大学だいがく受験じゅけん物理ぶつり/力学りきがく

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速度そくど・加速度かそくど

例題れいだい・問題もんだいの解答かいとう解説かいせつは解答かいとう解説かいせつを参照さんしょう。

等とう速度そくど運動うんどう

等とう速度そくど運動うんどうは、速度そくどまたは速度そくどの大おおきさが時間じかんによらず一定いっていな運動うんどうである。特とくに、運動うんどうの向むきが常つねに一定いっていである運動うんどうを等ひとし速そく直線ちょくせん運動うんどうという。 例たとえば、自動車じどうしゃが 6 秒間びょうかんだけ速度そくど 10 m/s で走はしった場合ばあい、その間あいだの自動車じどうしゃの変位へんい $x$ は、

$x=10\ \mathrm {m/s} \times 6\ \mathrm {s} =60\ \mathrm {m}$

である。

等とう加速度かそくど運動うんどう

加速度かそくどとは、単位たんい時間じかん当あたりの速度そくどの時間じかん変化へんか率りつのことである。 例たとえば時刻じこく 0 s で速度そくどが 2 m/s であり時刻じこく 2 s で速度そくどが 12 m/s だったとすると、その間あいだの加速度かそくど $a$ は、

$a={\frac {12\ \mathrm {m/s} -2\ \mathrm {m/s} }{2\ \mathrm {s} -0\ \mathrm {s} }}=5\ \mathrm {m/s} ^{2}$

である。

次つぎに加速度かそくどが一定いっていである場合ばあいの速度そくどや変位へんいを考かんがえよう。物体ぶったいの運動うんどう方向ほうこうに向むかって $x$ 軸じくをとる。

等とう加速度かそくど運動うんどうの$\scriptstyle v-t$ グラフ。
縦たて軸じくに速度そくど、横よこ軸じくに時刻じこくをとる。

まず、速度そくど $v$ を求もとめる。左ひだりのグラフの通とおり、時間じかん当あたりの速度そくどの変化へんかが加速度かそくど $a$ にあたるので、初はつ速度そくどを $v_{0}$ とすれば、時刻じこく $t$ における速度そくどとして

$v=v_{0}+at$

が得えられる。

次つぎに、変位へんい $x$ を考かんがえる。変位へんいは $v-t$ グラフの面積めんせきに等ひとしいので、

$x={\frac {(v_{0}+v)t}{2}}=v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$

である。最後さいごに速度そくど $v$ の式しきを

$t={\frac {v-v_{0}}{a}}$

と変形へんけいし、変位へんい $x$ の式しきに代入だいにゅうすれば、

$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$

となる。

まとめると、次つぎのようになる。

• 等とう加速度かそくど運動うんどうする物体ぶったいの速度そくどと時刻じこくの公式こうしき

$v=v_{0}+at$

• 等とう加速度かそくど運動うんどうする物体ぶったいの変位へんいと時刻じこくの公式こうしき

$x=v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$

• 等とう加速度かそくど運動うんどうする物体ぶったいの速度そくどと変位へんいの公式こうしき

$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$

3 つ目めの公式こうしきには時刻じこく $t$ があらわには入はいらない。また、この関係かんけいはエネルギー保存ほぞんの法則ほうそくから導出どうしゅつすることができる。

[--Advanced--]

　以上いじょうの説明せつめいをもっと簡潔かんけつにするならば、微分びぶん法ほうと積分せきぶん法ほうの考かんがえが必要ひつようになる。変位へんいを $x$、速度そくどを $v$、加速度かそくどを $a$ とする。まずは加速度かそくど $a$ から順じゅんを追おって説明せつめいしよう。加速度かそくど $a(t)$ は次つぎのように定義ていぎされる。

$a(t)={\frac {dv(t)}{dt}}$

これは速度そくど $v(t)$ を変数へんすう $t$（ここでは時刻じこくのこと）について微分びぶんした、という意味いみである。図形ずけい的てきな理解りかいとして、微分びぶんとは曲線きょくせんの接線せっせんを引ひくこと、特とくに接線せっせんの傾かたむきを求もとめることに対応たいおうしている。物理ぶつり学がくでは小ちいさな変化へんかに対たいしてどれだけ鋭敏えいびんな反応はんのうが起おこるか確たしかめるために微分びぶんを使つかったりする。 では反対はんたいに、$a$ を積分せきぶんしたらどうだろうか。ここで $a$ は定数ていすうとする。

$\int a\,dt=at+\mathrm {C} =v(t)$（$\mathrm {C}$ は積分せきぶん定数ていすう）

すなわち、速度そくどは加速度かそくどの積分せきぶんで得えられるということである。また、積分せきぶんの最初さいしょの時刻じこくを $t=0$ とすれば積分せきぶん定数ていすう $\mathrm {C}$ は初はつ速度そくど $v(0)=v_{0}$ に化ばける。ところで上記じょうきの関係かんけいを定義ていぎに従したがって、微分びぶんを用もちいて書かいてみよう。

$\int _{0}^{t}a(t')\,dt'=\int _{0}^{t}{\frac {dv(t')}{dt'}}\,dt'$

現在げんざい用もちいられている微分びぶんと積分せきぶんの記法きほうは微分びぶん積分せきぶん学がくの建設けんせつ者しゃの一人ひとりであるライプニッツに由来ゆらいするが、ライプニッツは便利べんりな記法きほうを開発かいはつしている。上記じょうきの式しきは積分せきぶん変数へんすうを時刻じこく $t'$ から速度そくど $v(t')$ に乗のり換かえることができ

$\int _{0}^{t}{\frac {dv(t')}{dt'}}\,dt'=\int _{v(0)}^{v(t)}dv(t')=v(t)-v(0)$

と計算けいさんできる。あたかも単たんなる数かずであるかのように $dt'$ を消去しょうきょすることができ、あとは時間じかんごとの速度そくど差さ $dv(t')$ を足たし算ざんしていけば、結局けっきょく中間ちゅうかんの時刻じこくにおける速度そくどの寄与きよは相殺そうさいされ、最初さいしょと最後さいごの時刻じこくにおける速度そくどの差さ $v(t)-v(0)$ に書かき換かえられる。

さて、話はなしを物理ぶつりに戻もどそう。速度そくど $v$ は微分びぶんの考かんがえを適用てきようすれば次つぎのように定義ていぎできる。

$v(t)={\frac {dx(t)}{dt}}$

従したがって同様どうように、初はつ速度そくど $v_{0}$ があるものとして $v(t)$ を積分せきぶんすれば、

$x(t)=\int v(t)\,dt=\int v_{0}+at\,dt=v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$

となる。このように微分びぶん法ほう・積分せきぶん法ほうを用もちいればシンプルに公式こうしきを導出どうしゅつすることができるのだが、頻繁ひんぱんに用もちいられるため上記じょうき3式しきは覚おぼえるべきである。

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例題れいだい 1 - 1

ある電車でんしゃは加速度かそくど 1.0 m/s² で加速かそくし、その最高さいこう速度そくどは 72 km/h まで達たっする。線路せんろ中ちゅうに速度そくど制限せいげんはないものとする。以下いかの問といについて有効ゆうこう数字すうじ 2 桁けたで答こたえよ。

