ポール・ハルモス

ポール・ハルモス
ポール・ハルモス
生誕せいたん	1916年ねん3月3日にち; オーストリア＝ハンガリー帝国ていこく; ハンガリー王国おうこく、ブダペスト
死没しぼつ	2006年ねん10月2日にち（90歳さい没ぼつ）; アメリカ合衆国あめりかがっしゅうこく; カリフォルニア州しゅうロスガトス
国籍こくせき	ハンガリー系けいアメリカ人じん
研究けんきゅう分野ぶんや	数学すうがく
研究けんきゅう機関きかん	シラキュース大学だいがく; シカゴ大学だいがく; ミシガン大学だいがく; インディアナ大学だいがく; サンタクララ大学だいがく
出身しゅっしん校こう	プリンストン高等こうとう研究所けんきゅうじょ; イリノイ大学だいがく
博士はかせ課程かてい; 指導しどう教員きょういん	ジョゼフ・L・ドゥーブ
博士はかせ課程かてい; 指導しどう学生がくせい	Errett Bishop; H. Arlen Brown; Bernard Galler; Don Hadwin; Eric Nordgren; Herman Rubin; Donald Sarason; V. S. Sunder
主おもな受賞じゅしょう歴れき	ショーヴネ賞しょう (1947); Lester R. Ford Award (1971, 1977); スティール賞しょう (1983)
	プロジェクト:人物じんぶつ伝でん
	テンプレートを表示ひょうじ

ポール・リチャード・ハルモス（英語えいご: Paul Richard Halmos、ハンガリー語ご: Halmos Pál、1916年ねん 3月3日にち - 2006年ねん 10月2日にち）はユダヤ系けいハンガリー人じんとして生うまれたアメリカの数学すうがく者しゃ。数理すうり論ろん理学りがく、確率かくりつ論ろん、統計とうけい学がく、作用素さようそ論ろん、エルゴード理論りろん、関数かんすう解析かいせき学がく（特とくにヒルベルト空間くうかん論ろん）に基礎きそ的てきな貢献こうけんをした。また数学すうがくを見事みごとに伝つたえることのできる数学すうがく者しゃ(great mathematical expositor)として広ひろく認みとめられている。

生おい立たちと教育きょういく

13歳さいのときにアメリカに移民いみんしたが、生涯しょうがいハンガリー語ごのアクセントがあった。学士がくし位い(B.A.)をイリノイ大学だいがくアーバナ・シャンペーン校こうから得える。数学すうがく専攻せんこうであったが数学すうがくと哲学てつがく双方そうほうの学位がくい取得しゅとく条件じょうけんを満みたしていた。わずか3年ねんで学位がくいを得えたため、卒業そつぎょうしたときはまだ19歳さいであった。その後ご同どう大学だいがくに留とまり哲学てつがくの博士はかせ課程かていに進すすんだ。しかし、修士しゅうし課程かていの口頭こうとう試験しけんに不ふ合格ごうかくになり^[1] 、専攻せんこうを数学すうがくに変かえ1938年ねんに卒業そつぎょうした。指導しどう教官きょうかんはジョゼフ・L・ドゥーブ、博士はかせ論文ろんぶんの題だいは"Invariants of certain stochastic transformations: The mathematical theory of gambling systems"（ある種しゅの確かく率りつ的てき変換へんかんの不ふ変量へんりょう：ギャンブルのシステムの数学すうがく的てき理論りろん）であった^[2]。

経歴けいれき

卒業そつぎょう後ごすぐに職しょくも助成じょせい金きんも得えられないままプリンストン高等こうとう研究所けんきゅうじょに異動いどうする。半年はんとし後ご、ジョン・フォン・ノイマンの下したで働はたらくことになるが、これはハルモスにとって決定的けっていてきな経験けいけんとなった。高等こうとう研究所けんきゅうじょに所属しょぞくしている間あいだにハルモスは初はつの著書ちょしょ"Finite-Dimensional Vector Spaces"を著あらわす。これによりすぐに彼かれは数学すうがくの優すぐれた解説かいせつ者しゃとしての評判ひょうばんを確固かっこたるものとした^[3]。

ハルモスはシラキュース大学だいがく、シカゴ大学だいがく(1946–60)、ミシガン大学だいがく(〜1961–67)、カリフォルニア大学だいがくサンタバーバラ校こう (1976–78)、ハワイ大学はわいだいがくシステム、インディアナ大学だいがくで数学すうがくを教おしえた。 1985年ねんインディアナ大学だいがくから引退いんたいの後のちは死去しきょまで所属しょぞくはサンタクララ大学だいがくの数学すうがく科かにあった。

