例題 れいだい ・問題 もんだい の解答 かいとう 解説 かいせつ は解答 かいとう 解説 かいせつ を参照 さんしょう 。
等 とう 速度 そくど 運動 うんどう は、速度 そくど または速度 そくど の大 おお きさが時間 じかん によらず一定 いってい な運動 うんどう である。特 とく に、運動 うんどう の向 む きが常 つね に一定 いってい である運動 うんどう を等 ひとし 速 そく 直線 ちょくせん 運動 うんどう という。
例 たと えば、自動車 じどうしゃ が 6 秒間 びょうかん だけ速度 そくど 10 m/s で走 はし った場合 ばあい 、その間 あいだ の自動車 じどうしゃ の変位 へんい
x
{\displaystyle x}
は、
x
=
10
m
/
s
×
6
s
=
60
m
{\displaystyle x=10\ \mathrm {m/s} \times 6\ \mathrm {s} =60\ \mathrm {m} }
である。
加速度 かそくど とは、単位 たんい 時間 じかん 当 あ たりの速度 そくど の時間 じかん 変化 へんか 率 りつ のことである。
例 たと えば時刻 じこく 0 s で速度 そくど が 2 m/s であり時刻 じこく 2 s で速度 そくど が 12 m/s だったとすると、その間 あいだ の加速度 かそくど
a
{\displaystyle a}
は、
a
=
12
m
/
s
−
2
m
/
s
2
s
−
0
s
=
5
m
/
s
2
{\displaystyle a={\frac {12\ \mathrm {m/s} -2\ \mathrm {m/s} }{2\ \mathrm {s} -0\ \mathrm {s} }}=5\ \mathrm {m/s} ^{2}}
である。
次 つぎ に加速度 かそくど が一定 いってい である場合 ばあい の速度 そくど や変位 へんい を考 かんが えよう。物体 ぶったい の運動 うんどう 方向 ほうこう に向 む かって
x
{\displaystyle x}
軸 じく をとる。
等 とう 加速度 かそくど 運動 うんどう の
v
−
t
{\displaystyle \scriptstyle v-t}
グラフ。 縦 たて 軸 じく に速度 そくど 、横 よこ 軸 じく に時刻 じこく をとる。
まず、速度 そくど
v
{\displaystyle v}
を求 もと める。左 ひだり のグラフの通 とお り、時間 じかん 当 あ たりの速度 そくど の変化 へんか が加速度 かそくど
a
{\displaystyle a}
にあたるので、初 はつ 速度 そくど を
v
0
{\displaystyle v_{0}}
とすれば、時刻 じこく
t
{\displaystyle t}
における速度 そくど として
v
=
v
0
+
a
t
{\displaystyle v=v_{0}+at}
が得 え られる。
次 つぎ に、変位 へんい
x
{\displaystyle x}
を考 かんが える。変位 へんい は
v
−
t
{\displaystyle v-t}
グラフの面積 めんせき に等 ひと しいので、
x
=
(
v
0
+
v
)
t
2
=
v
0
t
+
1
2
a
t
2
{\displaystyle x={\frac {(v_{0}+v)t}{2}}=v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}}
である。最後 さいご に速度 そくど
v
{\displaystyle v}
の式 しき を
t
=
v
−
v
0
a
{\displaystyle t={\frac {v-v_{0}}{a}}}
と変形 へんけい し、変位 へんい
x
{\displaystyle x}
の式 しき に代入 だいにゅう すれば、
v
2
−
v
0
2
=
2
a
x
{\displaystyle v^{2}-v_{0}^{2}=2ax}
となる。
まとめると、次 つぎ のようになる。
等 とう 加速度 かそくど 運動 うんどう する物体 ぶったい の速度 そくど と時刻 じこく の公式 こうしき
v
=
v
0
+
a
t
{\displaystyle v=v_{0}+at}
等 とう 加速度 かそくど 運動 うんどう する物体 ぶったい の変位 へんい と時刻 じこく の公式 こうしき
x
=
v
0
t
+
1
2
a
t
2
{\displaystyle x=v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}}
等 とう 加速度 かそくど 運動 うんどう する物体 ぶったい の速度 そくど と変位 へんい の公式 こうしき
v
2
−
v
0
2
=
2
a
x
{\displaystyle v^{2}-v_{0}^{2}=2ax}
3 つ目 め の公式 こうしき には時刻 じこく
t
{\displaystyle t}
があらわには入 はい らない。また、この関係 かんけい はエネルギー保存 ほぞん の法則 ほうそく から導出 どうしゅつ することができる。
例題 れいだい 1 - 1
ある電車 でんしゃ は加速度 かそくど 1.0 m/s2 で加速 かそく し、その最高 さいこう 速度 そくど は 72 km/h まで達 たっ する[3] 。線路 せんろ 中 ちゅう に速度 そくど 制限 せいげん はないものとする[4] 。以下 いか の問 と いについて有効 ゆうこう 数字 すうじ 2 桁 けた で答 こた えよ。
(1) 電車 でんしゃ の最 さい 高速度 こうそくど を単位 たんい m/s で表 あらわ せ。
A 駅 えき を出発 しゅっぱつ して B 駅 えき で到着 とうちゃく するとき、速度 そくど
v
{\displaystyle v}
と時刻 じこく
t
{\displaystyle t}
の関係 かんけい は以下 いか のようになった。このグラフを
v
−
t
{\displaystyle v-t}
グラフという。
v
−
t
{\displaystyle \scriptstyle v-t}
グラフ
(2) 減速 げんそく 時 じ の加速度 かそくど を求 もと めよ。
(3) A 駅 えき から B 駅 えき への距離 きょり はいくらか。
(4) これまでの問 と いを参考 さんこう にして、電車 でんしゃ の A 駅 えき からの変位 へんい
x
{\displaystyle x}
と時刻 じこく の関係 かんけい を表 あらわ す
x
−
t
{\displaystyle x-t}
グラフを描 か け。
ところで、有効 ゆうこう 数字 すうじ 2 桁 けた とはどういう意味 いみ だろうか。有効 ゆうこう 数字 すうじ とはその数値 すうち のうち信頼 しんらい できる桁 けた の数 かず を示 しめ す。
例 たと えば 5.4270019 という値 ね が測定 そくてい されても、その測定 そくてい 値 ち の有効 ゆうこう 数字 すうじ が 2 桁 けた であれば信頼 しんらい できる値 ね は初 はじ めの 2 桁 けた だけ(つまりこの場合 ばあい は 5.4 まで)である。同様 どうよう に 5.3794306 という値 ね が測定 そくてい された場合 ばあい 、有効 ゆうこう 数字 すうじ が 2 桁 けた であればその測定 そくてい 値 ち は 3 桁 けた 目 め を四捨五入 ししゃごにゅう して 5.4 と評価 ひょうか される。
このように有効 ゆうこう 数字 すうじ は測定 そくてい 値 ち のうち測定 そくてい 誤差 ごさ の影響 えいきょう の比較的 ひかくてき 小 ちい さい部分 ぶぶん を簡便 かんべん に評価 ひょうか することに使 つか われる。測定 そくてい 値 ち の評価 ひょうか 法 ほう として正統 せいとう な方法 ほうほう は、有効 ゆうこう 数字 すうじ ではなく測定 そくてい 値 ち の不 ふ 確 かく かさ を評価 ひょうか することであるが、(傾向 けいこう だけ分 わ かれば済 す むような)大雑把 おおざっぱ な評価 ひょうか で間 ま に合 あ う場合 ばあい には有効 ゆうこう 桁数 けたすう だけに気 き を使 つか えばよい。
有効 ゆうこう 数字 すうじ の桁数 けたすう は数字 すうじ が何 なん 個 こ あるかを考 かんが えれば良 よ い。ただし、最初 さいしょ が 0 で始 はじ まる数値 すうち (例 れい :0.52)などは小数点 しょうすうてん の後 のち からを数 かぞ える。
1.3 → 有効 ゆうこう 数字 すうじ 2 桁 けた 、0.2 → 有効 ゆうこう 数字 すうじ 1 桁 けた
5.573 → 有効 ゆうこう 数字 すうじ 4 桁 けた 、−0.84 → 有効 ゆうこう 数字 すうじ 2 桁 けた
有効 ゆうこう 数字 すうじ を使 つか った評価 ひょうか をする際 さい 、測定 そくてい 値 ち を指数 しすう 表記 ひょうき 、つまり
x
×
10
n
,
0
≤
x
<
10
,
n
=
…
,
−
1
,
0
,
1
,
…
{\displaystyle x\times 10^{n},\quad 0\leq x<10,\,n=\ldots ,-1,0,1,\ldots }
のような形式 けいしき に書 か き換 か えたほうが分 わ かりやすい。たとえば
340.5 → 3.405 × 102
0.00602 → 6.02 × 10−3
12000.0 → 1.20000 × 104
