四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき (よじほうていしき、quartic equation)とは、次数 じすう が 4 である代数 だいすう 方程式 ほうていしき のことである。この項目 こうもく では主 おも に一変 いっぺん 数 すう の四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき を扱 あつか う。
一変 いっぺん 数 すう の四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき は
a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (a 4 ≠ 0)
の形 かたち で表現 ひょうげん される。a 4 で割 わ り
x 4 + A 3 x 3 + A 2 x 2 + A 1 x + A 0 = 0 (
A
n
=
a
n
a
4
{\displaystyle A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{4}}}}
)
の形 かたち にしても解 かい は変 か わらないのでこの形 かたち で論 ろん じられることが多 おお い。
一般 いっぱん 的 てき な四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき の解法 かいほう は、ジェロラモ・カルダーノ の弟子 でし であるルドヴィコ・フェラーリ によって発見 はっけん され、カルダノの著書 ちょしょ 『アルス・マグナ 』で概要 がいよう が述 の べられた。カルダノは x , x 2 , x 3 をそれぞれ、線分 せんぶん の長 なが さ、一辺 いっぺん の長 なが さが x の正方形 せいほうけい の面積 めんせき 、一辺 いっぺん の長 なが さが x の立方体 りっぽうたい の体積 たいせき と対応 たいおう させてとらえ、4次 じ 以上 いじょう の方程式 ほうていしき には意味 いみ がないと考 かんが えていたため、三 さん 次 じ 方程式 ほうていしき と違 ちが って詳細 しょうさい には述 の べられていない。
しかし、カルダノの死後 しご 、ルネ・デカルト は著書 ちょしょ 『方法 ほうほう 序説 じょせつ 』の試論 しろん の一 ひと つである『幾何 きか 学 がく 』において定規 じょうぎ とコンパスによる作図 さくず を論 ろん じ、長 なが さ x の線分 せんぶん 、長 なが さ y の線分 せんぶん 、長 なが さ 1 の線分 せんぶん から長 なが さ x y の線分 せんぶん が得 え られることを示 しめ している。これによると、長 なが さ x の線分 せんぶん と長 なが さ 1 の線分 せんぶん から長 なが さ xn (n は任意 にんい の自然 しぜん 数 すう )の線分 せんぶん の作図 さくず が可能 かのう であることが分 わ かるため 4 次 じ 以上 いじょう の方程式 ほうていしき を解 と くことにも幾何 きか 学 がく 的 てき な意味 いみ を与 あた えることは可能 かのう であり、カルダノの捉 とら え方 かた は不十分 ふじゅうぶん であったことが分 わ かる。
その後 ご 、四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき は三 さん 次 じ 方程式 ほうていしき と同様 どうよう に様々 さまざま な解法 かいほう が発見 はっけん され、五 ご 次 じ 方程式 ほうていしき の代数 だいすう 的 てき 解法 かいほう の探索 たんさく と合 あ わせて詳細 しょうさい な研究 けんきゅう が進 すす められた。
四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき の内 うち 奇数 きすう 次 じ の項 こう が無 な い
a 4 x 4 + a 2 x 2 + a 0 = 0 (a 4 ≠ 0)
の形 かたち の式 しき は x 2 を変数 へんすう とする二 に 次 じ 方程式 ほうていしき と見 み ることができ、複 ふく 二 に 次 じ 方程式 ほうていしき (biquadratic equation )、左辺 さへん は複 ふく 二 に 次 じ 式 しき と呼 よ ばれる。二 に 次 じ 方程式 ほうていしき の解法 かいほう を知 し っていれば簡単 かんたん に解 と くことができる。
y = x 2 と変換 へんかん することで y に関 かん する二 に 次 じ 方程式 ほうていしき
a 4 y 2 + a 2 y + a 0 = 0
を得 え ることができ、この二 に 次 じ 方程式 ほうていしき を解 と くことによって解 かい を求 もと められる。
また、実数 じっすう を係数 けいすう とする複 ふく 二 に 次 じ 式 しき
x 4 + A 2 x 2 + A 0
に対 たい して、次 つぎ のような二 に 次 じ 式 しき の積 せき への因数 いんすう 分解 ぶんかい もよく行 おこな われる。x 2 の二 に 次 じ 方程式 ほうていしき とみたときの判別 はんべつ 式 しき
D = A 2 2 − 4A 0
の符号 ふごう によって
D > 0 であれば x 2 について平方 へいほう 完成 かんせい することにより
x
4
+
A
2
x
2
+
A
0
=
(
x
2
+
A
2
2
)
2
−
A
2
2
−
4
A
0
4
{\displaystyle x^{4}+A_{2}x^{2}+A_{0}=\left(x^{2}+{A_{2} \over 2}\right)^{2}-{\frac {{A_{2}}^{2}-4A_{0}}{4}}}