業績ぎょうせき

1962年ねんの著書ちょしょ"Algebraic Logic"にリプリントされている一連いちれんの論文ろんぶんでハルモスはpolyadic algebraを提案ていあんした。polyadic algebraは一いち階かい述語じゅつご論理ろんりの代数だいすう版ばんであり、よりよく知しられているアルフレト・タルスキとその弟子でし達たちによるCylindric algebraとは異ことなる。polyadic algebraの初等しょとう的てきなものは記事きじmonadic Boolean algebraで説明せつめいされている。

研究けんきゅうによるオリジナルな貢献こうけんに加くわえ、ハルモスは説明せつめいが非常ひじょうに明快めいかいで人ひとをひきつける大学だいがくレベルの数学すうがくの教科書きょうかしょを書かいたことで知しられる。レスター・R・フォード賞しょう（英語えいご版ばん）^{[注釈ちゅうしゃく 1]}を1971年ねん^[4]さらに再ふたたび1977年ねん(W. P. Ziemer, W. H. Wheeler, S. H. Moolgavkar, J. H. Ewing, W. H. Gustafsonと共同きょうどうで)受賞じゅしょうしている^[5]。1973年ねんに出版しゅっぱんされた学術がくじゅつレベルでの数学すうがくに関かんするAMSスタイルガイドを著あらわしたアメリカ数すう学会がっかい(AMS)の委員いいん会かいでハルモスは議長ぎちょうをつとめた。1983年ねんには数学すうがくの優すぐれた解説かいせつ、説明せつめい的てきな著述ちょじゅつに対たいしあたえられるAMSのSteele Prize for Mathematical Expositionを受賞じゅしょうしている。

『アメリカン・サイエンティスト』56(4): 375–389でハルモスは数学すうがくは創造そうぞう的てきな芸術げいじゅつであり、数学すうがく者しゃは数かずをいじる職業しょくぎょう(number cruncher)ではなく芸術げいじゅつ家かと捉とらえられるべきだと議論ぎろんしている。彼かれは数学すうがくをmathologyとmathophysicsに分わけて考かんがえるべきだと主張しゅちょうし、更さらに数学すうがく者しゃと画家がかの考かんがえ方かたや仕事しごとの仕方しかたはよく似通にかよっていると議論ぎろんしている。

1985年ねんの著書ちょしょである"automathography"（数学すうがく的てき自伝じでん。数学すうがくmathと自伝じでんautobiographyをもとにした造語ぞうご）"I Want to Be a Mathematician"では20世紀せいきの数学すうがく者しゃとして生いきるとはどういうことであるかについて書かかれている。ハルモスがこの本ほんを自伝じでんautobiographyでなくautomathographyと呼よんだのは、本ほんの中心ちゅうしんが私的してき生活せいかつではなく数学すうがく者しゃとしての人生じんせいであるからである。この本ほんにはハルモスにとって数学すうがくをするとはどういうことであったかを示しめす次つぎの言葉ことばがある^[6]。

ただ漫然まんぜんと読よむだけではいけない；闘たたかうのだ！自みずから問といを発はっし、自みずから例れいを探さがし、自みずから証明しょうめいを発見はっけんせよ。仮定かていは必要ひつようか？逆ぎゃくは真しんか？古典こてん的てきで特別とくべつな場合ばあいはどうか？縮退しゅくたいしている場合ばあいはどうか？証明しょうめいのどこに仮定かていが使つかわれているだろうか？
(原文げんぶん: Don't just read it; fight it! Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary? Is the converse true? What happens in the classical special case? What about the degenerate cases? Where does the proof use the hypothesis?)

（数学すうがく者しゃになるには）何なにが必要ひつようだろうか? 私わたしは答こたえを知しっているように思おもう。生来せいらいの資質ししつは必要ひつようだ。常つねに完璧かんぺきを目指めざすよう心掛こころがけなければならない。数学すうがくをそれ以外いがいの何なににもまして愛あいさねばならない。休やすむことなく努力どりょくし、そして決けっして諦あきらめてはならない。
原文げんぶん：What does it take to be [a mathematician]? I think I know the answer: you have to be born right, you must continually strive to become perfect, you must love mathematics more than anything else, you must work at it hard and without stop, and you must never give up.