これは小数点 しょうすうてん の位置 いち を固定 こてい した表記 ひょうき 法 ほう の場合 ばあい 、有効 ゆうこう 桁数 けたすう が正確 せいかく に伝 つた わらない可能 かのう 性 せい があるためである。ただし有効 ゆうこう 数字 すうじ の桁 けた を明示 めいじ しておくほうが簡単 かんたん かつ適切 てきせつ なことが多 おお い。
相対 そうたい 速度 そくど は問題 もんだい 文 ぶん などでは通常 つうじょう 「B に対 たい する A の速度 そくど 」などと書 か かれるが、これを「B が見 み る A の見 み かけの速度 そくど 」と読 よ み替 か えても同義 どうぎ である[5] 。
例 たと えば同 おな じ方向 ほうこう へ走行 そうこう する自動車 じどうしゃ A, B があり、A が 40 km/h、B が 70 km/h で走行 そうこう しているとき、A の車内 しゃない からは B が前方 ぜんぽう へ向 む けて 30 km/h で移動 いどう しているように見 み える。B から A を見 み た場合 ばあい は、A が後方 こうほう へ向 む けて 30 km/h で移動 いどう しているように見 み える。
一般 いっぱん 的 てき に「B に対 たい する A の速度 そくど 」は、次 つぎ のように表 あらわ せられる。A の速度 そくど を
v
A
{\displaystyle v_{\mathrm {A} }}
、B の速度 そくど を
v
B
{\displaystyle v_{\mathrm {B} }}
、相対 そうたい 速度 そくど を
v
r
{\displaystyle v_{\mathrm {r} }}
とすれば(添字 そえじ の r は相対 そうたい relative の頭文字 かしらもじ を表 あらわ している)、
v
r
=
v
B
−
v
A
{\displaystyle v_{\mathrm {r} }=v_{\mathrm {B} }-v_{\mathrm {A} }}
い換 いか えると、「(相対 そうたい 速度 そくど )=(相手 あいて の速度 そくど )−(自分 じぶん の速度 そくど )」である。それでは、例題 れいだい 1 - 2 を解 と いてみよう。
例題 れいだい 1 - 2
速 はや さ 10 m/s の車 くるま と速 はや さ 4.0 m/s の猫 ねこ が平行 へいこう して走 はし っている。このとき、車 くるま で座 すわ っている犬 いぬ に対 たい する相対 そうたい 速度 そくど を求 もと めよ。ただし犬 いぬ と猫 ねこ はお互 たが いの存在 そんざい に気 き づいていないものとする[6] 。
落下 らっか 運動 うんどう は重力 じゅうりょく の作用 さよう によって生 しょう じる物体 ぶったい の運動 うんどう 、平 ひら たく言 い えば物 もの が落 お ちるときの動 うご きのことである。基本 きほん 的 てき には鉛直 えんちょく 上向 うわむ きに正 せい を取 と れば良 よ い(ただし、問題 もんだい 文 ぶん に指定 してい がある場合 ばあい はその指示 しじ に従 したが うこと)。
したがって、上記 じょうき の3つの公式 こうしき を用 もち いる。ただし、地球 ちきゅう 表面 ひょうめん 近傍 きんぼう で落下 らっか する物体 ぶったい の加速度 かそくど は
g
=
9.8
m
/
s
2
{\displaystyle g=9.8~\mathrm {m/s^{2}} }
である(出題 しゅつだい されることは多 おお くないが、月面 げつめん での落下 らっか 運動 うんどう の問題 もんだい では地球 ちきゅう 上 じょう の 1/6 程度 ていど の値 ね が加速度 かそくど の値 ね として採用 さいよう されることが多 おお い)。重力 じゅうりょく によって生 しょう じる加速度 かそくど は重力 じゅうりょく 加速度 かそくど と呼 よ ばれる(なお、地球 ちきゅう 上 じょう での落下 らっか 運動 うんどう 問題 もんだい でよく使 つか われる重力 じゅうりょく 加速度 かそくど の値 ね は、標準 ひょうじゅん 重力 じゅうりょく 加速度 かそくど の近似 きんじ 値 ち である)。
この重力 じゅうりょく 加速度 かそくど の大 おお きさの導出 どうしゅつ については「万有引力 ばんゆういんりょく 」 の項 こう で触 ふ れる。それでは、それぞれのパターンについて考 かんが えていこう。
自由 じゆう 落下 らっか 自由 じゆう 落下 らっか
初 はつ 速度 そくど 0 で静 しず かに物体 ぶったい を離 はな した時 とき の落下 らっか 運動 うんどう を自由 じゆう 落下 らっか という。
鉛直 えんちょく 投 な げ上 あ げ・鉛直 えんちょく 投 な げ下 お ろし
鉛直 えんちょく 上向 うわむ きに初 はつ 速度 そくど を与 あた えた落下 らっか 運動 うんどう を鉛直 えんちょく 投 な げ上 あ げ といい、鉛直 えんちょく 下向 したむ きに初 はつ 速度 そくど を与 あた えた落下 らっか 運動 うんどう を鉛直 えんちょく 投 な げ下 お ろし という。
例題 れいだい 1 - 3
高 たか さ 19.6 m [7] の小 しょう ビルの屋上 おくじょう から小 しょう 球 たま を落 お とす[8] 。次 つぎ の各 かく 問 と いに有効 ゆうこう 数字 すうじ 2 桁 けた で答 こた えよ。ただし重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を 9.8 m/s2 とし、鉛直 えんちょく 下向 したむ きを正 せい とする。
〔1〕 まず、小 しょう 球 たま を静 しず かに落 お とした。
(1) 地面 じめん まで落 お ちるのにかかった時間 じかん はいくらか。
(2) 地面 じめん に達 たっ する直前 ちょくぜん の速 はや さはいくらか。
〔2〕 次 つぎ に鉛直 えんちょく 上向 うわむ きに 14.7 m/s の速 はや さで投 な げ上 あ げて落 お とした。
(1) 地面 じめん まで落 お ちるのにかかった時間 じかん はいくらか。
(2) 小 しょう 球 たま が最高 さいこう 点 てん に達 たっ した時 とき の地面 じめん からの高 たか さはいくらか。
(3) 地面 じめん に達 たっ する直前 ちょくぜん の速 はや さはいくらか。
ところで落下 らっか 運動 うんどう において最高 さいこう 点 てん は
v
=
0
{\displaystyle v=0}
となったときの高 たか さであるが、このような問題 もんだい は頻繁 ひんぱん に問 と われるため公式 こうしき の1つとして覚 おぼ えておくと良 よ い。では導 みちび いてみよう。
鉛直 えんちょく 投 な げ上 あ げを考 かんが えよう。鉛直 えんちょく 上向 うわむ きを正 せい とする。速度 そくど と変位 へんい の公式 こうしき
v
2
−
v
0
2
=
2
a
x
{\displaystyle v^{2}-{v_{0}}^{2}=2ax}
を用 もち いてみる。最高 さいこう 点 てん
y
{\displaystyle y}
ではその時 とき の速 はや さは 0 m/s なので、重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を
g
{\displaystyle g}
とすると、
−
v
0
2
=
−
2
g
y
{\displaystyle -{v_{0}}^{2}=-2gy}
となる。よって、
y
=
v
0
2
2
g
{\displaystyle y={\frac {{v_{0}}^{2}}{2g}}}
が求 もと まる。
次 つぎ にそのときの時刻 じこく
t
{\displaystyle t}
を求 もと めてみよう。速度 そくど と時刻 じこく の公式 こうしき
v
=
v
0
+
a
t
{\displaystyle v=v_{0}+at}
より、
0
=
v
0
−
g
t
{\displaystyle 0=v_{0}-gt}
なので、
t
=
v
0
g
{\displaystyle t={\frac {v_{0}}{g}}}
が求 もと まる。
この 2 つの式 しき は、この後 のち 学習 がくしゅう する斜 はす 方 かた 投射 とうしゃ の問題 もんだい で役 やく に立 た つ。
次 つぎ の 2 つは水平 すいへい 方向 ほうこう 、鉛直 えんちょく 方向 ほうこう の 2 方向 ほうこう に分 わ けて考 かんが えると良 よ い。ただし、水平 すいへい 方向 ほうこう は右向 みぎむ きを正 まさ に、鉛直 えんちょく 方向 ほうこう は上向 うわむ きを正 まさ に取 と ることが多 おお い。
水平 すいへい 投射 とうしゃ とは、水平 すいへい 方向 ほうこう に初 はつ 速度 そくど を付 つ けて落下 らっか させる運動 うんどう のことである。
物体 ぶったい は何 なに か力 ちから が加 くわ わらなければ、運動 うんどう の状態 じょうたい を変 か える事 こと はない。したがって水平 すいへい 投射 とうしゃ のとき、受 う ける力 ちから は重力 じゅうりょく ただ一 ひと つであるから、鉛直 えんちょく 方向 ほうこう だけ自由 じゆう 落下 らっか の運動 うんどう となるのである。
斜 はす 方 かた 投射 とうしゃ 斜 はす 方 かた 投射 とうしゃ
斜 はす 方 かた 投射 とうしゃ とは、斜 なな めに初 はつ 速度 そくど を付 つ けて落下 らっか させる運動 うんどう のことである。
水平面 すいへいめん とのなす角 かく が
θ しーた
{\displaystyle \theta }
の向 む きに初 はつ 速度 そくど
v
0
{\displaystyle v_{0}}