(1) 電車でんしゃの最さい高速度こうそくどを単位たんい m/s で表あらわせ。

A 駅えきを出発しゅっぱつして B 駅えきで到着とうちゃくするとき、速度そくど $v$ と時刻じこく $t$ の関係かんけいは以下いかのようになった。このグラフを $v-t$ グラフという。

$\scriptstyle v-t$ グラフ

(2) 減速げんそく時じの加速度かそくどを求もとめよ。

(3) A 駅えきから B 駅えきへの距離きょりはいくらか。

(4) これまでの問といを参考さんこうにして、電車でんしゃの A 駅えきからの変位へんい $x$ と時刻じこくの関係かんけいを表あらわす $x-t$ グラフを描かけ。

ところで、有効ゆうこう数字すうじ 2 桁けたとはどういう意味いみだろうか。有効ゆうこう数字すうじとはその数値すうちのうち信頼しんらいできる桁けたの数かずを示しめす。

例たとえば 5.4270019 という値ねが測定そくていされても、その測定そくてい値ちの有効ゆうこう数字すうじが 2 桁けたであれば信頼しんらいできる値ねは初はじめの 2 桁けただけ（つまりこの場合ばあいは 5.4 まで）である。同様どうように 5.3794306 という値ねが測定そくていされた場合ばあい、有効ゆうこう数字すうじが 2 桁けたであればその測定そくてい値ちは 3 桁けた目めを四捨五入ししゃごにゅうして 5.4 と評価ひょうかされる。

このように有効ゆうこう数字すうじは測定そくてい値ちのうち測定そくてい誤差ごさの影響えいきょうの比較的ひかくてき小ちいさい部分ぶぶんを簡便かんべんに評価ひょうかすることに使つかわれる。測定そくてい値ちの評価ひょうか法ほうとして正統せいとうな方法ほうほうは、有効ゆうこう数字すうじではなく測定そくてい値ちの不ふ確かくかさを評価ひょうかすることであるが、（傾向けいこうだけ分わかれば済すむような）大雑把おおざっぱな評価ひょうかで間まに合あう場合ばあいには有効ゆうこう桁数けたすうだけに気きを使つかえばよい。

有効ゆうこう数字すうじの桁数けたすうは数字すうじが何なん個こあるかを考かんがえれば良よい。ただし、最初さいしょが 0 で始はじまる数値すうち（例れい：0.52）などは小数点しょうすうてんの後のちからを数かぞえる。

• 例れい

1.3 → 有効ゆうこう数字すうじ 2 桁けた、0.2 → 有効ゆうこう数字すうじ 1 桁けた

5.573 → 有効ゆうこう数字すうじ 4 桁けた、−0.84 → 有効ゆうこう数字すうじ 2 桁けた

有効ゆうこう数字すうじを使つかった評価ひょうかをする際さい、測定そくてい値ちを指数しすう表記ひょうき、つまり

$x\times 10^{n},\quad 0\leq x<10,\,n=\ldots ,-1,0,1,\ldots$

のような形式けいしきに書かき換かえたほうが分わかりやすい。たとえば

340.5 → 3.405 × 10²

0.00602 → 6.02 × 10⁻³

12000.0 → 1.20000 × 10⁴

これは小数点しょうすうてんの位置いちを固定こていした表記ひょうき法ほうの場合ばあい、有効ゆうこう桁数けたすうが正確せいかくに伝つたわらない可能かのう性せいがあるためである。ただし有効ゆうこう数字すうじの桁けたを明示めいじしておくほうが簡単かんたんかつ適切てきせつなことが多おおい。

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相対そうたい速度そくど

相対そうたい速度そくどは問題もんだい文ぶんなどでは通常つうじょう「B に対たいする A の速度そくど」などと書かかれるが、これを「B が見みる A の見みかけの速度そくど」と読よみ替かえても同義どうぎである。

例たとえば同おなじ方向ほうこうへ走行そうこうする自動車じどうしゃ A, B があり、A が 40 km/h、B が 70 km/h で走行そうこうしているとき、A の車内しゃないからは B が前方ぜんぽうへ向むけて 30 km/h で移動いどうしているように見みえる。B から A を見みた場合ばあいは、A が後方こうほうへ向むけて 30 km/h で移動いどうしているように見みえる。

一般いっぱん的てきに「B に対たいする A の速度そくど」は、次つぎのように表あらわせられる。A の速度そくどを $v_{\mathrm {A} }$、B の速度そくどを $v_{\mathrm {B} }$、相対そうたい速度そくどを $v_{\mathrm {r} }$ とすれば（添字そえじの r は相対そうたい relative の頭文字かしらもじを表あらわしている）、

$v_{\mathrm {r} }=v_{\mathrm {B} }-v_{\mathrm {A} }$

い換いかえると、「（相対そうたい速度そくど）＝（相手あいての速度そくど）−（自分じぶんの速度そくど）」である。それでは、例題れいだい 1 - 2 を解といてみよう。

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例題れいだい 1 - 2

速はやさ 10 m/s の車くるまと速はやさ 4.0 m/s の猫ねこが平行へいこうして走はしっている。このとき、車くるまで座すわっている犬いぬに対たいする相対そうたい速度そくどを求もとめよ。ただし犬いぬと猫ねこはお互たがいの存在そんざいに気きづいていないものとする。

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落下らっか運動うんどう

落下らっか運動うんどうは重力じゅうりょくの作用さようによって生しょうじる物体ぶったいの運動うんどう、平ひらたく言いえば物ものが落おちるときの動うごきのことである。基本きほん的てきには鉛直えんちょく上向うわむきに正せいを取とれば良よい（ただし、問題もんだい文ぶんに指定していがある場合ばあいはその指示しじに従したがうこと）。

したがって、上記じょうきの3つの公式こうしきを用もちいる。ただし、地球ちきゅう表面ひょうめん近傍きんぼうで落下らっかする物体ぶったいの加速度かそくどは $g=9.8~\mathrm {m/s^{2}}$ である（出題しゅつだいされることは多おおくないが、月面げつめんでの落下らっか運動うんどうの問題もんだいでは地球ちきゅう上じょうの 1/6 程度ていどの値ねが加速度かそくどの値ねとして採用さいようされることが多おおい）。重力じゅうりょくによって生しょうじる加速度かそくどは重力じゅうりょく加速度かそくどと呼よばれる（なお、地球ちきゅう上じょうでの落下らっか運動うんどう問題もんだいでよく使つかわれる重力じゅうりょく加速度かそくどの値ねは、標準ひょうじゅん重力じゅうりょく加速度かそくどの近似きんじ値ちである）。

この重力じゅうりょく加速度かそくどの大おおきさの導出どうしゅつについては「万有引力ばんゆういんりょく」の項こうで触ふれる。それでは、それぞれのパターンについて考かんがえていこう。

• 自由じゆう落下らっか

  