Paul Halmos, 1985

これらの自伝じでんでハルモスは必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんをあらわす言葉ことば"if and only if"を短縮たんしゅくした記号きごう"iff"を発明はつめいし^[7]、また墓石はかいし記号きごうを証明しょうめいの最後さいごを示しめすものとして初はじめて使つかった^[8]としている。この主張しゅちょうは広ひろく受うけ入いれられている。墓石はかいし記号きごう ∎ (Unicode U+220E) はときにhalmosと呼よばれる^[9]。

2005年ねんには妻つまのヴァージニアとともにオイラー書籍しょせき賞しょう（英語えいご版ばん）を創設そうせつした。この賞しょうは1年ねんに1回かいアメリカ数学すうがく協会きょうかい（英語えいご版ばん）により一般いっぱんの人ひとの数学すうがくに対たいする見方みかたを向上こうじょうさせるであろうような本ほんに与あたえられる。この賞しょうが初はじめて授与じゅよされたのはレオンハルト・オイラーの生誕せいたん300周年しゅうねんである2007年ねん、ジョン・ダービーシャー（英語えいご版ばん）によるベルンハルト・リーマンとリーマン予想よそうについての著書ちょしょ"Prime Obsession"に対たいしてであった^[10]。

著書ちょしょ

1942. Finite-Dimensional Vector Spaces. Springer-Verlag.^[11]
1950. Measure Theory. Springer Verlag.^[12]
1951. Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity. Chelsea.^[13]
1956. Lectures on Ergodic Theory. Chelsea.^[14]
1960. Naive Set Theory. Springer Verlag.
- 富川とみかわ滋しげる訳やく『素朴そぼく集合しゅうごう論ろん』ミネルみねるヴァ書房ぁしょぼう、1975年ねん。ISBN 4623009866。
1962. Algebraic Logic. Chelsea.
1963. Lectures on Boolean Algebras. Van Nostrand.
1967. A Hilbert Space Problem Book. Springer-Verlag.
1973. (with Norman E. Steenrod, Menahem M. Schiffer, and Jean A. Dieudonné). How to Write Mathematics. American Mathematical Society. ^{[注釈ちゅうしゃく 2]}
1978 (with V. S. Sunder). Bounded Integral Operators on L² Spaces. Springer Verlag.^[15]
1985. I Want to Be a Mathematician. Springer-Verlag.
1987. I Have a Photographic Memory. Mathematical Association of America.
1991. Problems for Mathematicians, Young and Old, Dolciani Mathematical Expositions, Mathematical Association of America.
1996. Linear Algebra Problem Book, Dolciani Mathematical Expositions, Mathematical Association of America.
1998 (with Steven Givant). Logic as Algebra, Dolciani Mathematical Expositions No. 21, Mathematical Association of America.
2009 (posthumous, with Steven Givant). Introduction to Boolean Algebras, Springer.

脚注きゃくちゅう　

注釈ちゅうしゃく

^ この賞しょうは、2012年ねんに「ポール・R・ハルモス＝レスター・R・フォード賞しょう」に改称かいしょうされた。
^ ハルモスの論文ろんぶんは “How to write mathematics”. L'Enseignement Mathématique 16: 123–152. (1970). doi:10.5169/seals-43857. の再さい録ろくである。邦訳ほうやく：スティーンロッドほか著ちょ、一松いちまつ信しん訳わけ『数学すうがくの書かき方かた』共立きょうりつ出版しゅっぱん〈数学すうがくワンポイント双書そうしょ19〉、1978年ねん。NDLJP:12608195。

出典しゅってん

^ The Legend of John Von Neumann. P. R. Halmos. The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 4. (Apr., 1973), pp. 382–394.
^ Halmos, Paul R. "Invariants of certain stochastic transformations: The mathematical theory of gambling systems."
^ Albers, Donald J. (1982). “Paul Halmos: Maverick Mathologist”. Two-Year College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 13 (4): 226-242. doi:10.2307/3027125. http://www.jstor.org/stable/3027125.
^ Halmos, Paul R. (1970). “Finite-dimensional Hilbert spaces”. Amer. Math. Monthly 77: 457–464. doi:10.2307/2317378.
^ Ziemer, William P.; Wheeler, William H.; Moolgavkar; Halmos, Paul R.; Ewing, John H.; Gustafson, William H. (1976). “American mathematics from 1940 to the day before yesterday”. Amer. Math. Monthly 83: 503–516.
^ Halmos 1985, p. 69.
^ Halmos 1985, p. 403.
^ Halmos, Paul (1950). Measure Theory. New York: Van Nostrand. pp. vi. "The symbol ∎ is used throughout the entire book in place of such phrases as "Q.E.D." or "This completes the proof of the theorem" to signal the end of a proof."
^ "The symbol is definitely not my invention — it appeared in popular magazines (not mathematical ones) before I adopted it, but, once again, I seem to have introduced it into mathematics. It is the symbol that sometimes looks like ▯, and is used to indicate an end, usually the end of a proof. It is most frequently called the 'tombstone', but at least one generous author referred to it as the 'halmos'.", Halmos 1985, p. 403.
^ The Mathematical Association of America's Euler Book Prize, retrieved 2011-02-01.
^ Kac, Mark (1943). “Review: Finite-dimensional vector spaces, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 49 (5): 349–350. doi:10.1090/s0002-9904-1943-07899-8.
^ Oxtoby, J. C. (1953). “Review: Measure theory, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 59 (1): 89–91. doi:10.1090/s0002-9904-1953-09662-8.
^ Lorch, E. R. (1952). “Review: Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 58 (3): 412–415. doi:10.1090/s0002-9904-1952-09595-1.
^ Dowker, Yael N. (1959). “Review: Lectures on ergodic theory, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 65 (4): 253–254. doi:10.1090/s0002-9904-1959-10331-1.
^ Zaanen, Adriaan (1979). “Review: Bounded integral operators on L² spaces, by P. R. Halmos and V. S. Sunder”. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1 (6): 953–960. doi:10.1090/s0273-0979-1979-14699-8.