で物体 ぶったい を投 な げ上 あ げたとしよう。このとき、速度 そくど は分解 ぶんかい できるからベクトル で表 あらわ すことができ、
v
0
→
=
(
v
0
cos
θ しーた
,
v
0
sin
θ しーた
)
{\displaystyle {\vec {v_{0}}}=(v_{0}\cos \theta ,v_{0}\sin \theta )}
と表 あらわ せられる。
この2つに分 わ けて考 かんが えると、まず水平 すいへい 方向 ほうこう について、初 はつ 速度 そくど
v
0
cos
θ しーた
{\displaystyle v_{0}\cos \theta }
で水平 すいへい 方向 ほうこう には力 ちから が何 なに も働 はたら いていないので等 ひとし 速 そく 運動 うんどう をしている。それに対 たい して鉛直 えんちょく 方向 ほうこう は、初 はつ 速度 そくど
v
0
sin
θ しーた
{\displaystyle v_{0}\sin \theta }
で投 な げあげて加速度 かそくど
g
{\displaystyle g}
で落下 らっか している運動 うんどう に等 ひと しい。
以上 いじょう をまとめると、以下 いか の表 ひょう になる。
運動 うんどう
垂直 すいちょく 方向 ほうこう
鉛直 えんちょく 方向 ほうこう
水平 すいへい 投射 とうしゃ
自由 じゆう 落下 らっか
等 ひとし 速 そく 運動 うんどう
斜 はす 方 かた 投射 とうしゃ
鉛直 えんちょく 投 な げ上 あ げ/投 な げ下 お ろし
等 ひとし 速 そく 運動 うんどう
例題 れいだい 1 - 4
次 つぎ の文章 ぶんしょう の空 そら 所 しょ に適切 てきせつ な値 ね を入 い れよ。
左 ひだり 図 ず のように、大砲 たいほう で初 はつ 速度 そくど
9.8
2
m
/
s
{\displaystyle 9.8{\sqrt {2}}\,\mathrm {m/s} }
で上方 かみがた 45°に弾 たま を打 う ち上 あ げた。大砲 たいほう と弾 たま は大 おお きさを無視 むし できるものとする。以下 いか の空欄 くうらん について、有効 ゆうこう 数字 すうじ 2 桁 けた で答 こた えよ。
(1) 砲弾 ほうだん が着地 ちゃくち した時刻 じこく は発射 はっしゃ 時刻 じこく から数 かぞ えて [ ア ] s であり、その時 とき の砲弾 ほうだん の速 はや さは[ イ ] m/s である。さらに砲弾 ほうだん が着地 ちゃくち した場所 ばしょ は発射 はっしゃ 位置 いち から[ ウ ] m 先 さき である。ただし、重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を 9.8 m/s2 とする。
(2) 砲弾 ほうだん が到達 とうたつ する最高 さいこう 点 てん の高 たか さは [ エ ] m であり、その時 とき の砲弾 ほうだん の速 はや さは[ オ ] m/s である。さらに砲弾 ほうだん が最高 さいこう 点 てん に達 たっ する時刻 じこく は発射 はっしゃ 時刻 じこく から数 かぞ えて [ カ ] s である。
例題 れいだい 1 - 5
斜 はす 方 かた 投射 とうしゃ において、その軌道 きどう は放物線 ほうぶつせん を描 えが くのはなぜか。説明 せつめい せよ。
2 つ小 しょう 球 たま A, B ははじめ互 たが いに距離 きょり
l
{\displaystyle l}
だけ離 はな れている。小 しょう 球 たま A を初 はつ 速度 そくど
v
0
{\displaystyle v_{0}}
、水平面 すいへいめん とのなす角度 かくど
θ しーた
{\displaystyle \theta }
で水平面 すいへいめん 上 じょう から投 な げ、同時 どうじ に小 しょう 球 たま B を水平面 すいへいめん から高 たか さ
h
{\displaystyle h}
の位置 いち から静 しず かに落下 らっか させた。小 しょう 球 たま A と小 しょう 球 たま B は時刻 じこく
t
{\displaystyle t}
のときに衝突 しょうとつ したという。重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を
g
{\displaystyle g}
として以下 いか の問 と いに答 こた えよ。水平 すいへい 方向 ほうこう 右向 みぎむ き・鉛直 えんちょく 方向 ほうこう 上向 うわむ きを正 せい とする。[9]
(1) 時刻 じこく
t
′
(
t
′
<
t
)
{\displaystyle t'\,(t'<t)}
のときの A, B の変位 へんい を水平 すいへい 方向 ほうこう と鉛直 えんちょく 方向 ほうこう に分 わ けてそれぞれ表 あらわ せ。
(2) 時刻 じこく
t
′
{\displaystyle t'}
のとき、B に対 たい する A の相対 そうたい 速度 そくど の大 おお きさを求 もと めよ。
(3) 時刻 じこく
t
{\displaystyle t}
を、はじめの時刻 じこく での AB 間 あいだ の距離 きょり
l
{\displaystyle l}
、B の落下 らっか する高 たか さ
h
{\displaystyle h}
、A の投射 とうしゃ 角 かく
θ しーた
{\displaystyle \theta }
、A の初 はつ 速度 そくど
v
0
{\displaystyle v_{0}}
を用 もち いて 2 通 とお りに表 あらわ せ。
(4)
tan
θ しーた
{\displaystyle \tan \theta }
を求 もと めよ。ただし、はじめの時刻 じこく での AB 間 あいだ の距離 きょり
l
{\displaystyle l}
、B の落下 らっか する高 たか さ
h
{\displaystyle h}
、重力 じゅうりょく 加速度 かそくど
g
{\displaystyle g}
、A の投射 とうしゃ 角 かく
θ しーた
{\displaystyle \theta }
、A の初 はつ 速度 そくど
v
0
{\displaystyle v_{0}}
の中 なか から必要 ひつよう なものを用 もち いよ。また、この結果 けっか からどのようなことが言 い えるか。簡潔 かんけつ に記 しる せ。
(5) 問題 もんだい 文 ぶん 及 およ び (1)~(4) の状況 じょうきょう が成 な り立 た つような
h
{\displaystyle h}
の条件 じょうけん を求 もと めよ。ただし、はじめの時刻 じこく での AB 間 あいだ の距離 きょり
l
{\displaystyle l}
、重力 じゅうりょく 加速度 かそくど
g
{\displaystyle g}
、A の投射 とうしゃ 角 かく
θ しーた
{\displaystyle \theta }
、A の初 はつ 速度 そくど
v
0
{\displaystyle v_{0}}
を用 もち いよ。
力 ちから とは、物体 ぶったい の運動 うんどう を変化 へんか させる原因 げんいん となる作用 さよう のことである。日常 にちじょう 的 てき には力 ちから とはパワーであると言 い われるが、英語 えいご 表記 ひょうき は "force" であって "power" ではない。物理 ぶつり 学 がく におけるパワーは単位 たんい 時間 じかん 当 あ たりにどれだけ仕事 しごと ができるか、あるいは単位 たんい 時間 じかん 当 あ たりに伝播 でんぱ されるエネルギー を示 しめ す量 りょう であり、力学 りきがく でいうところの力 ちから とは異 こと なる量 りょう である。
一般 いっぱん 的 てき には力 ちから の大 おお きさを表 あらわ す単位 たんい としてニュートン (単位 たんい 記号 きごう :N)が用 もち いられる。他 ほか にもキログラム重 しげる (単位 たんい 記号 きごう :kgf)なども力 ちから の単位 たんい として用 もち いられることがある。ニュートンはメートル (m)、秒 びょう (s)、キログラム (kg) の積 せき によって組 く み立 た てられる。
N
=
k
g
⋅
m
/
s
2
{\displaystyle \mathrm {N} =\mathrm {kg\cdot m/s^{2}} }
つまり質量 しつりょう (この場合 ばあい 、単位 たんい は kg)と加速度 かそくど (この場合 ばあい 、単位 たんい は m/s2 )の積 せき として構成 こうせい される。
[10]
高校 こうこう 物理 ぶつり において、力 ちから は物体 ぶったい に触 ふ れて初 はじ めて作用 さよう する力 ちから と、触 ふ れなくても作用 さよう する力 ちから の2つに分類 ぶんるい される。前者 ぜんしゃ は接触 せっしょく 力 りょく 、後者 こうしゃ は非 ひ 接触 せっしょく 力 りょく と呼 よ ばれる。接触 せっしょく 力 りょく には押 お す力 ちから や糸 いと の張力 ちょうりょく 、ばねの弾性 だんせい 力 りょく などたくさんあるが、非 ひ 接触 せっしょく 力 りょく は万有引力 ばんゆういんりょく や静電気 せいでんき 力 りょく 、磁気 じき 力 りょく の3つしかない。
運動 うんどう の法則 ほうそく は、物体 ぶったい の運動 うんどう に関 かん して得 え られた経験 けいけん 則 そく をアイザック・ニュートン が整理 せいり し定式 ていしき 化 か したものであり[11] 、力学 りきがく における第 だい 一 いち 原理 げんり となっている重要 じゅうよう な法則 ほうそく である。ニュートンによる定式 ていしき 化 か は以下 いか の 3 つの法則 ほうそく としてまとめることができる。