D < 0 であれば A 0 > 0 であることに注意 ちゅうい して
x
4
+
A
2
x
2
+
A
0
=
(
x
2
+
A
0
)
2
−
(
2
A
0
−
A
2
)
x
2
{\displaystyle x^{4}+A_{2}x^{2}+A_{0}=\left(x^{2}+{\sqrt {A_{0}}}\right)^{2}-\left(2{\sqrt {A_{0}}}-A_{2}\right)x^{2}}
と変形 へんけい すれば、いずれの場合 ばあい も因数 いんすう 分解 ぶんかい の公式 こうしき
α あるふぁ 2 − β べーた 2 = (α あるふぁ + β べーた ) (α あるふぁ − β べーた )
を利用 りよう して実数 じっすう を係数 けいすう とする二 に 次 じ 式 しき の積 せき に因数 いんすう 分解 ぶんかい できる。
四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき は、代数 だいすう 学 がく の基本 きほん 定理 ていり より、高々 たかだか 4個 こ の複素数 ふくそすう 解 かい を持 も つ。
四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 の判別 はんべつ 式 しき は
Δ でるた
=
256
a
3
e
3
−
192
a
2
b
d
e
2
−
128
a
2
c
2
e
2
+
144
a
2
c
d
2
e
−
27
a
2
d
4
+
144
a
b
2
c
e
2
−
6
a
b
2
d
2
e
−
80
a
b
c
2
d
e
+
18
a
b
c
d
3
+
16
a
c
4
e
−
4
a
c
3
d
2
−
27
b
4
e
2
+
18
b
3
c
d
e
−
4
b
3
d
3
−
4
b
2
c
3
e
+
b
2
c
2
d
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =\;&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&\ +144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&\ -4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}
によって与 あた えられ、係数 けいすう によって定 さだ まる以下 いか の4個 こ の定数 ていすう によってさらに詳細 しょうさい な情報 じょうほう が得 え られる。
P
=
8
a
c
−
3
b
2
R
=
b
3
+
8
a
2
d
−
4
a
b
c
Δ でるた
0
=
c
2
−
3
b
d
+
12
a
e
D
=
64
a
3
e
−
16
a
2
c
2
+
16
a
b
2
c
−
16
a
2
b
d
−
3
b
4
{\displaystyle {\begin{aligned}P&=8ac-3b^{2}\\R&=b^{3}+8a^{2}d-4abc\\\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\D&=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}\end{aligned}}}
Δ でるた , P , R , Δ でるた 0 , D に関 かん して、以下 いか の事実 じじつ が成立 せいりつ する[ 1] 。
Δ でるた < 0 のとき、異 こと なる2個 こ の実数 じっすう 解 かい と1組 くみ の共役 きょうやく 複素数 ふくそすう 解 かい を持 も つ。
Δ でるた > 0 のとき、
P < 0 かつ D < 0 ならば、相 そう 異 こと なる4個 こ の実数 じっすう 解 かい を持 も つ。
P > 0 または D > 0 ならば、2組 くみ の共役 きょうやく 複素数 ふくそすう 解 かい を持 も つ。
Δ でるた = 0 のときにのみ、方程式 ほうていしき は重 じゅう 解 かい を持 も ち、
P < 0 かつ D < 0 かつ Δ でるた 0 ≠ 0 ならば、1個 いっこ の実数 じっすう 二 に 重 じゅう 解 かい と、異 こと なる2個 こ の重複 じゅうふく 度 ど 1 の実数 じっすう 解 かい を持 も つ。
D > 0 または(P < 0 かつ(D , R のどちらかが0でない))ならば、1個 いっこ の実数 じっすう 二 に 重 じゅう 解 かい と、1組 くみ の共役 きょうやく 複素数 ふくそすう 解 かい を持 も つ。
Δ でるた 0 = 0 かつ D ≠ 0 ならば、1個 いっこ の実数 じっすう 三 さん 重 じゅう 解 かい と、1個 いっこ の重複 じゅうふく 度 ど 1 の実数 じっすう 解 かい を持 も つ。
D = 0 のとき、
P < 0 ならば、異 こと なる 2個 こ の実数 じっすう 二 に 重 じゅう 解 かい を持 も つ。
P < 0 かつ R = 0 ならば、1組 くみ の共役 きょうやく 複素数 ふくそすう である、異 こと なる 2個 こ の虚数 きょすう 二 に 重 じゅう 解 かい を持 も つ。
Δ でるた 0 = 0 ならば、−b / 4a を実数 じっすう 四 よん 重 じゅう 解 かい として持 も つ。
以上 いじょう には、例 たと えば Δ でるた > 0 かつ P ·D < 0 である場合 ばあい などが記 しる されていない。しかし、このような組 く み合 あ わせは実際 じっさい には存在 そんざい しない。