参考さんこう文献ぶんけん

外部がいぶリンク

[4] この賞しょうは、2012年ねんに「ポール・R・ハルモス＝レスター・R・フォード賞しょう」に改称かいしょうされた。

[16] ハルモスの論文ろんぶんは “How to write mathematics”. L'Enseignement Mathématique 16: 123–152. (1970). doi:10.5169/seals-43857. の再さい録ろくである。邦訳ほうやく：スティーンロッドほか著ちょ、一松いちまつ信しん訳わけ『数学すうがくの書かき方かた』共立きょうりつ出版しゅっぱん〈数学すうがくワンポイント双書そうしょ19〉、1978年ねん。NDLJP:12608195。

[1] The Legend of John Von Neumann. P. R. Halmos. The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 4. (Apr., 1973), pp. 382–394.

[2] Halmos, Paul R. "Invariants of certain stochastic transformations: The mathematical theory of gambling systems."

[3] Albers, Donald J. (1982). “Paul Halmos: Maverick Mathologist”. Two-Year College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 13 (4): 226-242. doi:10.2307/3027125. http://www.jstor.org/stable/3027125.

[5] Halmos, Paul R. (1970). “Finite-dimensional Hilbert spaces”. Amer. Math. Monthly 77: 457–464. doi:10.2307/2317378.

[6] Ziemer, William P.; Wheeler, William H.; Moolgavkar; Halmos, Paul R.; Ewing, John H.; Gustafson, William H. (1976). “American mathematics from 1940 to the day before yesterday”. Amer. Math. Monthly 83: 503–516.

[FOOTNOTEHalmos198569-7] Halmos 1985, p. 69.

[FOOTNOTEHalmos1985403-8] Halmos 1985, p. 403.

[9] Halmos, Paul (1950). Measure Theory. New York: Van Nostrand. pp. vi. "The symbol ∎ is used throughout the entire book in place of such phrases as "Q.E.D." or "This completes the proof of the theorem" to signal the end of a proof."

[10] "The symbol is definitely not my invention — it appeared in popular magazines (not mathematical ones) before I adopted it, but, once again, I seem to have introduced it into mathematics. It is the symbol that sometimes looks like ▯, and is used to indicate an end, usually the end of a proof. It is most frequently called the 'tombstone', but at least one generous author referred to it as the 'halmos'.", Halmos 1985, p. 403.

[maa-11] The Mathematical Association of America's Euler Book Prize, retrieved 2011-02-01.

[12] Kac, Mark (1943). “Review: Finite-dimensional vector spaces, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 49 (5): 349–350. doi:10.1090/s0002-9904-1943-07899-8.

[13] Oxtoby, J. C. (1953). “Review: Measure theory, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 59 (1): 89–91. doi:10.1090/s0002-9904-1953-09662-8.

[14] Lorch, E. R. (1952). “Review: Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 58 (3): 412–415. doi:10.1090/s0002-9904-1952-09595-1.

[15] Dowker, Yael N. (1959). “Review: Lectures on ergodic theory, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 65 (4): 253–254. doi:10.1090/s0002-9904-1959-10331-1.

[17] Zaanen, Adriaan (1979). “Review: Bounded integral operators on L² spaces, by P. R. Halmos and V. S. Sunder”. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1 (6): 953–960. doi:10.1090/s0273-0979-1979-14699-8.

[1]

[2]

[3]

[注釈ちゅうしゃく 1]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[注釈ちゅうしゃく 2]

[15]