作用 さよう ・反作用 はんさよう の法則 ほうそく
すべての物体 ぶったい は、外部 がいぶ から力 ちから を加 くわ えられない限 かぎ り、静止 せいし している物体 ぶったい は静止 せいし し続 つづ け、運動 うんどう している物体 ぶったい は運動 うんどう を続 つづ ける。慣性 かんせい の法則 ほうそく とも呼 よ ばれる。
物体 ぶったい に力 ちから が働 はたら いているならば、物体 ぶったい に力 ちから が働 はたら いている方向 ほうこう へ加速度 かそくど が生 しょう じ、物体 ぶったい の運動 うんどう の加速度 かそくど はその合力 ごうりょく の大 おお きさに比例 ひれい し、質量 しつりょう に反比例 はんぴれい する。すなわち、物体 ぶったい の質量 しつりょう を
m
{\displaystyle m}
、加速度 かそくど を
a
{\displaystyle a}
、物体 ぶったい に働 はたら く力 ちから を
F
{\displaystyle F}
とすれば
m
a
=
F
{\displaystyle ma=F}
である。運動 うんどう の第 だい 2法則 ほうそく は単 たん に運動 うんどう の法則 ほうそく とも呼 よ ばれる。運動 うんどう の第 だい 2法則 ほうそく については後 のち に詳 くわ しく解説 かいせつ する。
一方 いっぽう が受 う ける力 ちから と他方 たほう が受 う ける力 ちから は向 む きが反対 はんたい で大 おお きさが等 ひと しい。この法則 ほうそく は後述 こうじゅつ の力 ちから の法則 ほうそく と混同 こんどう しやすい。作用 さよう ・反作用 はんさよう の法則 ほうそく とも呼 よ ばれる。
例 たと えば、右 みぎ 図 ず のようにスケートリンク上 じょう で左 ひだり の人 ひと が相手 あいて を押 お すと右側 みぎがわ の人 ひと には力 ちから
F
1
→
{\displaystyle {\vec {F_{1}}}}
が加 くわ わる。作用 さよう ・反作用 はんさよう の法則 ほうそく は、押 お された右 みぎ の人 ひと から左 ひだり の人 ひと に力 ちから
F
2
→
{\displaystyle {\vec {F_{2}}}}
が加 くわ えられること、2 つの力 ちから の大 おお きさは互 たが いに等 ひと しく、力 ちから の向 む きは正 せい 反対 はんたい であることを示 しめ す。つまり
F
1
=
−
F
2
{\displaystyle F_{1}=-F_{2}}
が成 な り立 た つ。
物体 ぶったい には様々 さまざま な力 ちから がかかる。例 たと えば私 わたし たち人間 にんげん でも、地球 ちきゅう からの重力 じゅうりょく を受 う けたり大気 たいき からの圧力 あつりょく (圧力 あつりょく は力 ちから ではないが)を受 う けたりするだろう。また、物体 ぶったい に押 お したりするなどして力 ちから を加 くわ えると、その物体 ぶったい は動 うご く。この項目 こうもく では物体 ぶったい にかかる様々 さまざま な力 ちから を見 み ていくことにする。
1. 重力 じゅうりょく
これは物体 ぶったい が惑星 わくせい に存在 そんざい するならばどんなものでもかかる力 ちから である(正確 せいかく に定義 ていぎ すると、地球 ちきゅう の万有引力 ばんゆういんりょく と地球 ちきゅう の自転 じてん による遠心 えんしん 力 りょく の合力 ごうりょく である)。この重力 じゅうりょく の大 おお きさ
F
g
{\displaystyle F_{g}}
は、物体 ぶったい の質量 しつりょう を
m
{\displaystyle m}
とすると、
F
g
=
m
g
{\displaystyle F_{g}=mg}
である。ただし
g
{\displaystyle g}
は重力 じゅうりょく 加速度 かそくど である。例 たと えば60 kgの人間 にんげん にかかる重力 じゅうりょく の大 おお きさ
F
g
{\displaystyle F_{g}}
は、
F
g
=
60
×
9.8
=
588
{\displaystyle F_{g}=60\times 9.8=588}
Nである。
2.張力 ちょうりょく
張力 ちょうりょく とは、糸 いと が物体 ぶったい を引 ひ っ張 ぱ る力 ちから のことである。1本 ほん の繋 つな がった糸 いと において、その糸 いと がピンと張 は っていれば(たるんでいない)、張力 ちょうりょく がはたらく。基本 きほん 的 てき に力 ちから を考 かんが える際 さい に糸 いと の質量 しつりょう は無視 むし して良 よ い。
張力 ちょうりょく
T
{\displaystyle T}
と重力 じゅうりょく
m
g
{\displaystyle mg}
、糸 いと は天井 てんじょう に固定 こてい されている。
右 みぎ 図 ず を考 かんが える。これにおいて質量 しつりょう
m
{\displaystyle m}
の小 しょう 球 たま は静止 せいし している。物体 ぶったい は静止 せいし しているので力 ちから の合力 ごうりょく は 0 のはずである。したがって、
T
=
m
g
{\displaystyle T=mg}
となる。
また糸 いと が繋 つな がっているならば、その張力 ちょうりょく は両 りょう 端 はし で等 ひと しい。つまり天井 てんじょう が糸 いと に引 ひ っ張 ぱ られる力 ちから も
m
g
{\displaystyle mg}
となるのである。
3. 弾性 だんせい 力 りょく
バネを伸 の ばそうとするとバネは元 もと の長 なが さに戻 もど ろうと縮 ちぢ まる方向 ほうこう へ力 ちから を与 あた える。逆 ぎゃく にバネを縮 ちぢ めようとするとバネは伸 の びる方向 ほうこう へ力 ちから を与 あた える。これを弾性 だんせい 力 りょく という。また、バネに何 なに も力 ちから が与 あた えられていないときの長 なが さを自然 しぜん 長 ちょう という。
固定 こてい されたバネ。 (上 うえ )何 なに も力 ちから が与 あた えられていないバネ。 (下 した )引 ひ っ張 ぱ られたバネ。
右 みぎ 図 ず において、上 うえ は長 なが さが自然 しぜん 長 ちょう のバネで、下 した は手 て に引 ひ っ張 ぱ られることにより
x
{\displaystyle x}
だけ伸 の びたバネである。
縮 ちぢ めた/伸 の ばした方向 ほうこう とは逆 ぎゃく 向 む きに弾性 だんせい 力 りょく ははたらくので、弾性 だんせい 力 りょく
F
{\displaystyle F}
は、
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx}
と表 あらわ される。ただし、
k
{\displaystyle k}
をバネ定数 ていすう という。またこれをフックの法則 ほうそく という。
これら以外 いがい にも力 ちから は様々 さまざま あるが、これら以外 いがい は「力 ちから のまとめ」で列挙 れっきょ していく。
複数 ふくすう の力 ちから が物体 ぶったい に作用 さよう しているにもかかわらず物体 ぶったい が運動 うんどう していない状態 じょうたい を「力 ちから がつりあっている」という。これは複数 ふくすう の力 ちから の合力 ごうりょく が0になっているからである。すなわち、物体 ぶったい に複数 ふくすう の力 ちから がかかっているとすると、
F
1
→
+
F
2
→
+
F
3
→
+
⋯
+
F
n
→
=
0
{\displaystyle {\vec {F_{1}}}+{\vec {F_{2}}}+{\vec {F_{3}}}+\cdots +{\vec {F_{n}}}=0}
の状態 じょうたい が「力 ちから がつりあっている」という。これを考 かんが えるには垂直 すいちょく 抗力 こうりょく の考 かんが えが必要 ひつよう になる。
斜面 しゃめん における物体 ぶったい の垂直 すいちょく 抗力 こうりょく
F
N
{\displaystyle F_{N}}
垂直 すいちょく 抗力 こうりょく とは、物体 ぶったい が接触 せっしょく している他 ほか の物体 ぶったい や地面 じめん 等 とう の固体 こたい の面 めん を押 お しているとき、その力 ちから の面 めん に垂直 すいちょく な成分 せいぶん に対 たい し、同 おな じ大 おお きさで反対 はんたい 向 む きの、固体 こたい の面 めん が物体 ぶったい を押 お し返 かえ す力 ちから のことである。
左 ひだり 図 ず を考 かんが えてみよう。まず質量 しつりょう
m
{\displaystyle m}
の物体 ぶったい には重力 じゅうりょく
m
g
{\displaystyle mg}
がかかる。そして図 ず が示 しめ すように、斜面 しゃめん 垂直 すいちょく 上向 うわむ きには垂直 すいちょく 抗力 こうりょく がかかる。斜面 しゃめん 垂直 すいちょく 方向 ほうこう に対 たい して力 ちから はつりあっているから、重力 じゅうりょく を分解 ぶんかい して、
F
N
=
m
g
cos
θ しーた
{\displaystyle F_{N}=mg\cos \theta }
