな視点してんから詳くわしく調しらべ上あげた。ここで述のべるのは、ラグランジュによるフェラーリの方法ほうほうの解釈かいしゃくであり、現代げんだい的てきに言いえば対称たいしょう群ぐんを用もちいた方法ほうほうである。

フェラーリの方法ほうほうにおいて、四よん次じ方程式ほうていしきは

y⁴ + p y² + q y + r = 0

の形かたちに変形へんけいされる。この方程式ほうていしきの 4 つの解かいを r₀, r₁, r₂, r₃ とする。三さん次じ分解ぶんかい式しきを解とくことで四よん次じ方程式ほうていしきは、 2 つの二に次じ方程式ほうていしき

y^{2}+{\frac {p+u}{2}}=\pm {\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)

に分解ぶんかいすることができた。

y^{2}+{\frac {p+u}{2}}={\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)

は、元もとの四よん次じ方程式ほうていしきの 4 つの解かいのうちの 2 つを解かいとするが、これをとりあえず r₀, r₁ の 2 つとしたとき、

y^{2}+{\frac {p+u}{2}}=-{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)

の解かいは r₂, r₃ となり、根ねと係数けいすうの関係かんけいから

r_{0}+r_{1}={\sqrt {u}}

r_{2}+r_{3}=-{\sqrt {u}}

したがって

(r₀ + r₁) (r₂ + r₃) = − u

便宜上べんぎじょう

y^{2}+{\frac {p+u}{2}}={\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)

の解かいを r₀, r₁ としたが、解かいの並ならび方かたはいろいろ考かんがえられる。 r_m と r_n を入いれ替かえる互換ごかんを σしぐま_m,n と書かけば、例たとえば

σしぐま_0,1 (r₀ + r₁) (r₂ + r₃) = (r₀ + r₁) (r₂ + r₃)

σしぐま_0,2 (r₀ + r₁) (r₂ + r₃) = (r₂ + r₁) (r₀ + r₃)

など、一般いっぱんには異ことなる値ねを取とることになる。このように調しらべていくと 4 つの解かいの並ならび方かたは 4! = 24 通とおりあるが

(r₀ + r₁) (r₂ + r₃) = − u

の値ねは、最初さいしょの解かいの並ならべ方かたによって

s₀ = (r₀ + r₁) (r₂ + r₃)

s₁ = (r₀ + r₂) (r₁ + r₃)

s₂ = (r₀ + r₃) (r₁ + r₂)

の 3 通とおりとなる。

例たとえば、互換ごかん σしぐま_0,1 を作用さようさせると、

σしぐま_0,1 s₀ = s₀

σしぐま&_0,1 s₁ = s₂

σしぐま_0,1 s₂ = s₁

となる。

一般いっぱんに、互換ごかん σしぐま_m,n は s₀, s₁, s₂ の並ならべ替がえしかしないため s₀, s₁, s₂ に関かんする基本きほん対称たいしょう式しき

s₀ + s₁ + s₂

s₀ s₁ + s₁ s₂ + s₂ s₀

s₀ s₁ s₂

は、互換ごかん σしぐま_m,n によって不変ふへんであり、 r₀, r₁, r₂, r₃ の基本きほん対称たいしょう式しきで書かけることになる。

すなわち s₀, s₁, s₂ の基本きほん対称たいしょう式しきは、最初さいしょに考かんがえた四よん次じ方程式ほうていしきの係数けいすう p, q, r で書かける。

以上いじょうのことから

u = − (r₀ + r₁) (r₂ + r₃)

は、根ねの並ならべ方かたによって 3 つの値ね − s₀, − s₁, − s₂ をとり、これらを解かいとする方程式ほうていしき

(u + s₀) (u + s₁) (u + s₂) = 0

の左辺さへんは u についての多項式たこうしきとして展開てんかいすると、その係数けいすうが p, q, r の多項式たこうしきとして書かける式しきである。この u に関かんする三さん次じ方程式ほうていしきこそ、フェラーリの方法ほうほうで三さん次じ分解ぶんかい方程式ほうていしきとして求もとめられた方程式ほうていしきに他たならない。