フェラーリ の解法 かいほう は、一般 いっぱん 的 てき な四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき の解法 かいほう のうちで最初 さいしょ に与 あた えられた解法 かいほう である。四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき
a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (a 4 ≠ 0)
を a 4 で割 わ り
x 4 + A 3 x 3 + A 2 x 2 + A 1 x + A 0 = 0
の形 かたち にする。(
A
n
=
a
n
a
4
{\displaystyle A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{4}}}}
)
B
3
:=
A
3
4
{\displaystyle B_{3}:={\frac {A_{3}}{4}}}
とし
x = y − B 3
によって変数 へんすう 変換 へんかん を行 おこな うと
y 4 + (A 2 − 6 B 3 2 ) y 2 + (A 1 − 2 A 2 B 3 + 8 B 3 3 ) y + (A 0 − A 1 B 3 + A 2 B 3 2 − 3 B 3 4 ) = 0
となり、3次 じ の項 こう が消 き えた方程式 ほうていしき が得 え られる。見 み やすいように
y 4 + p y 2 + q y + r = 0
と書 か く。q = 0 の時 とき は、複 ふく 二 に 次 じ 式 しき として解 と けばよいので、以後 いご は q ≠ 0 とする。
媒介 ばいかい 変数 へんすう u ≠ 0 を用 もち い
(
y
2
+
p
+
u
2
)
2
−
u
(
y
−
q
2
u
)
2
=
0
{\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)^{2}-u\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)^{2}=0}
と変形 へんけい する。ここで上 うえ 式 しき を展開 てんかい し係数 けいすう を比較 ひかく すると、u の三 さん 次 じ 方程式 ほうていしき
u (p + u )2 − 4 r u = q 2
が得 え られる。このような補助 ほじょ 的 てき な方程式 ほうていしき を、与 あた えられた四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき に関 かん する三 さん 次 じ 分解 ぶんかい 方程式 ほうていしき (resolvent cubic equation ) という。q ≠ 0 なので、この分解 ぶんかい 方程式 ほうていしき の解 かい は u ≠ 0 を満 み たしており、この解 かい の一 ひと つを u として取 と る。また、求 もと める四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき は
{
(
y
2
+
p
+
u
2
)
+
u
(
y
−
q
2
u
)
}
{
(
y
2
+
p
+
u
2
)
−
u
(
y
−
q
2
u
)
}
=
0
{\displaystyle \left\{\left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)+{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)\right\}\left\{\left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)-{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)\right\}=0}
となり、この2つの二 に 次 じ 方程式 ほうていしき から、四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき の解 かい を求 もと めることができる。
デカルト は、著書 ちょしょ 『方法 ほうほう 序説 じょせつ 』の試論 しろん の一 ひと つである『幾何 きか 学 がく 』において四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき
y 4 + p y 2 + q y + r = 0
を解 と くために、二 に 次 じ 式 しき による因数 いんすう 分解 ぶんかい
y 4 + p y 2 + q y + r = (y 2 + c 1 y + c 0 ) (y 2 + d 1 y + d 0 )
を仮定 かてい した方法 ほうほう を奨 すす めた。係数 けいすう を比較 ひかく すると
c 1 + d 1 = 0
c 0 + d 0 + c 1 d 1 = p
c 1 d 0 + c 0 d 1 = q
c 0 d 0 = r
が得 え られる。上 うえ の 3 つの式 しき から
d 1 = − c 1
2 c 0 c 1 = c 1 3 + p c 1 − q
2 d 0 c 1 = c 1 3 + p c 1 + q
が得 え られる。
4 c 1 2 r = 4 c 1 2 c 0 d 0 = (2 c 0 c 1 )(2 d 0 c 1 ) = (c 1 3 + p c 1 − q )(c 1 3 + p c 1 + q )
であるから
c 1 2 ( c 1 2 + p )2 - q 2 = 4 c 1 2 r