と垂直 すいちょく 抗力 こうりょく が求 もと まる。地面 じめん または垂直 すいちょく に物体 ぶったい が接 せっ しているならば垂直 すいちょく 抗力 こうりょく ははたらく。い換 いか えると、垂直 すいちょく 抗力 こうりょく の大 おお きさが0になった時 とき に物体 ぶったい が地面 じめん から離 はな れるのである。
力学 りきがく の基本 きほん は力 ちから を"正 ただ しく"図示 ずし することであり、正 まさ しく描 えが けていれば問題 もんだい はほぼ解 と けたものだと思 おも って良 よ い。なぜならば後述 こうじゅつ の運動 うんどう 方程式 ほうていしき
m
a
=
F
{\displaystyle ma=F}
を用 もち いることで、物体 ぶったい の運動 うんどう が分 わ かるからである。
力 ちから を図示 ずし する方法 ほうほう は次 つぎ の手順 てじゅん で行 おこな う。
触 ふ れていない力 ちから を描 えが く。これは重力 じゅうりょく (万有引力 ばんゆういんりょく )、静電気 せいでんき 力 りょく 、磁力 じりょく の3つしか存在 そんざい せず、力学 りきがく においては重力 じゅうりょく (万有引力 ばんゆういんりょく )である。
触 ふ れている力 ちから を描 えが く。人 ひと の手 て ・糸 いと の張力 ちょうりょく ・弾性 だんせい 力 りょく ・摩擦 まさつ 力 りょく など。
糸 いと で繋 つな がれた2物体 ぶったい 。
この手順 てじゅん に従 したが うと、例 たと えば右 みぎ 図 ず の力 ちから の図示 ずし が誤 あやま りなくできる。右 みぎ 図 ず は、質量 しつりょう がそれぞれ
m
{\displaystyle m}
、
M
{\displaystyle M}
の物体 ぶったい が糸 いと で繋 つな がれていて、右 みぎ 端 はし の糸 いと を力 ちから
F
{\displaystyle F}
で引 ひ っ張 ぱ っている(力 ちから
F
{\displaystyle F}
の矢印 やじるし が糸 いと と離 はな れたところにあるが、少 すこ し離 はな して描 えが いたほうが力 ちから の図示 ずし が綺麗 きれい にできる)。重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を
g
{\displaystyle g}
とすると、まず、手順 てじゅん 1からそれぞれに
m
g
{\displaystyle mg}
、
M
g
{\displaystyle Mg}
の重力 じゅうりょく がかかる。次 つぎ に糸 いと はたるんでいないので糸 いと の張力 ちょうりょく が、右 みぎ 端 はし に
T
0
{\displaystyle T_{0}}
、2物体 ぶったい の間 あいだ に右 みぎ から
T
1
{\displaystyle T_{1}}
、
T
2
{\displaystyle T_{2}}
と掛 か かる。垂直 すいちょく 抗力 こうりょく は重力 じゅうりょく とは反対 はんたい 向 む きに
N
1
{\displaystyle N_{1}}
、
N
2
{\displaystyle N_{2}}
かかる。これで、すべての力 ちから を図示 ずし できた。(下図 したず )
糸 いと で繋 つな がれた2物体 ぶったい 。図示 ずし 後 ご 。
質量 しつりょう
m
{\displaystyle m}
の物体 ぶったい に全 すべ ての合力 ごうりょく
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
がかかっている時 とき 、
m
a
=
F
{\displaystyle ma=F}
が成 な り立 た っている。この式 しき の意味 いみ するところは、「力 ちから の大 おお きさが分 わ かればその物体 ぶったい の運動 うんどう の様子 ようす もわかる」ということである。早速 さっそく 例題 れいだい 2-1を解 と いてみよう。
運動 うんどう の第 だい 1法則 ほうそく より、何 なに も力 ちから がはたらいていなければ、物体 ぶったい は運動 うんどう を続 つづ けるはずである。しかし現実 げんじつ では多 おお くの場合 ばあい いつかは静止 せいし してしまう(ボールを地面 じめん で転 ころ がしてみると理解 りかい できるだろう)。これは、運動 うんどう している向 む きとは逆 ぎゃく 向 む きに力 ちから が作用 さよう するからである。このようにあらい表面 ひょうめん 上 じょう で物体 ぶったい の運動 うんどう を妨 さまた げる向 む きに作用 さよう する力 ちから を摩擦 まさつ 力 りょく という。摩擦 まさつ 力 りょく には静止 せいし 摩擦 まさつ 力 りょく と動 どう 摩擦 まさつ 力 りょく と2種類 しゅるい ある。
※粘性 ねんせい 摩擦 まさつ 力 りょく もあるが、高校 こうこう では扱 あつか われない。
1.静止 せいし 摩擦 まさつ 力 りょく
あらい面 めん において、物体 ぶったい に多少 たしょう の力 ちから を加 くわ えてもビクともしない。これは摩擦 まさつ 力 りょく がはたらいているからであり、この力 ちから を静止 せいし 摩擦 まさつ 力 りょく という。押 お した力 ちから
F
{\displaystyle F}
と静止 せいし 摩擦 まさつ 力 りょく
F
0
{\displaystyle F_{0}}
はつりあっているから、
F
=
−
F
0
{\displaystyle F=-F_{0}}
である。
しかし、ある摩擦 まさつ 力 りょく を大 おお きくすると、物体 ぶったい は動 うご き出 だ す。その動 うご き出 だ す直前 ちょくぜん の摩擦 まさつ 力 りょく を最大 さいだい 静止 せいし 摩擦 まさつ 力 りょく という。この大 おお きさ
F
0
{\displaystyle F_{0}}
は、
F
0
=
μ みゅー
N
{\displaystyle F_{0}=\mu N}
で表 あらわ せられる。ただし、
μ みゅー
{\displaystyle \mu }
は静止 せいし 摩擦 まさつ 係数 けいすう といい、地面 じめん や物体 ぶったい によって様々 さまざま な値 ね をとる。
N
{\displaystyle N}
は垂直 すいちょく 抗力 こうりょく である。
2.動 どう 摩擦 まさつ 力 りょく
物体 ぶったい が運動 うんどう している時 とき にも、物体 ぶったい は摩擦 まさつ 力 りょく を受 う ける。だから物体 ぶったい は減速 げんそく し静止 せいし するのである。この摩擦 まさつ 力 りょく を動 どう 摩擦 まさつ 力 りょく という。そしてこの大 おお きさ
F
1
{\displaystyle F_{1}}
は、
F
1
=
μ みゅー
′
N
{\displaystyle F_{1}=\mu 'N}
で表 あらわ せられる。
μ みゅー
′
{\displaystyle \mu '}
は静止 せいし 摩擦 まさつ 係数 けいすう といい、
N
{\displaystyle N}
は垂直 すいちょく 抗力 こうりょく である。
様々 さまざま な力 ちから を見 み てきたが、ここで一旦 いったん まとめてみよう。重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を
g
{\displaystyle g}
とする。
m
a
=
F
{\displaystyle ma=F}
力 ちから が分 わ かれば運動 うんどう の様子 ようす もわかる、ということを示 しめ している式 しき である。
F
{\displaystyle F}
〔N〕は合力 ごうりょく の力 ちから の大 おお きさということに注意 ちゅうい せよ。
重力 じゅうりょく
m
g
{\displaystyle mg}
力学 りきがく において、まず最初 さいしょ に考 かんが えるべき力 ちから である。質量 しつりょう がある限 かぎ りは必 かなら ずかかる力 ちから である。「重 おも さ」ともいう。
糸 いと の張力 ちょうりょく
T
{\displaystyle T}
糸 いと が持 も っている引 ひ っ張 ぱ る力 ちから のこと。ぴんと張 は っていればはたらいており、力 ちから の釣 つ り合 あ いを考 かんが えられる。
糸 いと で繋 つな がれた2物体 ぶったい 。
左 ひだり 図 ず のようになめらかな床 ゆか に質量 しつりょう がそれぞれ
m
{\displaystyle m}
、
M
{\displaystyle M}
の物体 ぶったい が糸 いと で繋 つな がれていて、右 みぎ 端 はし の糸 いと を力 ちから
F
{\displaystyle F}
で引 ひ っ張 ぱ る。重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を
g
{\displaystyle g}
として次 つぎ の問 と いに答 こた えよ。
(1) 加速度 かそくど
a
{\displaystyle a}
を求 もと めよ。
(2) 2物体 ぶったい に繋 つな がれている糸 いと の張力 ちょうりょく
T
{\displaystyle T}
を求 もと めよ。
滑 なめ らかな斜面 しゃめん の上 うえ に質量 しつりょう
m
{\displaystyle m}
の物体 ぶったい が置 お かれている。斜面 しゃめん の角度 かくど は30°である。物体 ぶったい が天井 てんじょう に固定 こてい された糸 いと で斜 なな め上方 かみがた に引 ひ っ張 ぱ られ、糸 いと が鉛直 えんちょく 方向 ほうこう となす角 かく も 30° である。物体 ぶったい の床 ゆか からの高 たか さを