このようにしてラグランジュは、四よん次じ方程式ほうていしきを解とくための補助ほじょ方程式ほうていしきである三さん次じ分解ぶんかい方程式ほうていしきの解かいが、元もとの四よん次じ方程式ほうていしきの解かいの多項式たこうしきで書かけることを発見はっけんし、補助ほじょ方程式ほうていしきの次数じすうが三さん次じである理由りゆうを、根ねの置換ちかんという立場たちばからはっきりと示しめした。

このような式しきは他ほかにもあり

t_{0}=\left(r_{0}+r_{1}\right)-\left(r_{2}+r_{3}\right)

t_{1}=\left(r_{0}+r_{2}\right)-\left(r_{1}+r_{3}\right)

t_{2}=\left(r_{0}+r_{3}\right)-\left(r_{1}+r_{2}\right)

とすれば、 ${t_{0}}^{2},{t_{1}}^{2},{t_{2}}^{2}$ を解かいとする三さん次じ方程式ほうていしきで四よん次じ方程式ほうていしきを解とくこともできる。ラグランジュは補助ほじょ方程式ほうていしきの解かいを用もちいて、問題もんだいの方程式ほうていしきの解かいの公式こうしきを表現ひょうげんするのとは逆ぎゃくに、補助ほじょ方程式ほうていしきの解かいを、元もとの方程式ほうていしきの解かいの整式せいしき（あるいは一般いっぱんに有理ゆうり式しき）として書かけることが代数だいすう的てきに解とける理由りゆうと考かんがえ、特とくに

u=r_{0}+ir_{1}-r_{2}-ir_{3}

の形かたちの式しき、さらに一般いっぱんに、 $n$ 次じ方程式ほうていしきであれば 1の原始げんし $n$ 乗の根ね $\zeta _{n}$ を用もちいて

u=\sum _{k=0}^{n-1}{\zeta _{n}}^{k}r_{k}=r_{0}+\zeta _{n}r_{1}+{\zeta _{n}}^{2}r_{2}+\cdots +{\zeta _{n}}^{n-2}r_{n-2}+{\zeta _{n}}^{n-1}r_{n-1}

の形かたちの式しきの性質せいしつを詳くわしく調しらべたが、五ご次じ以上いじょうの代数だいすう方程式ほうていしきの代数だいすう的てき解法かいほうの発見はっけんには至いたらなかった。この形かたちの式しきをラグランジュの分解ぶんかい式しき (Lagrange resolvent) という。五ご次じ以上いじょうの代数だいすう方程式ほうていしきの代数だいすう的てき解法かいほうの存在そんざいについては、パオロ・ルフィニ、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ニールス・アーベルらの研究けんきゅうがアーベル-ルフィニの定理ていりとして結実けつじつし、否定ひていされることになるが、彼かれらの研究けんきゅうは、このようなラグランジュの研究けんきゅうを源流げんりゅうとしている。

解かいの公式こうしき（全文ぜんぶん）

4次じ方程式ほうていしき

a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{4}\neq 0)