という、c 1 に関 かん する六 ろく 次 じ 方程式 ほうていしき が得 え られる。偶数 ぐうすう 次 じ の項 こう しか無 な いので u = c 1 2 とでもおけば
u ( u + p )2 − q 2 = 4 r u
という u に関 かん する三 さん 次 じ 方程式 ほうていしき が得 え られる。この方程式 ほうていしき は、フェラーリの方法 ほうほう で得 え たのと同 おな じ三 さん 次 じ 分解 ぶんかい 方程式 ほうていしき であり、これを解 と くことによって、元 もと の方程式 ほうていしき の解 かい が得 え られる。
レオンハルト・オイラー は、三 さん 次 じ 方程式 ほうていしき や四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき の解法 かいほう をいくつか発見 はっけん した。ここに述 の べる方法 ほうほう もオイラーの方法 ほうほう と呼 よ ばれる解法 かいほう の一 ひと つである。
(x + a + b + c ) (x + a − b − c ) (x − a + b − c ) (x − a − b + c )
= {(x + a )2 − (b + c )2 }{(x − a )2 − (b − c )2 }
= (x 2 − a 2 )2 + (b 2 − c 2 )2 − (x + a )2 (b − c )2 − (x − a )2 (b + c )2
= x 4 + a 4 + b 4 + c 4 − 2 (x 2 a 2 + x 2 b 2 + x 2 c 2 + a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 8 x a b c
= x 4 − 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) x 2 + 8 a b c x + a 4 + b 4 + c 4 − 2 (a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )
という等式 とうしき を用 もち いると、x を未知数 みちすう とする四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき
x 4 − 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) x 2 + 8 a b c x + a 4 + b 4 + c 4 − 2 (a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) = 0
の4個 こ の解 かい は
− a − b − c , − a + b + c , a − b + c , a + b − c
であることが分 わ かる。
この方程式 ほうていしき と、3 次 じ の項 こう の消 き えた四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき
x 4 + p x 2 + q x + r = 0
の係数 けいすう を比 くら べ、p , q , r から a , b , c を求 もと めることができれば、3 次 じ の項 こう の消 き えた四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき の解 かい は上 うえ にあるように 4 つ求 もと まる。
実際 じっさい に係数 けいすう を比 くら べてみれば
p = − 2 (a 2 + b 2 + c 2 )
q = 8 a b c
r = a 4 + b 4 + c 4 − 2 (a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) = (a 2 + b 2 + c 2 )2 − 4 (a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )
ここで f 0 = (2a )2 , f 1 = (2b )2 , f 2 = (2c )2 とおけば
f 0 + f 1 + f 2 = −2p
f 0 f 1 + f 1 f 2 + f 2 f 0 = p 2 − 4 r
f 0 f 1 f 2 = q 2
となり、根 ね と係数 けいすう の関係 かんけい により f 0 , f 1 , f 2 は三 さん 次 じ 方程式 ほうていしき
u 3 + 2 p u 2 + (p 2 − 4 r ) u − q 2 = 0
の解 かい であり、これもフェラーリの方法 ほうほう に現 あらわ れた三 さん 次 じ 分解 ぶんかい 方程式 ほうていしき である。この三 さん 次 じ 方程式 ほうていしき を解 と くことによって a , b , c が得 え られる。
ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ は、既 すで に知 し られていた三 さん 次 じ 方程式 ほうていしき や四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき の解法 かいほう を、いろいろな視点 してん から詳 くわ しく調 しら べ上 あ げた。ここで述 の べるのは、ラグランジュによるフェラーリの方法 ほうほう の解釈 かいしゃく であり、現代 げんだい 的 てき に言 い えば対称 たいしょう 群 ぐん を用 もち いた方法 ほうほう である。
フェラーリの方法 ほうほう において、四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき は