h
{\displaystyle h}
とし、重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を
g
{\displaystyle g}
とする。
(1) 物体 ぶったい にかかる力 ちから をすべて書 か きだせ。
(2) 糸 いと の張力 ちょうりょく
T
{\displaystyle T}
および、物体 ぶったい が斜面 しゃめん から受 う ける垂直 すいちょく 抗力 こうりょく
N
{\displaystyle N}
をそれぞれ求 もと めよ。
次 つぎ に糸 いと を静 しず かに着 き ると、物体 ぶったい は滑 すべ り降 お りていった。
(3) この物体 ぶったい が斜面 しゃめん を滑 すべ り降 お りて地面 じめん に到着 とうちゃく する時 とき 間 あいだ を求 もと めよ。
弾性 だんせい 力 りょく
−
k
x
{\displaystyle -kx}
ばねが自然 しぜん 長 ちょう へと戻 もど ろうとする力 ちから 。
x
{\displaystyle x}
〔m〕はバネの長 なが さではなく、自然 しぜん 長 ちょう からの長 なが さである。
左 ひだり 図 ず のようにバネが1本 ほん (①)と2本 ほん 接続 せつぞく されたバネが2種類 しゅるい (②、③)ある。どのバネも軽 かる く丈夫 じょうぶ で、バネ定数 ていすう は10 N/mである。それぞれを全体 ぜんたい で20 cm伸 の ばすには何 なに Nの力 ちから が必要 ひつよう か。
垂直 すいちょく 抗力 こうりょく
N
{\displaystyle N}
作用 さよう ・反作用 はんさよう の法則 ほうそく で地面 じめん から押 お し返 かえ される力 ちから のこと。
N
=
m
g
{\displaystyle N=mg}
〔N〕とは限 かぎ らない。
作用 さよう させる力 ちから の大 おお きさが一定 いってい 値 ち 以下 いか だと静止 せいし 摩擦 まさつ 力 りょく により物体 ぶったい は動 うご かない。静止 せいし 摩擦 まさつ 力 りょく が"耐 た える"限界 げんかい のとき、
F
0
=
−
μ みゅー
N
{\displaystyle F_{0}=-\mu N}
〔N〕となるし、限界 げんかい でなければ釣 つ り合 あ う。
動 どう 摩擦 まさつ 力 りょく
μ みゅー
′
N
{\displaystyle \mu 'N}
こちらの摩擦 まさつ 力 りょく は動 うご いているならば一 いち 定値 ていち
−
μ みゅー
′
N
{\displaystyle -\mu 'N}
〔N〕をとる。
圧力 あつりょく
p
{\displaystyle p}
(力 ちから ではない)
圧力 あつりょく の概 がい 図 ず 。
力 ちから がある面 めん 全体 ぜんたい に加 くわ わる時 とき 、面 めん の単位 たんい 面積 めんせき 当 あ たりに加 くわ わる力 ちから の大 おお きさを圧力 あつりょく という。圧力 あつりょく の単位 たんい はパスカル〔Pa〕である。面積 めんせき
S
{\displaystyle S}
の面 めん に力 ちから
F
{\displaystyle F}
〔N〕が加 くわ わったとすると、その圧力 あつりょく
p
{\displaystyle p}
〔Pa〕は、
p
=
F
S
{\displaystyle p={\frac {F}{S}}}
〔Pa〕
である。
水圧 すいあつ
p
′
{\displaystyle p'}
(力 ちから ではない)
水圧 すいあつ の説明 せつめい 図 ず 。水深 すいしん が深 ふか くなるほど、比例 ひれい して水圧 すいあつ が強 つよ くなる。水圧 すいあつ の方向 ほうこう は、物体 ぶったい の面 めん に垂直 すいちょく 方向 ほうこう に働 はたら く。
水 みず による圧力 あつりょく を水圧 すいあつ という。右 みぎ 図 ず のように、水深 すいしん
h
{\displaystyle h}
〔m〕の水中 すいちゅう に上面 うわつら の面積 めんせき
S
{\displaystyle S}
〔m2 〕をもつ物体 ぶったい があるとき、このうえには体積 たいせき
h
S
{\displaystyle hS}
〔m3 〕の水 みず がある。水 みず の密度 みつど を
ρ ろー
{\displaystyle \rho }
〔kg/m3 〕とすると、この水 みず の質量 しつりょう
m
{\displaystyle m}
〔kg〕は、
m
=
ρ ろー
h
S
{\displaystyle m=\rho hS}
〔kg〕となる。よって、水圧 すいあつ
p
′
{\displaystyle p'}
〔Pa〕は、
p
′
=
m
g
S
=
ρ ろー
h
g
{\displaystyle p'={\frac {mg}{S}}=\rho hg}
〔Pa〕
浮力 ふりょく
F
f
{\displaystyle F_{f}}
水 みず に浮 う かぶ物体 ぶったい は、物体 ぶったい の重 おも さと浮力 ふりょく とが釣 つ り合 あ うときに、物体 ぶったい は静止 せいし する。 また、浮力 ふりょく の大 おお きさは、水面 すいめん から下 した で物体 ぶったい が排除 はいじょ した重 おも さによる力 ちから の大 おお きさに等 ひと しい。
「水圧 すいあつ
p
′
{\displaystyle p'}
」と同 おな じく、深 ふか さ
h
{\displaystyle h}
〔m〕のところに底 そこ 面積 めんせき
S
{\displaystyle S}
〔m2 〕高 たか さ
l
{\displaystyle l}
〔m〕の物体 ぶったい があるとする。物体 ぶったい の体積 たいせき を
V
=
S
l
{\displaystyle V=Sl}
〔m3 〕とおく。この物体 ぶったい の上面 うわつら 下面 かめん が受 う ける水圧 すいあつ を
p
1
{\displaystyle p_{1}}
〔Pa〕、
p
2
{\displaystyle p_{2}}
〔Pa〕とすると、
p
1
=
ρ ろー
h
g
{\displaystyle p_{1}=\rho hg}
〔Pa〕、
p
2
=
ρ ろー
(
h
+
l
)
g
{\displaystyle p_{2}=\rho (h+l)g}
〔Pa〕となるので、物体 ぶったい が水 みず から受 う ける合力 ごうりょく
F
f
{\displaystyle F_{f}}
〔N〕は、
F
f
=
p
2
S
−
p
1
S
=
ρ ろー
S
l
g
=
ρ ろー
V
g
{\displaystyle F_{f}=p_{2}S-p_{1}S=\rho Slg=\rho Vg}
〔N〕
水 みず の上 うえ に静 しず かに物体 ぶったい を置 お くと沈 しず むことなく浮 う いた。
各 かく 辺 あたり が
l
{\displaystyle l}
〔m〕の立方体 りっぽうたい を水 みず に静 しず かに浮 う かべると、立方体 りっぽうたい は沈 しず むことなく静止 せいし した。水 みず の密度 みつど を
ρ ろー
0
{\displaystyle \rho _{0}}
〔kg/m3 〕とし立方体 りっぽうたい の密度 みつど を
ρ ろー
1
{\displaystyle \rho _{1}}
〔kg/m3 〕、重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を
g
{\displaystyle g}
〔m/s2 〕とする。
(1) このときの浮力 ふりょく
F
0
{\displaystyle F_{0}}
〔N〕を求 もと めよ。
次 つぎ に、力 ちから
F
{\displaystyle F}
〔N〕で立方体 りっぽうたい を押 お すと、
h
{\displaystyle h}
〔m〕だけ沈 しず んだ。
(2) このときの浮力 ふりょく
F
1
{\displaystyle F_{1}}
〔N〕を求 もと めよ。
(3) 立方体 りっぽうたい を全 すべ て水 みず の中 なか に沈 しず めるために最低限 さいていげん 必要 ひつよう な力 ちから
F
′
{\displaystyle F'}
〔N〕を求 もと めよ。
十分 じゅうぶん に長 なが い坂道 さかみち でキックボードに乗 の って坂 さか を下 くだ ってみたとする(危険 きけん なので、絶対 ぜったい にマネしないこと)。するとスビードは最初 さいしょ は上 あ がるものの、加速度 かそくど は減少 げんしょう していき、最終 さいしゅう 的 てき に一定 いってい の速度 そくど になる。
さて、なぜ終端 しゅうたん 速度 そくど に達 たっ するのだろうか。それは、空気 くうき の抵抗 ていこう 力 りょく がはたらいているからであり、この力 ちから の大 おお きさは
k
v
{\displaystyle kv}
で表 あらわ せられる。
k
{\displaystyle k}
は空気 くうき の抵抗 ていこう 力 りょく の比例 ひれい 定数 ていすう であり、
v
{\displaystyle v}
は物体 ぶったい の速 はや さである。そしてこの向 む きは当然 とうぜん 、運動 うんどう 方向 ほうこう に逆 ぎゃく 向 む きである。
終端 しゅうたん 速度 そくど の問題 もんだい を解 と く際 さい 、”等 とう 速 そく ”というワードに注意 ちゅうい すると