の解かいの公式こうしきは以下いかの通とおりである：

{\begin{aligned}x_{1}=&\color {Red}{-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}\\&-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\color {Blue}{{\frac {a_{3}^{2}}{4a_{4}^{2}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a_{4}}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right)}{3a_{4}{\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}}}-{\frac {2a_{2}}{3a_{4}}}}}}\\&-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\color {Green}{{\frac {a_{3}^{2}}{2a_{4}^{2}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a_{4}}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right)}{3a_{4}{\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}}}-{\frac {-{\frac {a_{3}^{3}}{a_{4}^{3}}}+{\frac {4a_{2}a_{3}}{a_{4}^{2}}}-{\frac {8a_{1}}{a_{4}}}}{4{\sqrt {{\frac {a_{3}^{2}}{4a_{4}^{2}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a_{4}}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right)}{3a_{4}{\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}}}-{\frac {2a_{2}}{3a_{4}}}}}}}-{\frac {4a_{2}}{3a_{4}}}}}}\\\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}x_{2}=&\color {Red}{-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}\\&-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\color {Blue}{{\frac {a_{3}^{2}}{4a_{4}^{2}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a_{4}}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right)}{3a_{4}{\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}}}-{\frac {2a_{2}}{3a_{4}}}}}}\\&+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\color {Green}{{\frac {a_{3}^{2}}{2a_{4}^{2}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a_{4}}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right)}{3a_{4}{\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}}}-{\frac {-{\frac {a_{3}^{3}}{a_{4}^{3}}}+{\frac {4a_{2}a_{3}}{a_{4}^{2}}}-{\frac {8a_{1}}{a_{4}}}}{4{\sqrt {{\frac {a_{3}^{2}}{4a_{4}^{2}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a_{4}}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right)}{3a_{4}{\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}}}-{\frac {2a_{2}}{3a_{4}}}}}}}-{\frac {4a_{2}}{3a_{4}}}}}}\\\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}x_{3}=&\color {Red}{-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}\\&+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\color {Blue}{{\frac {a_{3}^{2}}{4a_{4}^{2}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a_{4}}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right)}{3a_{4}{\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}}}-{\frac {2a_{2}}{3a_{4}}}}}}\\&-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\color {Green}{{\frac {a_{3}^{2}}{2a_{4}^{2}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a_{4}}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right)}{3a_{4}{\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}}}+{\frac {-{\frac {a_{3}^{3}}{a_{4}^{3}}}+{\frac {4a_{2}a_{3}}{a_{4}^{2}}}-{\frac {8a_{1}}{a_{4}}}}{4{\sqrt {{\frac {a_{3}^{2}}{4a_{4}^{2}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a_{4}}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right)}{3a_{4}{\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}}}-{\frac {2a_{2}}{3a_{4}}}}}}}-{\frac {4a_{2}}{3a_{4}}}}}}\\\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}x_{4}=&\color {Red}{-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}\\&+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\color {Blue}{{\frac {a_{3}^{2}}{4a_{4}^{2}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a_{4}}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right)}{3a_{4}{\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}}}-{\frac {2a_{2}}{3a_{4}}}}}}\\&+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\color {Green}{{\frac {a_{3}^{2}}{2a_{4}^{2}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a_{4}}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right)}{3a_{4}{\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}}}+{\frac {-{\frac {a_{3}^{3}}{a_{4}^{3}}}+{\frac {4a_{2}a_{3}}{a_{4}^{2}}}-{\frac {8a_{1}}{a_{4}}}}{4{\sqrt {{\frac {a_{3}^{2}}{4a_{4}^{2}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a_{4}}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right)}{3a_{4}{\sqrt[{3}]{2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}+{\sqrt {\left(2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{3}a_{2}-72a_{0}a_{4}a_{2}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}\right){}^{2}-4\left(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\right){}^{3}}}}}}}-{\frac {2a_{2}}{3a_{4}}}}}}}-{\frac {4a_{2}}{3a_{4}}}}}}\\\\\end{aligned}}