y 4 + p y 2 + q y + r = 0
の形 かたち に変形 へんけい される。この方程式 ほうていしき の 4 つの解 かい を r 0 , r 1 , r 2 , r 3 とする。三 さん 次 じ 分解 ぶんかい 式 しき を解 と くことで四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき は、 2 つの二 に 次 じ 方程式 ほうていしき
y
2
+
p
+
u
2
=
±
u
(
y
−
q
2
u
)
{\displaystyle y^{2}+{\frac {p+u}{2}}=\pm {\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)}
に分解 ぶんかい することができた。
y
2
+
p
+
u
2
=
u
(
y
−
q
2
u
)
{\displaystyle y^{2}+{\frac {p+u}{2}}={\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)}
は、元 もと の四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき の 4 つの解 かい のうちの 2 つを解 かい とするが、これをとりあえず r 0 , r 1 の 2 つとしたとき、
y
2
+
p
+
u
2
=
−
u
(
y
−
q
2
u
)
{\displaystyle y^{2}+{\frac {p+u}{2}}=-{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)}
の解 かい は r 2 , r 3 となり、根 ね と係数 けいすう の関係 かんけい から
r
0
+
r
1
=
u
{\displaystyle r_{0}+r_{1}={\sqrt {u}}}
r
2
+
r
3
=
−
u
{\displaystyle r_{2}+r_{3}=-{\sqrt {u}}}
したがって
(r 0 + r 1 ) (r 2 + r 3 ) = − u
便宜上 べんぎじょう
y
2
+
p
+
u
2
=
u
(
y
−
q
2
u
)
{\displaystyle y^{2}+{\frac {p+u}{2}}={\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)}
の解 かい を r 0 , r 1 としたが、解 かい の並 なら び方 かた はいろいろ考 かんが えられる。 r m と r n を入 い れ替 か える互換 ごかん を σ しぐま m,n と書 か けば、例 たと えば
σ しぐま 0,1 (r 0 + r 1 ) (r 2 + r 3 ) = (r 0 + r 1 ) (r 2 + r 3 )
σ しぐま 0,2 (r 0 + r 1 ) (r 2 + r 3 ) = (r 2 + r 1 ) (r 0 + r 3 )
など、一般 いっぱん には異 こと なる値 ね を取 と ることになる。このように調 しら べていくと 4 つの解 かい の並 なら び方 かた は 4! = 24 通 とお りあるが
(r 0 + r 1 ) (r 2 + r 3 ) = − u
の値 ね は、最初 さいしょ の解 かい の並 なら べ方 かた によって
s 0 = (r 0 + r 1 ) (r 2 + r 3 )
s 1 = (r 0 + r 2 ) (r 1 + r 3 )
s 2 = (r 0 + r 3 ) (r 1 + r 2 )
の 3 通 とお りとなる。
例 たと えば、互換 ごかん σ しぐま 0,1 を作用 さよう させると、
σ しぐま 0,1 s 0 = s 0
σ しぐま &0,1 s 1 = s 2
σ しぐま 0,1 s 2 = s 1
となる。
一般 いっぱん に、互換 ごかん σ しぐま m,n は s 0 , s 1 , s 2 の並 なら べ替 が えしかしないため s 0 , s 1 , s 2 に関 かん する基本 きほん 対称 たいしょう 式 しき
s 0 + s 1 + s 2
s 0 s 1 + s 1 s 2 + s 2 s 0
s 0 s 1 s 2
は、互換 ごかん σ しぐま m,n によって不変 ふへん であり、 r 0 , r 1 , r 2 , r 3 の基本 きほん 対称 たいしょう 式 しき で書 か けることになる。
すなわち s 0 , s 1 , s 2 の基本 きほん 対称 たいしょう 式 しき は、最初 さいしょ に考 かんが えた四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき の係数 けいすう p , q , r で書 か ける。
以上 いじょう のことから
u = − (r 0 + r 1 ) (r 2 + r 3 )
は、根 ね の並 なら べ方 かた によって 3 つの値 ね − s 0 , − s 1 , − s 2 をとり、これらを解 かい とする方程式 ほうていしき
(u + s 0 ) (u + s 1 ) (u + s 2 ) = 0
の左辺 さへん は u についての多項式 たこうしき として展開 てんかい すると、その係数 けいすう が p , q , r の多項式 たこうしき として書 か ける式 しき である。この u に関 かん する三 さん 次 じ 方程式 ほうていしき こそ、フェラーリの方法 ほうほう で三 さん 次 じ 分解 ぶんかい 方程式 ほうていしき として求 もと められた方程式 ほうていしき に他 た ならない。