  自由じゆう落下らっか

初はつ速度そくど 0 で静しずかに物体ぶったいを離はなした時ときの落下らっか運動うんどうを自由じゆう落下らっかという。

• 鉛直えんちょく投なげ上あげ・鉛直えんちょく投なげ下おろし

鉛直えんちょく上向うわむきに初はつ速度そくどを与あたえた落下らっか運動うんどうを鉛直えんちょく投なげ上あげといい、鉛直えんちょく下向したむきに初はつ速度そくどを与あたえた落下らっか運動うんどうを鉛直えんちょく投なげ下おろしという。

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例題れいだい1 - 3

高たかさ 19.6 m の小しょうビルの屋上おくじょうから小しょう球たまを落おとす。次つぎの各かく問といに有効ゆうこう数字すうじ 2 桁けたで答こたえよ。ただし重力じゅうりょく加速度かそくどを 9.8 m/s² とし、鉛直えんちょく下向したむきを正せいとする。

〔1〕 まず、小しょう球たまを静しずかに落おとした。

(1) 地面じめんまで落おちるのにかかった時間じかんはいくらか。

(2) 地面じめんに達たっする直前ちょくぜんの速はやさはいくらか。

〔2〕　次つぎに鉛直えんちょく上向うわむきに 14.7 m/s の速はやさで投なげ上あげて落おとした。

(1) 地面じめんまで落おちるのにかかった時間じかんはいくらか。

(2) 小しょう球たまが最高さいこう点てんに達たっした時ときの地面じめんからの高たかさはいくらか。

(3) 地面じめんに達たっする直前ちょくぜんの速はやさはいくらか。

• Tips

ところで落下らっか運動うんどうにおいて最高さいこう点てんは $v=0$ となったときの高たかさであるが、このような問題もんだいは頻繁ひんぱんに問とわれるため公式こうしきの1つとして覚おぼえておくと良よい。では導みちびいてみよう。

鉛直えんちょく投なげ上あげを考かんがえよう。鉛直えんちょく上向うわむきを正せいとする。速度そくどと変位へんいの公式こうしき $v^{2}-{v_{0}}^{2}=2ax$ を用もちいてみる。最高さいこう点てん $y$ ではその時ときの速はやさは 0 m/s なので、重力じゅうりょく加速度かそくどを $g$ とすると、$-{v_{0}}^{2}=-2gy$ となる。よって、$y={\frac {{v_{0}}^{2}}{2g}}$ が求もとまる。

次つぎにそのときの時刻じこく $t$ を求もとめてみよう。速度そくどと時刻じこくの公式こうしき $v=v_{0}+at$ より、$0=v_{0}-gt$ なので、$t={\frac {v_{0}}{g}}$ が求もとまる。

この 2 つの式しきは、この後のち学習がくしゅうする斜はす方かた投射とうしゃの問題もんだいで役やくに立たつ。

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次つぎの 2 つは水平すいへい方向ほうこう、鉛直えんちょく方向ほうこうの 2 方向ほうこうに分わけて考かんがえると良よい。ただし、水平すいへい方向ほうこうは右向みぎむきを正まさに、鉛直えんちょく方向ほうこうは上向うわむきを正まさに取とることが多おおい。

• 水平すいへい投射とうしゃ

水平すいへい投射とうしゃとは、水平すいへい方向ほうこうに初はつ速度そくどを付つけて落下らっかさせる運動うんどうのことである。

物体ぶったいは何なにか力ちからが加くわわらなければ、運動うんどうの状態じょうたいを変かえる事ことはない。したがって水平すいへい投射とうしゃのとき、受うける力ちからは重力じゅうりょくただ一ひとつであるから、鉛直えんちょく方向ほうこうだけ自由じゆう落下らっかの運動うんどうとなるのである。

• 斜はす方かた投射とうしゃ

  

  斜はす方かた投射とうしゃ

斜はす方かた投射とうしゃとは、斜ななめに初はつ速度そくどを付つけて落下らっかさせる運動うんどうのことである。

水平面すいへいめんとのなす角かくが $\theta$ の向むきに初はつ速度そくど $v_{0}$ で物体ぶったいを投なげ上あげたとしよう。このとき、速度そくどは分解ぶんかいできるからベクトルで表あらわすことができ、${\vec {v_{0}}}=(v_{0}\cos \theta ,v_{0}\sin \theta )$ と表あらわせられる。

この2つに分わけて考かんがえると、まず水平すいへい方向ほうこうについて、初はつ速度そくど $v_{0}\cos \theta$ で水平すいへい方向ほうこうには力ちからが何なにも働はたらいていないので等ひとし速そく運動うんどうをしている。それに対たいして鉛直えんちょく方向ほうこうは、初はつ速度そくど $v_{0}\sin \theta$ で投なげあげて加速度かそくど $g$ で落下らっかしている運動うんどうに等ひとしい。

以上いじょうをまとめると、以下いかの表ひょうになる。

運動うんどう	垂直すいちょく方向ほうこう	鉛直えんちょく方向ほうこう
水平すいへい投射とうしゃ	自由じゆう落下らっか	等ひとし速そく運動うんどう
斜はす方かた投射とうしゃ	鉛直えんちょく投なげ上あげ/投なげ下おろし	等ひとし速そく運動うんどう

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例題れいだい 1 - 4

次つぎの文章ぶんしょうの空そら所しょに適切てきせつな値ねを入いれよ。

左ひだり図ずのように、大砲たいほうで初はつ速度そくど $9.8{\sqrt {2}}\,\mathrm {m/s}$ で上方かみがた 45°に弾たまを打うち上あげた。大砲たいほうと弾たまは大おおきさを無視むしできるものとする。以下いかの空欄くうらんについて、有効ゆうこう数字すうじ 2 桁けたで答こたえよ。

(1) 砲弾ほうだんが着地ちゃくちした時刻じこくは発射はっしゃ時刻じこくから数かぞえて [　ア　] s であり、その時ときの砲弾ほうだんの速はやさは[　イ　] m/s である。さらに砲弾ほうだんが着地ちゃくちした場所ばしょは発射はっしゃ位置いちから[　ウ　] m 先さきである。ただし、重力じゅうりょく加速度かそくどを 9.8 m/s² とする。

(2) 砲弾ほうだんが到達とうたつする最高さいこう点てんの高たかさは [　エ　] m であり、その時ときの砲弾ほうだんの速はやさは[　オ　] m/s である。さらに砲弾ほうだんが最高さいこう点てんに達たっする時刻じこくは発射はっしゃ時刻じこくから数かぞえて [　カ　] s である。

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例題れいだい 1 - 5

斜はす方かた投射とうしゃにおいて、その軌道きどうは放物線ほうぶつせんを描えがくのはなぜか。説明せつめいせよ。

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• 問題もんだい1

2 つ小しょう球たま A, B ははじめ互たがいに距離きょり $l$ だけ離はなれている。小しょう球たま A を初はつ速度そくど $v_{0}$、水平面すいへいめんとのなす角度かくど $\theta$ で水平面すいへいめん上じょうから投なげ、同時どうじに小しょう球たま B を水平面すいへいめんから高たかさ $h$ の位置いちから静しずかに落下らっかさせた。小しょう球たま A と小しょう球たま B は時刻じこく $t$ のときに衝突しょうとつしたという。重力じゅうりょく加速度かそくどを $g$ として以下いかの問といに答こたえよ。水平すいへい方向ほうこう右向みぎむき・鉛直えんちょく方向ほうこう上向うわむきを正せいとする。