m
a
=
F
{\displaystyle ma=F}
より
a
=
0
{\displaystyle a=0}
から、
F
=
0
{\displaystyle F=0}
を考 かんが えれば良 よ い。つまり、力 ちから のつりあい を考 かんが えてやれば良 よ いのである。
キックボードと無限 むげん に長 なが い坂 さか 。
あなたの代 か わりにA君 くん がキックボードに乗 の って角度 かくど
θ しーた
{\displaystyle \theta }
のなめらかな斜面 しゃめん の長 なが さが十分 じゅうぶん に長 なが い坂 さか を下 くだ ると、十分 じゅうぶん に時間 じかん が経 た った後 のち 、速 はや さ
v
∞
{\displaystyle v_{\infty }}
で一定 いってい になった。A君 くん とキックボードの質量 しつりょう を
m
{\displaystyle m}
、重力 じゅうりょく 加速度 かそくど の大 おお きさを
g
{\displaystyle g}
とし、キックボードと地面 じめん の間 あいだ に摩擦 まさつ はないものとする。さらに、速 はや さが
v
{\displaystyle v}
のとき、空気 くうき の抵抗 ていこう 力 りょく
k
v
{\displaystyle kv}
がはたらくものとする。
(1)
v
∞
{\displaystyle v_{\infty }}
を求 もと めよ。
(2) v-tグラフを描 か け。
加速度 かそくど
a
{\displaystyle a}
〔m/s2 〕で運動 うんどう している観測 かんそく 者 しゃ から見 み ると質量 しつりょう
m
{\displaystyle m}
〔kg〕の物体 ぶったい には加速度 かそくど と逆 ぎゃく 向 む きに力 ちから
m
a
{\displaystyle ma}
〔N〕が働 はたら いているようにみえる。この見 み かけの力 ちから を慣性 かんせい 力 りょく という。そして例 たと えば右向 みぎむ きに加速度 かそくど
a
{\displaystyle a}
〔m/s2 〕で減速 げんそく している電車 でんしゃ の中 なか から駅 えき のホームで静止 せいし している質量 しつりょう
M
{\displaystyle M}
の駅員 えきいん を見 み ると、駅員 えきいん は左向 ひだりむ きに加速度 かそくど
a
{\displaystyle a}
〔m/s2 〕で減速 げんそく しているように見 み え、
m
a
=
F
{\displaystyle ma=F}
より駅員 えきいん は
M
a
{\displaystyle Ma}
の力 ちから を受 う けているようにみえる。
エレベーターに体重 たいじゅう 計 けい を置 お きその上 うえ に体重 たいじゅう (質量 しつりょう )60 kgの人間 にんげん が乗 の る。このとき、次 つぎ の問 と いに答 こた えよ。ただし、重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を10 m/s2 とする。
(1) エレベーターが一定 いってい の加速度 かそくど 5.0 m/s2 で下降 かこう している。このときに体重 たいじゅう 計 けい が示 しめ す値 ね を求 もと めよ。
(2) エレベーターが一定 いってい の加速度 かそくど 4.0 m/s2 で上昇 じょうしょう している。このときに体重 たいじゅう 計 けい が示 しめ す値 ね を求 もと めよ。
(3) 人間 にんげん が無 む 重量 じゅうりょう 状態 じょうたい になるためのエレベーターの下向 したむ きの加速度 かそくど の大 おお きさを求 もと めよ。
滑車 かっしゃ 。
図 ず のように、質量 しつりょう
2
M
{\displaystyle 2M}
と
M
{\displaystyle M}
の物体 ぶったい を糸 いと につなぎ動 どう 滑車 かっしゃ にかける。さらにその動 どう 滑車 かっしゃ を質量 しつりょう
4
M
{\displaystyle 4M}
の物体 ぶったい が繋 つな がれた糸 いと の他 た 端 はし につなぎ定 てい 滑車 かっしゃ にかける。重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を
g
{\displaystyle g}
として、以下 いか の問 と いに答 こた えよ。ただし、滑車 かっしゃ の質量 しつりょう は無視 むし できるものとし、空気 くうき 抵抗 ていこう は考 かんが えないものとする。
(1) 3つの物体 ぶったい の運動 うんどう 方程式 ほうていしき を表 あらわ せ。ただし、質量 しつりょう
4
M
{\displaystyle 4M}
の物体 ぶったい の地面 じめん に対 たい する加速度 かそくど の大 おお きさを
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
、動 どう 滑車 かっしゃ に対 たい する質量 しつりょう
2
M
{\displaystyle 2M}
、
M
{\displaystyle M}
の物体 ぶったい の地面 じめん に対 たい する加速度 かそくど の大 おお きさを
β べーた
{\displaystyle \beta }
とし、定 てい 滑車 かっしゃ にかかる糸 いと の張力 ちょうりょく を
T
{\displaystyle T}
とする。さらに、鉛直 えんちょく 下向 したむ きを正 せい の方向 ほうこう とする。
(2)
T
{\displaystyle T}
を
M
{\displaystyle M}
と
g
{\displaystyle g}
を用 もち いて表 あらわ せ。
(3) 全体 ぜんたい で静止 せいし するためには、左 ひだり と右 みぎ の物体 ぶったい の質量 しつりょう をどのように変 か えたら良 よ いか。
剛体 ごうたい とは思 おも い切 き り力 りょく を加 くわ えても変形 へんけい しないとても固 かた い物体 ぶったい の固体 こたい である。
細長 ほそなが い木 き の棒 ぼう を水平 すいへい な机 つくえ の上 うえ において一 いち 端 はし に力 ちから を加 くわ えると棒 ぼう は回転 かいてん する。この様 よう に、力 ちから には物体 ぶったい を回転 かいてん させる性質 せいしつ がある。これを力 ちから のモーメントという。
力 ちから のモーメントの大 おお きさ
M
{\displaystyle M}
〔N・m〕は回転 かいてん させようとしている力 ちから の垂直 すいちょく 成分 せいぶん の大 おお きさを
F
{\displaystyle F}
〔N〕、ある1点 てん から力 ちから の作用 さよう 点 てん への最短 さいたん 距離 きょり を
l
{\displaystyle l}
〔m〕とすると、
M
=
F
l
{\displaystyle M=Fl}
となる。「ある1点 てん 」の場所 ばしょ はどこでもよいが問題 もんだい で指定 してい されている場合 ばあい 、指示 しじ に従 したが うこと。一般 いっぱん 的 てき に反 はん 時計 とけい 回 まわ りの向 む きを正 まさ に取 と ることが多 おお い。
次 つぎ に力 ちから のモーメントは釣 つ り合 あ う。”力 りょく の回転 かいてん させる要素 ようそ ”が釣 つ り合 あ っている…ということは、「回転 かいてん しない」と言 い うことになる。釣 つ り合 あ いの式 しき は、力 ちから の釣 つ り合 あ いと同様 どうよう に、
M
1
+
M
2
+
M
3
+
⋅
⋅
⋅
+
M
n
=
0
{\displaystyle M_{1}+M_{2}+M_{3}+\cdot \cdot \cdot +M_{n}=0}
この公式 こうしき を用 もち いてもよい。しかしこの式 しき では分 わ かりにくいので次 つぎ のように考 かんが えるのが良 よ い。
(反 はん 時計 とけい 回 まわ りの力 ちから のモーメント)=(時計 とけい 回 まわ りの力 ちから のモーメント)
では、例題 れいだい を通 つう じてどのように適用 てきよう すれば良 よ いか確認 かくにん しよう。
A端 はし が半径 はんけい 0.10 mでありB端 はし が半径 はんけい 0.20 mである円錐 えんすい 台 だい がある。2人 ふたり がこの両 りょう 端 はし を持 も って時計 とけい 回 まわ りに回 まわ してどちらが回 まわ そうとした方向 ほうこう に回 まわ るか競 きそ うゲームをする。B端 はし を持 も った人 ひと が5.0 Nの力 ちから で回 まわ そうとするとき、A端 はし を持 も った人 ひと が負 ま けないためには何 なに Nの力 ちから が必要 ひつよう か。
シーソーに乗 の る2人 ふたり 。
図 ず のようにシーソーを考 かんが える。ただしシーソーは全長 ぜんちょう が5.0 mで質量 しつりょう が無視 むし できる丈夫 じょうぶ なものとする。A端 はし に60 kg、B端 はし に40 kgの人 ひと が乗 の る。シーソーが地面 じめん と水平 すいへい になるためには支柱 しちゅう Oは左端 ひだりはし から何 なに mに置 お けば良 よ いか。重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を9.8 m/s2 とする。
角度 かくど を変 か えられる荒 あら い斜面 しゃめん 上 じょう に横 よこ
a
{\displaystyle a}