このようにしてラグランジュは、四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき を解 と くための補助 ほじょ 方程式 ほうていしき である三 さん 次 じ 分解 ぶんかい 方程式 ほうていしき の解 かい が、元 もと の四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき の解 かい の多項式 たこうしき で書 か けることを発見 はっけん し、補助 ほじょ 方程式 ほうていしき の次数 じすう が三 さん 次 じ である理由 りゆう を、根 ね の置換 ちかん という立場 たちば からはっきりと示 しめ した。
このような式 しき は他 ほか にもあり
t
0
=
(
r
0
+
r
1
)
−
(
r
2
+
r
3
)
{\displaystyle t_{0}=\left(r_{0}+r_{1}\right)-\left(r_{2}+r_{3}\right)}
t
1
=
(
r
0
+
r
2
)
−
(
r
1
+
r
3
)
{\displaystyle t_{1}=\left(r_{0}+r_{2}\right)-\left(r_{1}+r_{3}\right)}
t
2
=
(
r
0
+
r
3
)
−
(
r
1
+
r
2
)
{\displaystyle t_{2}=\left(r_{0}+r_{3}\right)-\left(r_{1}+r_{2}\right)}
とすれば、
t
0
2
,
t
1
2
,
t
2
2
{\displaystyle {t_{0}}^{2},{t_{1}}^{2},{t_{2}}^{2}}
を解 かい とする三 さん 次 じ 方程式 ほうていしき で四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき を解 と くこともできる。ラグランジュは補助 ほじょ 方程式 ほうていしき の解 かい を用 もち いて、問題 もんだい の方程式 ほうていしき の解 かい の公式 こうしき を表現 ひょうげん するのとは逆 ぎゃく に、補助 ほじょ 方程式 ほうていしき の解 かい を、元 もと の方程式 ほうていしき の解 かい の整式 せいしき (あるいは一般 いっぱん に有理 ゆうり 式 しき )として書 か けることが代数 だいすう 的 てき に解 と ける理由 りゆう と考 かんが え、特 とく に
u
=
r
0
+
i
r
1
−
r
2
−
i
r
3
{\displaystyle u=r_{0}+ir_{1}-r_{2}-ir_{3}}
の形 かたち の式 しき 、さらに一般 いっぱん に、n 次 じ 方程式 ほうていしき であれば 1の原始 げんし n 乗 の 根 ね
ζ ぜーた
n
{\displaystyle \zeta _{n}}
を用 もち いて
u
=
∑
k
=
0
n
−
1
ζ ぜーた
n
k
r
k
=
r
0
+
ζ ぜーた
n
r
1
+
ζ ぜーた
n
2
r
2
+
⋯
+
ζ ぜーた
n
n
−
2
r
n
−
2
+
ζ ぜーた
n
n
−
1
r
n
−
1
{\displaystyle u=\sum _{k=0}^{n-1}{\zeta _{n}}^{k}r_{k}=r_{0}+\zeta _{n}r_{1}+{\zeta _{n}}^{2}r_{2}+\cdots +{\zeta _{n}}^{n-2}r_{n-2}+{\zeta _{n}}^{n-1}r_{n-1}}
の形 かたち の式 しき の性質 せいしつ を詳 くわ しく調 しら べたが、五 ご 次 じ 以上 いじょう の代数 だいすう 方程式 ほうていしき の代数 だいすう 的 てき 解法 かいほう の発見 はっけん には至 いた らなかった。この形 かたち の式 しき をラグランジュの分解 ぶんかい 式 しき (Lagrange resolvent ) という。
五 ご 次 じ 以上 いじょう の代数 だいすう 方程式 ほうていしき の代数 だいすう 的 てき 解法 かいほう の存在 そんざい については、パオロ・ルフィニ 、オーギュスタン=ルイ・コーシー 、ニールス・アーベル らの研究 けんきゅう がアーベル-ルフィニの定理 ていり として結実 けつじつ し、否定 ひてい されることになるが、彼 かれ らの研究 けんきゅう は、このようなラグランジュの研究 けんきゅう を源流 げんりゅう としている。
地球 ちきゅう を扁 ひらた 球 だま 回転 かいてん 楕円 だえん 体 たい とみなしたとき、地 ち 心 しん 直交 ちょっこう 座標 ざひょう
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
から地理 ちり 座標 ざひょう (緯度 いど
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
、経度 けいど
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
、高度 こうど (楕円 だえん 体高 たいこう )
h
{\displaystyle h}
)への座標 ざひょう 換算 かんさん を行 おこな う際 さい に四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき が現 あらわ れる。
(代数 だいすう 的 てき な解 かい の公式 こうしき が存在 そんざい しない)五 ご 次 じ 方程式 ほうていしき の解 かい をレベル5のモジュラー方程式 ほうていしき の解 かい を利用 りよう する方法 ほうほう により得 え ようとするプロセスの途中 とちゅう で四 よん 次 じ 方程式 ほうていしき が現 あらわ れる[ 2] 。