(1) 時刻じこく $t'\,(t'<t)$ のときの A, B の変位へんいを水平すいへい方向ほうこうと鉛直えんちょく方向ほうこうに分わけてそれぞれ表あらわせ。

(2) 時刻じこく $t'$ のとき、B に対たいする A の相対そうたい速度そくどの大おおきさを求もとめよ。

(3) 時刻じこく $t$ を、はじめの時刻じこくでの AB 間あいだの距離きょり $l$、B の落下らっかする高たかさ $h$、A の投射とうしゃ角かく $\theta$、A の初はつ速度そくど $v_{0}$ を用もちいて 2 通とおりに表あらわせ。

(4) $\tan \theta$ を求もとめよ。ただし、はじめの時刻じこくでの AB 間あいだの距離きょり $l$、B の落下らっかする高たかさ $h$、重力じゅうりょく加速度かそくど $g$、A の投射とうしゃ角かく $\theta$、A の初はつ速度そくど $v_{0}$ の中なかから必要ひつようなものを用もちいよ。また、この結果けっかからどのようなことが言いえるか。簡潔かんけつに記しるせ。

(5) 問題もんだい文ぶん及および (1)～(4) の状況じょうきょうが成なり立たつような $h$ の条件じょうけんを求もとめよ。ただし、はじめの時刻じこくでの AB 間あいだの距離きょり $l$、重力じゅうりょく加速度かそくど $g$、A の投射とうしゃ角かく $\theta$、A の初はつ速度そくど $v_{0}$ を用もちいよ。

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力ちから

力ちからとは、物体ぶったいの運動うんどうを変化へんかさせる原因げんいんとなる作用さようのことである。日常にちじょう的てきには力ちからとはパワーであると言いわれるが、英語えいご表記ひょうきは "force" であって "power" ではない。物理ぶつり学がくにおけるパワーは単位たんい時間じかん当あたりにどれだけ仕事しごとができるか、あるいは単位たんい時間じかん当あたりに伝播でんぱされるエネルギーを示しめす量りょうであり、力学りきがくでいうところの力ちからとは異ことなる量りょうである。

一般いっぱん的てきには力ちからの大おおきさを表あらわす単位たんいとしてニュートン（単位たんい記号きごう：N）が用もちいられる。他ほかにもキログラム重しげる（単位たんい記号きごう：kgf）なども力ちからの単位たんいとして用もちいられることがある。ニュートンはメートル (m)、秒びょう (s)、キログラム (kg) の積せきによって組くみ立たてられる。

$\mathrm {N} =\mathrm {kg\cdot m/s^{2}}$

つまり質量しつりょう（この場合ばあい、単位たんいは kg）と加速度かそくど（この場合ばあい、単位たんいは m/s²）の積せきとして構成こうせいされる。

高校こうこう物理ぶつりにおいて、力ちからは物体ぶったいに触ふれて初はじめて作用さようする力ちからと、触ふれなくても作用さようする力ちからの2つに分類ぶんるいされる。前者ぜんしゃは接触せっしょく力りょく、後者こうしゃは非ひ接触せっしょく力りょくと呼よばれる。接触せっしょく力りょくには押おす力ちからや糸いとの張力ちょうりょく、ばねの弾性だんせい力りょくなどたくさんあるが、非ひ接触せっしょく力りょくは万有引力ばんゆういんりょくや静電気せいでんき力りょく、磁気じき力りょくの3つしかない。

運動うんどうの法則ほうそく

運動うんどうの法則ほうそくは、物体ぶったいの運動うんどうに関かんして得えられた経験けいけん則そくをアイザック・ニュートンが整理せいりし定式ていしき化かしたものであり、力学りきがくにおける第だい一いち原理げんりとなっている重要じゅうような法則ほうそくである。ニュートンによる定式ていしき化かは以下いかの 3 つの法則ほうそくとしてまとめることができる。

作用さよう・反作用はんさようの法則ほうそく

• 運動うんどうの第だい1法則ほうそく

すべての物体ぶったいは、外部がいぶから力ちからを加くわえられない限かぎり、静止せいししている物体ぶったいは静止せいしし続つづけ、運動うんどうしている物体ぶったいは運動うんどうを続つづける。慣性かんせいの法則ほうそくとも呼よばれる。

• 運動うんどうの第だい2法則ほうそく

物体ぶったいに力ちからが働はたらいているならば、物体ぶったいに力ちからが働はたらいている方向ほうこうへ加速度かそくどが生しょうじ、物体ぶったいの運動うんどうの加速度かそくどはその合力ごうりょくの大おおきさに比例ひれいし、質量しつりょうに反比例はんぴれいする。すなわち、物体ぶったいの質量しつりょうを $m$、加速度かそくどを $a$、物体ぶったいに働はたらく力ちからを $F$ とすれば

$ma=F$

である。運動うんどうの第だい2法則ほうそくは単たんに運動うんどうの法則ほうそくとも呼よばれる。運動うんどうの第だい2法則ほうそくについては後のちに詳くわしく解説かいせつする。

• 運動うんどうの第だい3法則ほうそく

一方いっぽうが受うける力ちからと他方たほうが受うける力ちからは向むきが反対はんたいで大おおきさが等ひとしい。この法則ほうそくは後述こうじゅつの力ちからの法則ほうそくと混同こんどうしやすい。作用さよう・反作用はんさようの法則ほうそくとも呼よばれる。

例たとえば、右みぎ図ずのようにスケートリンク上じょうで左ひだりの人ひとが相手あいてを押おすと右側みぎがわの人ひとには力ちから ${\vec {F_{1}}}$ が加くわわる。作用さよう・反作用はんさようの法則ほうそくは、押おされた右みぎの人ひとから左ひだりの人ひとに力ちから ${\vec {F_{2}}}$ が加くわえられること、2 つの力ちからの大おおきさは互たがいに等ひとしく、力ちからの向むきは正せい反対はんたいであることを示しめす。つまり

$F_{1}=-F_{2}$

が成なり立たつ。

力ちからの種類しゅるい

物体ぶったいには様々さまざまな力ちからがかかる。例たとえば私わたしたち人間にんげんでも、地球ちきゅうからの重力じゅうりょくを受うけたり大気たいきからの圧力あつりょく（圧力あつりょくは力ちからではないが）を受うけたりするだろう。また、物体ぶったいに押おしたりするなどして力ちからを加くわえると、その物体ぶったいは動うごく。この項目こうもくでは物体ぶったいにかかる様々さまざまな力ちからを見みていくことにする。

1. 重力じゅうりょく

これは物体ぶったいが惑星わくせいに存在そんざいするならばどんなものでもかかる力ちからである(正確せいかくに定義ていぎすると、地球ちきゅうの万有引力ばんゆういんりょくと地球ちきゅうの自転じてんによる遠心えんしん力りょくの合力ごうりょくである)。この重力じゅうりょくの大おおきさ $F_{g}$ は、物体ぶったいの質量しつりょうを $m$ とすると、 $F_{g}=mg$ である。ただし $g$ は重力じゅうりょく加速度かそくどである。例たとえば60 kgの人間にんげんにかかる重力じゅうりょくの大おおきさ $F_{g}$ は、$F_{g}=60\times 9.8=588$ Nである。

