実数じっすう直線ちょくせん

数学すうがくにおける実数じっすう直線ちょくせん（じっすうちょくせん、英えい: real line, real number line）は、その上うえの各かく点てんが実数じっすうであるような直線ちょくせんである。

つまり、実数じっすう直線ちょくせんとは、すべての実数じっすうからなる集合しゅうごう $R$ を、幾何きか学がく的てきな空間くうかん（具体ぐたい的てきには一いち次元じげんのユークリッド空間くうかん）とみなしたものということである。この空間くうかんはベクトル空間くうかん（またはアフィン空間くうかん）や距離きょり空間くうかん、位相いそう空間くうかん、測度そくど空間くうかんあるいは線型せんけい連続れんぞく体たいとしてみることもできる。

単たんに実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうとしての実数じっすう直線ちょくせんは記号きごう $R$ (あるいは黒板こくばん太字ふとじの ℝ) で表あらわされるのがふつうだが、それが一いち次元じげんのユークリッド空間くうかんであることを強調きょうちょうする意味いみで $R 1$ と書かかれることもある。

本ほん項こうでは $R$ の位相いそう幾何きか学がく的てき、幾何きか学がく的てきあるいは実じつ解析かいせき的てきな側面そくめんに焦点しょうてんを当あてる。もちろん実数じっすうの全体ぜんたいは一ひとつの体からだとして代数だいすう学がくでも重要じゅうような意味いみを持もつが、その文脈ぶんみゃくでの $R$ が直線ちょくせんとして言及げんきゅうされるのは稀まれである。そういった観点かんてんを含ふくめた $R$ の詳細しょうさいは実数じっすうの項こうを参照さんしょうのこと。

線型せんけい連続れんぞく体たい

実数じっすう直線ちょくせんは標準ひょうじゅん的てきな大小だいしょう関係かんけい $<$ による順序じゅんじょに関かんして線型せんけい連続れんぞく体たいである。具体ぐたい的てきに言いえば、実数じっすう直線ちょくせんは大小だいしょう関係かんけい $<$ に関かんして全ぜん順序じゅんじょ集合しゅうごうであり、またこの順序じゅんじょは稠密ちゅうみつで、上限じょうげん性質せいしつを持もつ。

上記じょうきの性質せいしつに加くわえて、実数じっすう直線ちょくせんは最大さいだい元もとも最小さいしょう元もとも持もたない。また、部分ぶぶん集合しゅうごうとして可算かさんで稠密ちゅうみつなもの（要ようするに有理数ゆうりすうの全体ぜんたい）を含ふくむ。可算かさん稠密ちゅうみつ部分ぶぶん集合しゅうごうを持もち、最大さいだい元もとも最小さいしょう元もとも持もたないような任意にんいの線型せんけい連続れんぞく体たいは実数じっすう直線ちょくせんに順序じゅんじょ同型どうけいであるという定理ていりがある。

実数じっすう直線ちょくせんは可算かさん鎖くさり条件じょうけん (ccc):

「

R

における互たがいに交まじわらない空そらでない開ひらき区間くかんからなる任意にんいの族ぞくは可算かさんである」

を満足まんぞくする。順序じゅんじょ集合しゅうごう論ろんにおいてよく知しられるススリンの問題もんだいは「最大さいだい元もとも最小さいしょう元もとも持もたず可算かさん鎖くさり条件じょうけんを満足まんぞくする線型せんけい連続れんぞく体たいは $R$ に順序じゅんじょ同型どうけいでなければならないか」ということを問とうものである。そしてこの問題もんだいの主張しゅちょうは、集合しゅうごう論ろんで標準ひょうじゅん的てきな公理系こうりけいとして用もちいられる ZFC から独立どくりつであることが知しられている。

距離きょり構造こうぞう

実数じっすう直線ちょくせん上じょうの距離きょりは絶対ぜったい差さ（差さの絶対ぜったい値ち）

実数じっすう直線ちょくせんは、差さの絶対ぜったい値ち

d (x, y) = | x - y |

を距離きょりとして距離きょり空間くうかんとなる。 $p \in R$ および $ε いぷしろん > 0$ に対たいして、 $R$ における $p$ を中心ちゅうしんとする $ε いぷしろん$ -球体きゅうたいとは、単たんに開ひらき区間くかん $(p - ε いぷしろん, p + ε いぷしろん)$ のことである。

実数じっすう直線ちょくせんは距離きょり空間くうかんとしていくつか重要じゅうような性質せいしつを持もつ。

実数じっすう直線ちょくせんは（任意にんいの実じつコーシー列れつが収斂しゅうれんするという意味いみで）完備かんび距離きょり空間くうかんである。
実数じっすう直線ちょくせんは弧状こじょう連結れんけつであり、またもっとも単純たんじゅんな測地そくち距離きょり空間くうかんの例れいの一ひとつである。
実数じっすう直線ちょくせんのハウスドルフ次元じげんは 1 に等ひとしい。
実数じっすう直線ちょくせん上じょうの等距離とうきょり変換へんかん群ぐん（ユークリッドの運動うんどう群ぐん $E (1)$ とも呼よばれる）は、 $t$ を適当てきとうな実数じっすうとして $x \mapsto t \pm x$ なる形かたちの函数かんすうすべてからなる。この運動うんどう群ぐんは、加法かほう群ぐんとしての $R$ と位くらい数すう 2 の巡回じゅんかい群ぐんとの半はん直積ちょくせきに同型どうけいであり、一般いっぱん化か二に面体めんてい群ぐんの例れいになっている。