式しきの一部いちぶを置おき換かえたことにより簡略かんりゃく化かしたもの

{\begin{aligned}&a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{4}\neq 0)\\\\&x_{1}={\color {Red}{-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}}-{\frac {\sqrt {\color {Blue}{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}{2}}-{\frac {\sqrt {\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{2}}\\&x_{2}={\color {Red}{-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}}+{\frac {\sqrt {\color {Blue}{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}{2}}-{\frac {\sqrt {\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{2}}\\&x_{3}={\color {Red}{-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}}-{\frac {\sqrt {\color {Blue}{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}}}{2}}+{\frac {\sqrt {\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{2}}\\&x_{4}={\color {Red}{-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}}+{\frac {\sqrt {\color {Blue}{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}}}{2}}+{\frac {\sqrt {\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{2}}\\\\&{\begin{array}{|l|}\hline {\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}\rightarrow {\frac {\begin{array}{|c|}\hline 3\\\hline \end{array}}{4{\sqrt {\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}}+{\frac {a_{3}^{2}}{2a_{4}^{2}}}-{\frac {2^{\frac {1}{3}}{\begin{array}{|c|}\hline 5\\\hline \end{array}}}{3{\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}^{\frac {1}{3}}a_{4}}}-{\frac {{\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}^{\frac {1}{3}}}{3\times 2^{\frac {1}{3}}a_{4}}}-{\frac {4a_{2}}{3a_{4}}}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}\rightarrow -{\frac {\begin{array}{|c|}\hline 3\\\hline \end{array}}{4{\sqrt {\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}}+{\frac {a_{3}^{2}}{2a_{4}^{2}}}-{\frac {2^{\frac {1}{3}}{\begin{array}{|c|}\hline 5\\\hline \end{array}}}{3{\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}^{\frac {1}{3}}a_{4}}}-{\frac {{\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}^{\frac {1}{3}}}{3\times 2^{\frac {1}{3}}a_{4}}}-{\frac {4a_{2}}{3a_{4}}}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 3\\\hline \end{array}}\rightarrow -{\frac {a_{3}^{3}}{a_{4}^{3}}}+{\frac {4a_{2}a_{3}}{a_{4}^{2}}}-{\frac {8a_{1}}{a_{4}}}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}\rightarrow {\frac {a_{3}^{2}}{4a_{4}^{2}}}+{\frac {2^{\frac {1}{3}}{\begin{array}{|c|}\hline 5\\\hline \end{array}}}{3{\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}^{\frac {1}{3}}a_{4}}}+{\frac {{\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}^{\frac {1}{3}}}{3\times 2^{\frac {1}{3}}a_{4}}}-{\frac {2a_{2}}{3a_{4}}}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 5\\\hline \end{array}}\rightarrow a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 6\\\hline \end{array}}\rightarrow 2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{2}a_{3}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}-72a_{0}a_{2}a_{4}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 7\\\hline \end{array}}\rightarrow -4{\begin{array}{|c|}\hline 5\\\hline \end{array}}^{3}+{\begin{array}{|c|}\hline 6\\\hline \end{array}}^{2}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}\rightarrow {\begin{array}{|c|}\hline 6\\\hline \end{array}}+{\sqrt {\begin{array}{|c|}\hline 7\\\hline \end{array}}}\\\hline \end{array}}\end{aligned}}

実際じっさいの応おう用例ようれい

地球ちきゅうを扁ひらた球だま回転かいてん楕円だえん体たいとみなしたとき、地ち心しん直交ちょっこう座標ざひょう $(x,y,z)$ から地理ちり座標ざひょう（緯度いど $\varphi$ 、経度けいど $\lambda$ 、高度こうど（楕円だえん体高たいこう） $h$ ）への座標ざひょう換算かんさんを行おこなう際さいに四よん次じ方程式ほうていしきが現あらわれる。
「経緯けいい度ど#地理ちり経緯けいい度どの変換へんかん式しき」も参照さんしょう
（代数だいすう的てきな解かいの公式こうしきが存在そんざいしない）五ご次じ方程式ほうていしきの解かいをレベル5のモジュラー方程式ほうていしきの解かいを利用りようする方法ほうほうにより得えようとするプロセスの途中とちゅうで四よん次じ方程式ほうていしきが現あらわれる^[2]。

ガロア群ぐん

$S 4$ 対称たいしょう群ぐん（位い数すう 24）
$A 4$ 交代こうたい群ぐん（位い数すう 12）
$V 4$ クラインの四よん元げん群ぐん（位い数すう 4）

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

^ Rees, E. L. (1922). “Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation”. The American Mathematical Monthly 29 (2): 51-55. doi:10.2307/2972804. JSTOR 2972804.
^ Charles Hermite (1858). “Sur la résolution de l'équation du cinquième degré”. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 46: 508–515.

外部がいぶリンク

Weisstein, Eric W. "Quartic Equation". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
『四よん次じ方程式ほうていしき』 - コトバンク
四よん次じ方程式ほうていしきの解かい - 高こう精度せいど計算けいさんサイト

[1] Rees, E. L. (1922). “Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation”. The American Mathematical Monthly 29 (2): 51-55. doi:10.2307/2972804. JSTOR 2972804.

[2] Charles Hermite (1858). “Sur la résolution de l'équation du cinquième degré”. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 46: 508–515.

[1]

[2]