2.張力ちょうりょく

張力ちょうりょくとは、糸いとが物体ぶったいを引ひっ張ぱる力ちからのことである。1本ほんの繋つながった糸いとにおいて、その糸いとがピンと張はっていれば（たるんでいない）、張力ちょうりょくがはたらく。基本きほん的てきに力ちからを考かんがえる際さいに糸いとの質量しつりょうは無視むしして良よい。

張力ちょうりょく $T$ と重力じゅうりょく $mg$、糸いとは天井てんじょうに固定こていされている。

右みぎ図ずを考かんがえる。これにおいて質量しつりょう $m$ の小しょう球たまは静止せいししている。物体ぶったいは静止せいししているので力ちからの合力ごうりょくは 0 のはずである。したがって、$T=mg$ となる。

また糸いとが繋つながっているならば、その張力ちょうりょくは両りょう端はしで等ひとしい。つまり天井てんじょうが糸いとに引ひっ張ぱられる力ちからも $mg$ となるのである。

3. 弾性だんせい力りょく

バネを伸のばそうとするとバネは元もとの長ながさに戻もどろうと縮ちぢまる方向ほうこうへ力ちからを与あたえる。逆ぎゃくにバネを縮ちぢめようとするとバネは伸のびる方向ほうこうへ力ちからを与あたえる。これを弾性だんせい力りょくという。また、バネに何なにも力ちからが与あたえられていないときの長ながさを自然しぜん長ちょうという。

　

固定こていされたバネ。
（上うえ）何なにも力ちからが与あたえられていないバネ。
（下した）引ひっ張ぱられたバネ。

右みぎ図ずにおいて、上うえは長ながさが自然しぜん長ちょうのバネで、下したは手てに引ひっ張ぱられることにより $x$ だけ伸のびたバネである。

縮ちぢめた/伸のばした方向ほうこうとは逆ぎゃく向むきに弾性だんせい力りょくははたらくので、弾性だんせい力りょく$F$は、 $F=-kx$ と表あらわされる。ただし、 $k$ をバネ定数ていすうという。またこれをフックの法則ほうそくという。

これら以外いがいにも力ちからは様々さまざまあるが、これら以外いがいは「力ちからのまとめ」で列挙れっきょしていく。

力ちからのつりあい

　複数ふくすうの力ちからが物体ぶったいに作用さようしているにもかかわらず物体ぶったいが運動うんどうしていない状態じょうたいを「力ちからがつりあっている」という。これは複数ふくすうの力ちからの合力ごうりょくが0になっているからである。すなわち、物体ぶったいに複数ふくすうの力ちからがかかっているとすると、${\vec {F_{1}}}+{\vec {F_{2}}}+{\vec {F_{3}}}+\cdots +{\vec {F_{n}}}=0$の状態じょうたいが「力ちからがつりあっている」という。これを考かんがえるには垂直すいちょく抗力こうりょくの考かんがえが必要ひつようになる。

　

斜面しゃめんにおける物体ぶったいの垂直すいちょく抗力こうりょく$F_{N}$

　垂直すいちょく抗力こうりょくとは、物体ぶったいが接触せっしょくしている他ほかの物体ぶったいや地面じめん等とうの固体こたいの面めんを押おしているとき、その力ちからの面めんに垂直すいちょくな成分せいぶんに対たいし、同おなじ大おおきさで反対はんたい向むきの、固体こたいの面めんが物体ぶったいを押おし返かえす力ちからのことである。

　左ひだり図ずを考かんがえてみよう。まず質量しつりょう$m$の物体ぶったいには重力じゅうりょく$mg$がかかる。そして図ずが示しめすように、斜面しゃめん垂直すいちょく上向うわむきには垂直すいちょく抗力こうりょくがかかる。斜面しゃめん垂直すいちょく方向ほうこうに対たいして力ちからはつりあっているから、重力じゅうりょくを分解ぶんかいして、$F_{N}=mg\cos \theta$と垂直すいちょく抗力こうりょくが求もとまる。地面じめんまたは垂直すいちょくに物体ぶったいが接せっしているならば垂直すいちょく抗力こうりょくははたらく。い換いかえると、垂直すいちょく抗力こうりょくの大おおきさが0になった時ときに物体ぶったいが地面じめんから離はなれるのである。

力ちからの図示ずし

　力学りきがくの基本きほんは力ちからを"正ただしく"図示ずしすることであり、正まさしく描えがけていれば問題もんだいはほぼ解とけたものだと思おもって良よい。なぜならば後述こうじゅつの運動うんどう方程式ほうていしき$ma=F$を用もちいることで、物体ぶったいの運動うんどうが分わかるからである。

　力ちからを図示ずしする方法ほうほうは次つぎの手順てじゅんで行おこなう。

1. 　触ふれていない力ちからを描えがく。これは重力じゅうりょく（万有引力ばんゆういんりょく）、静電気せいでんき力りょく、磁力じりょくの3つしか存在そんざいせず、力学りきがくにおいては重力じゅうりょく（万有引力ばんゆういんりょく）である。
2. 　触ふれている力ちからを描えがく。人ひとの手て・糸いとの張力ちょうりょく・弾性だんせい力りょく・摩擦まさつ力りょくなど。

　

糸いとで繋つながれた2物体ぶったい。

　この手順てじゅんに従したがうと、例たとえば右みぎ図ずの力ちからの図示ずしが誤あやまりなくできる。右みぎ図ずは、質量しつりょうがそれぞれ$m$、$M$の物体ぶったいが糸いとで繋つながれていて、右みぎ端はしの糸いとを力ちから$F$で引ひっ張ぱっている（力ちから$F$の矢印やじるしが糸いとと離はなれたところにあるが、少すこし離はなして描えがいたほうが力ちからの図示ずしが綺麗きれいにできる）。重力じゅうりょく加速度かそくどを$g$とすると、まず、手順てじゅん1からそれぞれに$mg$、$Mg$の重力じゅうりょくがかかる。次つぎに糸いとはたるんでいないので糸いとの張力ちょうりょくが、右みぎ端はしに$T_{0}$、2物体ぶったいの間あいだに右みぎから$T_{1}$、$T_{2}$と掛かかる。垂直すいちょく抗力こうりょくは重力じゅうりょくとは反対はんたい向むきに$N_{1}$、$N_{2}$かかる。これで、すべての力ちからを図示ずしできた。（下図したず）

　

糸いとで繋つながれた2物体ぶったい。図示ずし後ご。

運動うんどう方程式ほうていしき

　質量しつりょう$m$の物体ぶったいに全すべての合力ごうりょく${\vec {F}}$がかかっている時とき、

$ma=F$

が成なり立たっている。この式しきの意味いみするところは、「力ちからの大おおきさが分わかればその物体ぶったいの運動うんどうの様子ようすもわかる」ということである。早速さっそく例題れいだい2-1を解といてみよう。