縦 たて
b
{\displaystyle b}
の物体 ぶったい を置 お く。最初 さいしょ 斜面 しゃめん の角度 かくど が
θ しーた
{\displaystyle \theta }
のとき、物体 ぶったい は静止 せいし した。このとき、角度 かくど
θ しーた
{\displaystyle \theta }
は直方体 ちょくほうたい が静止 せいし できる最大 さいだい 角 かく である。斜面 しゃめん と物体 ぶったい の静止 せいし 摩擦 まさつ 係数 けいすう を
μ みゅー
{\displaystyle \mu }
とし、重力 じゅうりょく 加速度 かそくど を
g
{\displaystyle g}
とする。
(1) 直方体 ちょくほうたい にはたらく垂直 すいちょく 抗力 こうりょく と静止 せいし 摩擦 まさつ 力 りょく の大 おお きさを求 もと めよ。
(2)
tan
θ しーた
{\displaystyle \tan \theta }
を求 もと めよ。
(3) 静止 せいし 摩擦 まさつ 係数 けいすう
μ みゅー
′
{\displaystyle \mu '}
はいくら以上 いじょう であると考 かんが えられるか。
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
を用 もち いて表 あらわ せ。
今 いま までは途中 とちゅう 経過 けいか が分 わ からなければ(速度 そくど や加速度 かそくど が求 もと められなければ)運動 うんどう の様子 ようす が分 わ からなかった。今 こん 項 こう の保存 ほぞん 則 そく を使 つか えば、最終 さいしゅう 結果 けっか であれば分 わ かるようになるのである。
物理 ぶつり における「仕事 しごと 」の量 りょう
W
{\displaystyle W}
は次 つぎ のように定義 ていぎ される。
W
=
F
x
{\displaystyle W=Fx}
ここで注意 ちゅうい 。力 ちから
F
{\displaystyle F}
は一定 いってい の場合 ばあい にしか用 もち いることはできず、さらに移動 いどう するのに”役立 やくだ つ”方向 ほうこう の大 おお きさを用 もち いなればならない。
仕事 しごと とは後 ご の結果 けっか である。これに対 たい して「これからやる」という前 まえ の可能 かのう 性 せい をエネルギーという。
1
2
m
A
v
A
2
+
1
2
m
B
v
B
2
=
1
2
m
A
v
A
′
2
+
1
2
m
B
v
B
′
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{A}{v_{A}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{B}{v_{B}}^{2}={\frac {1}{2}}m_{A}{v_{A}'}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{B}{v_{B}'}^{2}}
m
A
v
A
+
m
B
v
B
=
m
A
v
A
′
+
m
B
v
B
′
{\displaystyle m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}=m_{A}v_{A}'+m_{B}v_{B}'}
上 うえ 式 しき を運動 うんどう 方程式 ほうていしき から導出 どうしゅつ する。
m
a
→
=
F
→
→
m
d
v
→
d
t
=
F
→
→
m
⋅
d
v
→
=
F
→
⋅
d
t
→
Δ でるた
m
v
=
∫
F
→
d
t
{\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}\rightarrow m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}}\rightarrow m\cdot d{\vec {v}}={\vec {F}}\cdot dt\rightarrow \Delta mv=\int {\vec {F}}dt}
よってF=0ならば運動 うんどう 量 りょう p(=mv)は変化 へんか しない。
衝突 しょうとつ の問題 もんだい は、運動 うんどう 量 りょう 保存 ほぞん 則 そく と衝突 しょうとつ の式 しき を並列 へいれつ して解 と く。
衝突 しょうとつ の式 しき
e
=
−
v
B
′
−
v
A
′
v
B
−
v
A
{\displaystyle e=-{\frac {v_{B}'-v_{A}'}{v_{B}-v_{A}}}}
円 えん の中心 ちゅうしん に向 む かってx軸 じく をとる。
物体 ぶったい の運動 うんどう 方向 ほうこう に向 む かってy軸 じく をとる。
物体 ぶったい がはじめに運動 うんどう する方向 ほうこう に向 む かってx軸 じく をとる。
1
2
m
A
v
2
+
1
2
k
x
2
=
1
2
m
A
v
′
2
+
1
2
k
x
′
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{A}v^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m_{A}v'^{2}+{\frac {1}{2}}kx'^{2}}
^ 微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく の基本 きほん 定理 ていり が成 な り立 た つ限 かぎ りにおいて 、積分 せきぶん と微分 びぶん は互 たが いの逆 ぎゃく 変換 へんかん となる。この限 かぎ りにおいて、微分 びぶん の「反対 はんたい 」は積分 せきぶん となる。よく知 し られているように、アイザック・ニュートン とゴットフリート・ライプニッツ は幾何 きか 学 がく 的 てき な方法 ほうほう に頼 たの まず、算術 さんじゅつ として基本 きほん 定理 ていり が成 な り立 た つことを発見 はっけん している。純粋 じゅんすい に幾何 きか 学 がく を用 もち いた方法 ほうほう では、彼 かれ らに先立 さきだ つ先駆 せんく 者 しゃ が数 すう 名 めい いる。
^ 大雑把 おおざっぱ に言 い って積分 せきぶん とは合計 ごうけい を求 もと めることである。たとえば時々刻々 じじこくこく の時給 じきゅう を計算 けいさん して月々 つきづき の収入 しゅうにゅう (ないし給与 きゅうよ 額 がく )を算出 さんしゅつ しているとき、人 ひと は積分 せきぶん をしているのである。物理 ぶつり 学 がく に限 かぎ らず有用 ゆうよう な例 れい として、確 かく 率 りつ や期待 きたい 値 ち の計算 けいさん もまた積分 せきぶん の考 かんが えを利用 りよう したものである。
^ 現実 げんじつ 的 てき には走行 そうこう 速度 そくど などによらず一定 いってい の加速度 かそくど を得 え ることは難 むずか しい。特 とく に最高 さいこう 速度 そくど が機械 きかい 的 てき な限界 げんかい によって規定 きてい される場合 ばあい には尚更 なおさら である。しかし物理 ぶつり 学 がく において、このような非常 ひじょう に大雑把 おおざっぱ な線引 せんひ きをしてみると役 やく に立 た つことが多 おお い。
^ 危険 きけん である。しかしながら物理 ぶつり 的 てき には可能 かのう であるし、これは物理 ぶつり の例題 れいだい なので現実 げんじつ の法的 ほうてき 問題 もんだい には触 ふ れないこととする。
^ 厳密 げんみつ には「同義 どうぎ である」と仮定 かてい する。この仮定 かてい はガリレイの相対性原理 そうたいせいげんり から導 みちび かれる。
^ 従 したが って、相手 あいて を見 み て興奮 こうふん したり威嚇 いかく したり、そうしたことによって相対 そうたい 速度 そくど が変化 へんか するようなことはない。
^ 数値 すうち 計算 けいさん の能力 のうりょく を問 と うような問題 もんだい でない限 かぎ り、計算 けいさん が煩雑 はんざつ にならないような数値 すうち が用 もち いられることが多 おお い。たとえば 19.6 は 9.8 で割 わ り切 き ることができる。
^ この行動 こうどう が如何 いか に危険 きけん であるかについては説明 せつめい を省 はぶ く。物理 ぶつり 学 がく の素晴 すば らしいことは実際 じっさい に行動 こうどう せずとも、紙面 しめん の上 うわ や思考 しこう の中 なか でそれを確認 かくにん できることである。
^ ちなみに、このように自由 じゆう 落下 らっか した物体 ぶったい を斜 はす 方 かた 投射 とうしゃ により衝突 しょうとつ させるような状況 じょうきょう を「モンキー・ハンティング」という(Aは弾丸 だんがん 、Bは猿 さる である)。
^ これは、「運動 うんどう の第 だい 2法則 ほうそく 」
m
a
=
F
{\displaystyle ma=F}
により理解 りかい されるだろう。
^ とは言 い えニュートンの定式 ていしき 化 か は現在 げんざい 親 した しまれる形式 けいしき とは幾分 いくぶん 異 こと なっている。現代 げんだい 的 てき な形式 けいしき の素地 そじ となっているのは数学 すうがく 的 てき にはレオンハルト・オイラー の仕事 しごと であり、物理 ぶつり 的 てき にはジャン・ル・ロン・ダランベール の仕事 しごと であるとされる。