位相いそう的てきな性質せいしつ

実数じっすう直線ちょくせんにただひとつの無限むげん遠とお点てんを加くわえてコンパクト化かできる。

実数じっすう直線ちょくせん上じょうには標準ひょうじゅん的てきに二ふたつの互たがいに同値どうちな方法ほうほうで位相いそうを入いれることができる。一ひとつは、実数じっすう直線ちょくせんが全ぜん順序じゅんじょ集合しゅうごうであることを用もちいて順序じゅんじょ位相いそうを入いれる方法ほうほう。もう一ひとつは先さきに述のべた距離きょりからくる内在ないざい的てきな距離きょり位相いそうを入いれる方法ほうほうである。 $R$ 上うえのこれら二ふたつは全まったく同おなじ位相いそうを定さだめる。位相いそう空間くうかんとしては、実数じっすう直線ちょくせんは開ひらけ区間くかん $(0, 1)$ に同相どうしょうである。

実数じっすう直線ちょくせんは明あきらかに一いち次元じげんの位相いそう多様たよう体たいである。同相どうしょうの違ちがいを除のぞいて、境界きょうかいのない一いち次元じげん多様たよう体たいは二に種類しゅるいしかなく、実数じっすう直線ちょくせん R¹ のほかは円周えんしゅう S¹ である。実数じっすう直線ちょくせんには標準ひょうじゅん的てきな微分びぶん構造こうぞうも入はいるから、可か微分びぶん多様たよう体たいにすることができる（位相いそう空間くうかんとしての構造こうぞうの上うえに乗のる微分びぶん構造こうぞうは微分びぶん同相どうしょうの違ちがいを除のぞいて一ひとつしかない）。

実数じっすう直線ちょくせんは局所きょくしょコンパクトかつパラコンパクトであり、また第だい二に可算かさんかつ正規せいき空間くうかんである。また弧状こじょう連結れんけつであり、従したがって連結れんけつである一方いっぽうで、任意にんいの一いち点てんを取とり除のぞくだけで不ふ連結れんけつにすることができる。また実数じっすう直線ちょくせんは可か縮ちぢみであり、そのホモトピー群ぐんおよび簡約かんやくホモロジー群ぐんはすべて零れいとなる。

局所きょくしょコンパクト空間くうかんとしての実数じっすう直線ちょくせんはいくつかの方法ほうほうでコンパクト化かすることができる。 $R$ の一いち点てんコンパクト化かは円周えんしゅう（実じつ射影しゃえい直線ちょくせん）であり、付つけ加くわえられた点てんは符号ふごうなしの無限むげん大だいと考かんがえることができる。別べつな方法ほうほうで、実数じっすう直線ちょくせんに二ふたつの端点たんてんを付つけ加くわえて得えられる端はしコンパクト化かは拡大かくだい実数じっすう直線ちょくせん $[-\infty, +\infty]$ と呼よばれる。他ほかにも、実数じっすう直線ちょくせんに無限むげん個この点てんを付つけ加くわえるストーン-チェックコンパクト化かなどがある。

文脈ぶんみゃくによっては実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう上じょうに標準ひょうじゅんと異ことなる位相いそう（例たとえば下しも極限きょくげん位相いそうやザリスキー位相いそう）を入いれるほうが有効ゆうこうであることもある。R に対たいするザリスキー位相いそうは有限ゆうげん補ほ位相いそうと同おなじになる。

線型せんけい構造こうぞう

実数じっすう直線ちょくせんは、実数じっすう全体ぜんたいの成なす体からだ $R$ （つまり自分じぶん自身じしん）の上うえの一いち次元じげんベクトル空間くうかんである。このベクトル空間くうかんは標準ひょうじゅん内積ないせきを持もち、ユークリッド空間くうかんの構造こうぞうを示しめす（ここでいう内積ないせきは単たんに実数じっすうの通常つうじょうの乗法じょうほうのことである）。 $R$ 上うえの標準ひょうじゅんノルムは絶対ぜったい値ちに他たならない。

測度そくど空間くうかんとしての性質せいしつ

実数じっすう直線ちょくせんにはルベーグ測度そくどという標準ひょうじゅん的てきな測度そくどを入いれることができる。ルベーグ測度そくどは $R$ 上うえのボレル測度そくど（区間くかんの測度そくどは区間くかんの長ながさであるものとして定さだめられる測度そくど）の完備かんび化かとして定義ていぎすることができる。

実数じっすう直線ちょくせん上じょうのルベーグ測度そくどは局所きょくしょコンパクト群ぐん上うえのハール測度そくどのもっとも簡単かんたんな例れいのひとつである。

参考さんこう文献ぶんけん

Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2
Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.