• 摩擦まさつ力りょく

　運動うんどうの第だい1法則ほうそくより、何なにも力ちからがはたらいていなければ、物体ぶったいは運動うんどうを続つづけるはずである。しかし現実げんじつでは多おおくの場合ばあいいつかは静止せいししてしまう（ボールを地面じめんで転ころがしてみると理解りかいできるだろう）。これは、運動うんどうしている向むきとは逆ぎゃく向むきに力ちからが作用さようするからである。このようにあらい表面ひょうめん上じょうで物体ぶったいの運動うんどうを妨さまたげる向むきに作用さようする力ちからを摩擦まさつ力りょくという。摩擦まさつ力りょくには静止せいし摩擦まさつ力りょくと動どう摩擦まさつ力りょくと2種類しゅるいある。

　※粘性ねんせい摩擦まさつ力りょくもあるが、高校こうこうでは扱あつかわれない。

1.静止せいし摩擦まさつ力りょく 　あらい面めんにおいて、物体ぶったいに多少たしょうの力ちからを加くわえてもビクともしない。これは摩擦まさつ力りょくがはたらいているからであり、この力ちからを静止せいし摩擦まさつ力りょくという。押おした力ちから$F$と静止せいし摩擦まさつ力りょく$F_{0}$はつりあっているから、$F=-F_{0}$である。

　しかし、ある摩擦まさつ力りょくを大おおきくすると、物体ぶったいは動うごき出だす。その動うごき出だす直前ちょくぜんの摩擦まさつ力りょくを最大さいだい静止せいし摩擦まさつ力りょくという。この大おおきさ$F_{0}$は、$F_{0}=\mu N$で表あらわせられる。ただし、$\mu$は静止せいし摩擦まさつ係数けいすうといい、地面じめんや物体ぶったいによって様々さまざまな値ねをとる。$N$は垂直すいちょく抗力こうりょくである。

2.動どう摩擦まさつ力りょく 　物体ぶったいが運動うんどうしている時ときにも、物体ぶったいは摩擦まさつ力りょくを受うける。だから物体ぶったいは減速げんそくし静止せいしするのである。この摩擦まさつ力りょくを動どう摩擦まさつ力りょくという。そしてこの大おおきさ $F_{1}$は、$F_{1}=\mu 'N$で表あらわせられる。$\mu '$は静止せいし摩擦まさつ係数けいすうといい、$N$は垂直すいちょく抗力こうりょくである。

力ちからのまとめ

　様々さまざまな力ちからを見みてきたが、ここで一旦いったんまとめてみよう。重力じゅうりょく加速度かそくどを $g$ とする。

• $ma=F$

　力ちからが分わかれば運動うんどうの様子ようすもわかる、ということを示しめしている式しきである。$F$ 〔N〕は合力ごうりょくの力ちからの大おおきさということに注意ちゅういせよ。

• 重力じゅうりょく$mg$

　力学りきがくにおいて、まず最初さいしょに考かんがえるべき力ちからである。質量しつりょうがある限かぎりは必かならずかかる力ちからである。「重おもさ」ともいう。

• 糸いとの張力ちょうりょく$T$

　糸いとが持もっている引ひっ張ぱる力ちからのこと。ぴんと張はっていればはたらいており、力ちからの釣つり合あいを考かんがえられる。

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• 例題れいだい2-1

糸いとで繋つながれた2物体ぶったい。

　左ひだり図ずのようになめらかな床ゆかに質量しつりょうがそれぞれ $m$ 、 $M$ の物体ぶったいが糸いとで繋つながれていて、右みぎ端はしの糸いとを力ちから $F$ で引ひっ張ぱる。重力じゅうりょく加速度かそくどを $g$ として次つぎの問といに答こたえよ。

(1) 加速度かそくど$a$を求もとめよ。

(2) 2物体ぶったいに繋つながれている糸いとの張力ちょうりょく$T$を求もとめよ。

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• 例題れいだい2-2

　滑なめらかな斜面しゃめんの上うえに質量しつりょう $m$ の物体ぶったいが置おかれている。斜面しゃめんの角度かくどは30°である。物体ぶったいが天井てんじょうに固定こていされた糸いとで斜ななめ上方かみがたに引ひっ張ぱられ、糸いとが鉛直えんちょく方向ほうこうとなす角かくも 30° である。物体ぶったいの床ゆかからの高たかさを $h$ とし、重力じゅうりょく加速度かそくどを $g$ とする。

(1) 物体ぶったいにかかる力ちからをすべて書かきだせ。

(2) 糸いとの張力ちょうりょく $T$ および、物体ぶったいが斜面しゃめんから受うける垂直すいちょく抗力こうりょく $N$ をそれぞれ求もとめよ。

　次つぎに糸いとを静しずかに着きると、物体ぶったいは滑すべり降おりていった。

(3) この物体ぶったいが斜面しゃめんを滑すべり降おりて地面じめんに到着とうちゃくする時とき間あいだを求もとめよ。

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• 弾性だんせい力りょく$-kx$

　ばねが自然しぜん長ちょうへと戻もどろうとする力ちから。$x$〔m〕はバネの長ながさではなく、自然しぜん長ちょうからの長ながさである。

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• 例題れいだい2-3

　左ひだり図ずのようにバネが1本ほん（①）と2本ほん接続せつぞくされたバネが2種類しゅるい（②、③）ある。どのバネも軽かるく丈夫じょうぶで、バネ定数ていすうは10 N/mである。それぞれを全体ぜんたいで20 cm伸のばすには何なにNの力ちからが必要ひつようか。

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• 垂直すいちょく抗力こうりょく$N$

　作用さよう・反作用はんさようの法則ほうそくで地面じめんから押おし返かえされる力ちからのこと。$N=mg$〔N〕とは限かぎらない。

• 静止せいし摩擦まさつ力りょく

　作用さようさせる力ちからの大おおきさが一定いってい値ち以下いかだと静止せいし摩擦まさつ力りょくにより物体ぶったいは動うごかない。静止せいし摩擦まさつ力りょくが"耐たえる"限界げんかいのとき、$F_{0}=-\mu N$〔N〕となるし、限界げんかいでなければ釣つり合あう。

• 動どう摩擦まさつ力りょく$\mu 'N$

　こちらの摩擦まさつ力りょくは動うごいているならば一いち定値ていち$-\mu 'N$〔N〕をとる。

• 圧力あつりょく$p$（力ちからではない）

圧力あつりょくの概がい図ず。

　力ちからがある面めん全体ぜんたいに加くわわる時とき、面めんの単位たんい面積めんせき当あたりに加くわわる力ちからの大おおきさを圧力あつりょくという。圧力あつりょくの単位たんいはパスカル〔Pa〕である。面積めんせき$S$の面めんに力ちから$F$〔N〕が加くわわったとすると、その圧力あつりょく$p$〔Pa〕は、

$p={\frac {F}{S}}$〔Pa〕

である。

• 水圧すいあつ$p'$（力ちからではない）

水圧すいあつの説明せつめい図ず。水深すいしんが深ふかくなるほど、比例ひれいして水圧すいあつが強つよくなる。水圧すいあつの方向ほうこうは、物体ぶったいの面めんに垂直すいちょく方向ほうこうに働はたらく。

　水みずによる圧力あつりょくを水圧すいあつという。右みぎ図ずのように、水深すいしん$h$〔m〕の水中すいちゅうに上面うわつらの面積めんせき$S$〔m²〕をもつ物体ぶったいがあるとき、このうえには体積たいせき$hS$〔m³〕の水みずがある。水みずの密度みつどを$\rho$〔kg/m³〕とすると、この水みずの質量しつりょう$m$〔kg〕は、$m=\rho hS$〔kg〕となる。よって、水圧すいあつ$p'$〔Pa〕は、

$p'={\frac {mg}{S}}=\rho hg$〔Pa〕

• 浮力ふりょく$F_{f}$

水みずに浮うかぶ物体ぶったいは、物体ぶったいの重おもさと浮力ふりょくとが釣つり合あうときに、物体ぶったいは静止せいしする。
また、浮力ふりょくの大おおきさは、水面すいめんから下したで物体ぶったいが排除はいじょした重おもさによる力ちからの大おおきさに等ひとしい。

　「水圧すいあつ$p'$」と同おなじく、深ふかさ$h$〔m〕のところに底そこ面積めんせき$S$〔m²〕高たかさ$l$〔m〕の物体ぶったいがあるとする。物体ぶったいの体積たいせきを$V=Sl$〔m³〕とおく。この物体ぶったいの上面うわつら下面かめんが受うける水圧すいあつを$p_{1}$〔Pa〕、$p_{2}$〔Pa〕とすると、$p_{1}=\rho hg$〔Pa〕、$p_{2}=\rho (h+l)g$〔Pa〕となるので、物体ぶったいが水みずから受うける合力ごうりょく$F_{f}$〔N〕は、

$F_{f}=p_{2}S-p_{1}S=\rho Slg=\rho Vg$〔N〕

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• 例題れいだい2-4

水みずの上うえに静しずかに物体ぶったいを置おくと沈しずむことなく浮ういた。

　各かく辺あたりが$l$〔m〕の立方体りっぽうたいを水みずに静しずかに浮うかべると、立方体りっぽうたいは沈しずむことなく静止せいしした。水みずの密度みつどを$\rho _{0}$〔kg/m³〕とし立方体りっぽうたいの密度みつどを$\rho _{1}$〔kg/m³〕、重力じゅうりょく加速度かそくどを$g$〔m/s²〕とする。

(1) このときの浮力ふりょく$F_{0}$〔N〕を求もとめよ。

　次つぎに、力ちから$F$〔N〕で立方体りっぽうたいを押おすと、$h$〔m〕だけ沈しずんだ。

(2) このときの浮力ふりょく$F_{1}$〔N〕を求もとめよ。

(3) 立方体りっぽうたいを全すべて水みずの中なかに沈しずめるために最低限さいていげん必要ひつような力ちから$F'$〔N〕を求もとめよ。

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終端しゅうたん速度そくど

　十分じゅうぶんに長ながい坂道さかみちでキックボードに乗のって坂さかを下くだってみたとする（危険きけんなので、絶対ぜったいにマネしないこと）。するとスビードは最初さいしょは上あがるものの、加速度かそくどは減少げんしょうしていき、最終さいしゅう的てきに一定いっていの速度そくどになる。

　さて、なぜ終端しゅうたん速度そくどに達たっするのだろうか。それは、空気くうきの抵抗ていこう力りょくがはたらいているからであり、この力ちからの大おおきさは$kv$で表あらわせられる。$k$は空気くうきの抵抗ていこう力りょくの比例ひれい定数ていすうであり、$v$は物体ぶったいの速はやさである。そしてこの向むきは当然とうぜん、運動うんどう方向ほうこうに逆ぎゃく向むきである。

　終端しゅうたん速度そくどの問題もんだいを解とく際さい、”等とう速そく”というワードに注意ちゅういすると$ma=F$より$a=0$から、$F=0$を考かんがえれば良よい。つまり、力ちからのつりあいを考かんがえてやれば良よいのである。

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• 例題れいだい2-5

キックボードと無限むげんに長ながい坂さか。

　あなたの代かわりにA君くんがキックボードに乗のって角度かくど$\theta$のなめらかな斜面しゃめんの長ながさが十分じゅうぶんに長ながい坂さかを下くだると、十分じゅうぶんに時間じかんが経たった後のち、速はやさ$v_{\infty }$で一定いっていになった。A君くんとキックボードの質量しつりょうを$m$、重力じゅうりょく加速度かそくどの大おおきさを$g$とし、キックボードと地面じめんの間あいだに摩擦まさつはないものとする。さらに、速はやさが$v$のとき、空気くうきの抵抗ていこう力りょく$kv$がはたらくものとする。

(1) $v_{\infty }$を求もとめよ。

(2) v-tグラフを描かけ。

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慣性かんせい力りょく

　加速度かそくど$a$〔m/s²〕で運動うんどうしている観測かんそく者しゃから見みると質量しつりょう$m$〔kg〕の物体ぶったいには加速度かそくどと逆ぎゃく向むきに力ちから$ma$〔N〕が働はたらいているようにみえる。この見みかけの力ちからを慣性かんせい力りょくという。そして例たとえば右向みぎむきに加速度かそくど$a$〔m/s²〕で減速げんそくしている電車でんしゃの中なかから駅えきのホームで静止せいししている質量しつりょう$M$の駅員えきいんを見みると、駅員えきいんは左向ひだりむきに加速度かそくど$a$〔m/s²〕で減速げんそくしているように見みえ、$ma=F$より駅員えきいんは$Ma$の力ちからを受うけているようにみえる。

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• 例題れいだい 2 - 6

　エレベーターに体重たいじゅう計けいを置おきその上うえに体重たいじゅう(質量しつりょう)60 kgの人間にんげんが乗のる。このとき、次つぎの問といに答こたえよ。ただし、重力じゅうりょく加速度かそくどを10 m/s²とする。

(1) エレベーターが一定いっていの加速度かそくど5.0 m/s²で下降かこうしている。このときに体重たいじゅう計けいが示しめす値ねを求もとめよ。

(2) エレベーターが一定いっていの加速度かそくど4.0 m/s²で上昇じょうしょうしている。このときに体重たいじゅう計けいが示しめす値ねを求もとめよ。

(3) 人間にんげんが無む重量じゅうりょう状態じょうたいになるためのエレベーターの下向したむきの加速度かそくどの大おおきさを求もとめよ。

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• 問題もんだい 2

滑車かっしゃ。

　図ずのように、質量しつりょう$2M$と$M$の物体ぶったいを糸いとにつなぎ動どう滑車かっしゃにかける。さらにその動どう滑車かっしゃを質量しつりょう$4M$の物体ぶったいが繋つながれた糸いとの他た端はしにつなぎ定てい滑車かっしゃにかける。重力じゅうりょく加速度かそくどを$g$として、以下いかの問といに答こたえよ。ただし、滑車かっしゃの質量しつりょうは無視むしできるものとし、空気くうき抵抗ていこうは考かんがえないものとする。

(1) 3つの物体ぶったいの運動うんどう方程式ほうていしきを表あらわせ。ただし、質量しつりょう$4M$の物体ぶったいの地面じめんに対たいする加速度かそくどの大おおきさを$\alpha$、動どう滑車かっしゃに対たいする質量しつりょう$2M$、$M$の物体ぶったいの地面じめんに対たいする加速度かそくどの大おおきさを$\beta$とし、定てい滑車かっしゃにかかる糸いとの張力ちょうりょくを$T$とする。さらに、鉛直えんちょく下向したむきを正せいの方向ほうこうとする。

(2) $T$を$M$と$g$を用もちいて表あらわせ。

(3) 全体ぜんたいで静止せいしするためには、左ひだりと右みぎの物体ぶったいの質量しつりょうをどのように変かえたら良よいか。

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剛体ごうたいの釣つり合あい

　剛体ごうたいとは思おもい切きり力りょくを加くわえても変形へんけいしないとても固かたい物体ぶったいの固体こたいである。

　細長ほそながい木きの棒ぼうを水平すいへいな机つくえの上うえにおいて一いち端はしに力ちからを加くわえると棒ぼうは回転かいてんする。この様ように、力ちからには物体ぶったいを回転かいてんさせる性質せいしつがある。これを力ちからのモーメントという。

　力ちからのモーメントの大おおきさ$M$〔N・m〕は回転かいてんさせようとしている力ちからの垂直すいちょく成分せいぶんの大おおきさを$F$〔N〕、ある1点てんから力ちからの作用さよう点てんへの最短さいたん距離きょりを$l$〔m〕とすると、

$M=Fl$

となる。「ある1点てん」の場所ばしょはどこでもよいが問題もんだいで指定していされている場合ばあい、指示しじに従したがうこと。一般いっぱん的てきに反はん時計とけい回まわりの向むきを正まさに取とることが多おおい。

　次つぎに力ちからのモーメントは釣つり合あう。”力りょくの回転かいてんさせる要素ようそ”が釣つり合あっている…ということは、「回転かいてんしない」と言いうことになる。釣つり合あいの式しきは、力ちからの釣つり合あいと同様どうように、

$M_{1}+M_{2}+M_{3}+\cdot \cdot \cdot +M_{n}=0$

この公式こうしきを用もちいてもよい。しかしこの式しきでは分わかりにくいので次つぎのように考かんがえるのが良よい。

(反はん時計とけい回まわりの力ちからのモーメント)＝(時計とけい回まわりの力ちからのモーメント)

では、例題れいだいを通つうじてどのように適用てきようすれば良よいか確認かくにんしよう。

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• 例題れいだい2-7

　A端はしが半径はんけい0.10 mでありB端はしが半径はんけい0.20 mである円錐えんすい台だいがある。2人ふたりがこの両りょう端はしを持もって時計とけい回まわりに回まわしてどちらが回まわそうとした方向ほうこうに回まわるか競きそうゲームをする。B端はしを持もった人ひとが5.0 Nの力ちからで回まわそうとするとき、A端はしを持もった人ひとが負まけないためには何なにNの力ちからが必要ひつようか。

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• 例題れいだい2-8

シーソーに乗のる2人ふたり。

　図ずのようにシーソーを考かんがえる。ただしシーソーは全長ぜんちょうが5.0 mで質量しつりょうが無視むしできる丈夫じょうぶなものとする。A端はしに60 kg、B端はしに40 kgの人ひとが乗のる。シーソーが地面じめんと水平すいへいになるためには支柱しちゅうOは左端ひだりはしから何なにmに置おけば良よいか。重力じゅうりょく加速度かそくどを9.8 m/s²とする。

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• 問題もんだい3

　角度かくどを変かえられる荒あらい斜面しゃめん上じょうに横よこ$a$縦たて$b$の物体ぶったいを置おく。最初さいしょ斜面しゃめんの角度かくどが$\theta$のとき、物体ぶったいは静止せいしした。このとき、角度かくど$\theta$は直方体ちょくほうたいが静止せいしできる最大さいだい角かくである。斜面しゃめんと物体ぶったいの静止せいし摩擦まさつ係数けいすうを$\mu$とし、重力じゅうりょく加速度かそくどを$g$とする。

(1) 直方体ちょくほうたいにはたらく垂直すいちょく抗力こうりょくと静止せいし摩擦まさつ力りょくの大おおきさを求もとめよ。

(2) $\tan \theta$を求もとめよ。

(3) 静止せいし摩擦まさつ係数けいすう$\mu '$はいくら以上いじょうであると考かんがえられるか。$a$、$b$を用もちいて表あらわせ。

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力学りきがく的てきエネルギーと保存ほぞん則そく

　今いままでは途中とちゅう経過けいかが分わからなければ（速度そくどや加速度かそくどが求もとめられなければ）運動うんどうの様子ようすが分わからなかった。今こん項こうの保存ほぞん則そくを使つかえば、最終さいしゅう結果けっかであれば分わかるようになるのである。

仕事しごと

　物理ぶつりにおける「仕事しごと」の量りょう$W$は次つぎのように定義ていぎされる。

$W=Fx$

ここで注意ちゅうい。力ちから$F$は一定いっていの場合ばあいにしか用もちいることはできず、さらに移動いどうするのに”役立やくだつ”方向ほうこうの大おおきさを用もちいなればならない。

仕事しごととは後ごの結果けっかである。これに対たいして「これからやる」という前まえの可能かのう性せいをエネルギーという。

エネルギー保存ほぞん則そく

${\frac {1}{2}}m_{A}{v_{A}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{B}{v_{B}}^{2}={\frac {1}{2}}m_{A}{v_{A}'}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{B}{v_{B}'}^{2}$

運動うんどう量りょう保存ほぞん則そく

$m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}=m_{A}v_{A}'+m_{B}v_{B}'$

上うえ式しきを運動うんどう方程式ほうていしきから導出どうしゅつする。

$m{\vec {a}}={\vec {F}}\rightarrow m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}}\rightarrow m\cdot d{\vec {v}}={\vec {F}}\cdot dt\rightarrow \Delta mv=\int {\vec {F}}dt$

よってF=0ならば運動うんどう量りょうp(=mv)は変化へんかしない。

物体ぶったいの衝突しょうとつ

衝突しょうとつの問題もんだいは、運動うんどう量りょう保存ほぞん則そくと衝突しょうとつの式しきを並列へいれつして解とく。

衝突しょうとつの式しき

$e=-{\frac {v_{B}'-v_{A}'}{v_{B}-v_{A}}}$

円運動えんうんどう

円運動えんうんどう

円えんの中心ちゅうしんに向むかってx軸じくをとる。

物体ぶったいの運動うんどう方向ほうこうに向むかってy軸じくをとる。

単たん振動しんどう

物体ぶったいがはじめに運動うんどうする方向ほうこうに向むかってx軸じくをとる。

${\frac {1}{2}}m_{A}v^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m_{A}v'^{2}+{\frac {1}{2}}kx'^{2}$