弱じゃく形式けいしき

数学すうがくにおいて弱じゃく形式けいしき（じゃくけいしき、英えい: weak formulation）は、線型せんけい代数だいすう学がくの概念がいねんを、例たとえば偏へん微分びぶん方程式ほうていしきなどの他ほかの分野ぶんやにおいて問題もんだいを解とくために用もちいることを可能かのうにする、重要じゅうような解析かいせき上じょうの道具どうぐである。弱じゃく形式けいしきにおいて、方程式ほうていしきの絶対ぜったい性せいはもはや要求ようきゅうされず（適切てきせつである必要ひつようすらない）、代かわりにあるテストベクトルあるいはテスト函数かんすうに関かんする弱じゃく解かいが存在そんざいする。これは超ちょう函数かんすうの意味いみで解かいを要求ようきゅうする問題もんだいを構成こうせいすることと同値どうちである。

ここでは弱じゃく形式けいしきに関かんするいくつかの例れいを紹介しょうかいし、その解かいに対たいする主要しゅような定理ていりであるラックス＝ミルグラムの定理ていり（Lax-Milgram theorem）を述のべる。

一般いっぱんの概念がいねん

$V$ をあるバナッハ空間くうかんとする。次つぎの方程式ほうていしきの解かい $u\in V$ を見みつけたい。

$Au=f$

但ただし $A:V\to V'$ および $f\in V'$ であり、$V'$ は $V$ の双対そうついである。

定義ていぎよりこの問題もんだいは全すべての $v\in V$ に対たいして次つぎを満みたすような $u\in V$ を見みつけることと同値どうちである：

$[Au](v)=f(v)$.

ここで $v$ をテストベクトルあるいはテスト函数かんすうと呼よぶ。

これを弱じゃく形式けいしきによる一般いっぱん的てきな形かたちに書かき換かえる。すなわち、次つぎを満みたす $u\in V$ を見みつける：

$a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V$

ただし $a$ は双そう線型せんけい形式けいしき

$a(u,v):=[Au](v)$

である。以上いじょうの説明せつめいは非常ひじょうに抽象ちゅうしょう的てきであるため、以下いかではいくつかの例れいを見みる。

例れい1：線型せんけい連立れんりつ方程式ほうていしき

$V=\mathbb {R} ^{n}$ と $A:V\to V$ を線型せんけい写像しゃぞうとする。このとき、方程式ほうていしき

$Au=f$

の弱じゃく形式けいしきは、すべての $v\in V$ に対たいして次つぎの方程式ほうていしきを満みたす $u\in V$ を見みつけることとなる。

$\langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle \,$

ここで $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ は内積ないせきを表あらわす。

$A$ は線型せんけい写像しゃぞうなので、基底きていベクトルに対たいして調しらべれば十分じゅうぶんである。すると

$\langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle \quad i=1,\ldots ,n\,$

が得えられる。実際じっさい、$u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}$ と展開てんかいすることで、次つぎの行列ぎょうれつの形式けいしきでの方程式ほうていしきが得えられる。

$\mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} .$

ここで $a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle$ および $f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle$ である。

この弱じゃく形式けいしきに関連かんれんする双そう線型せんけい形式けいしきは、次つぎで与あたえられる。

$a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .$

例れい2 ポアソン方程式ほうていしき

ここでの目標もくひょうは、ある領域りょういき $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ 上うえの次つぎのポアソン方程式ほうていしき

$-\nabla ^{2}u=f\,$

の解かいで、境界きょうかいで $u=0$ となるようなものを見みつけることである。また解かい空間くうかん $V$ は後述こうじゅつの議論ぎろんで決定けっていする。弱じゃく形式けいしきの導出どうしゅつのために、次つぎの $L^{2}$-スカラー内積ないせきを用もちいる：

$\langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx.$

微分びぶん可能かのうな函数かんすう $v$ をテスト函数かんすうとして用もちいることで、次つぎが得えられる。

$-\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.$

この方程式ほうていしきの左辺さへんは、グリーンの恒等こうとう式しきを用もちいた部分ぶぶん積分せきぶんにより、より対称たいしょう的てきな次つぎの形式けいしきで記述きじゅつできる。

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.$

これは正まさしくポアソン方程式ほうていしきの弱じゃく形式けいしきと通常つうじょう呼よばれるものである。ここで空間くうかん $V$ を定義ていぎする必要ひつようがある。この空間くうかんは、この方程式ほうていしきを導みちびけるものでなければならない。したがってこの空間くうかんにおける導しるべ函数かんすうは二乗にじょう可か積分せきぶんである必要ひつようがある。実際じっさい、ゼロ境界きょうかい条件じょうけんで、弱じゃく微分びぶんが $L^{2}(\Omega )$ に属ぞくす函数かんすうからなるソボレフ空間くうかん $H_{0}^{1}(\Omega )$ を考かんがえれば、目的もくてきは満みたされる。

次つぎのように記号きごうを定さだめることで、一般いっぱん的てきな形かたちを得えることが出来できる：

$a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx$

および

$f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.$

ラックス＝ミルグラムの定理ていり

これは双そう線型せんけい形式けいしきの対称たいしょう部分ぶぶんの性質せいしつに依存いぞんするラックス＝ミルグラムの定理ていり（Lax-Milgram theorem）の構成こうせいである。最もっとも一般いっぱん的てきな形かたちという訳わけではない。

$V$ をヒルベルト空間くうかんとし、$a(\cdot ,\cdot )$ を $V$ 上うえの双そう線型せんけい形式けいしきで、次つぎを満みたすものとする：

1. 有界ゆうかい： $|a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|$
2. 強圧きょうあつ的てき： $a(u,u)\geq c\|u\|^{2}.$

このとき、任意にんいの $f\in V'$ に対たいして、次つぎの方程式ほうていしきには唯ただ一ひとつの解かい $u\in V$ が存在そんざいする。

$a(u,v)=f(v).$

また次つぎが成立せいりつする。

$\|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}.$

例れい1への応用おうよう

この場合ばあい、ラックス＝ミルグラムの定理ていりを適用てきようすることは明あきらかに十分じゅうぶんすぎるものであるが、他たの場合ばあいと同様どうようの形かたちにするためにこの定理ていりを使用しようする。

• 有界ゆうかい性せい： $\mathbb {R} ^{n}$ 上うえのすべての双そう線型せんけい形式けいしきは有界ゆうかいである。特とくに、次つぎが成なり立たつ。

  $|a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|\,$

• 強圧きょうあつ性せい： これは実際じっさい、$A$ の固有値こゆうちの実み部ぶが $c$ よりも小ちいさくないことを意味いみする。これは特とくに、ゼロ固有値こゆうちが存在そんざいしないことを意味いみするので、系けいは可か解かいである。

さらに次つぎの評価ひょうかが得えられる。

$\|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,\,$

ここで $c$ は $A$ の固有値こゆうちの最小さいしょう実み部ぶである。

例れい2への応用おうよう

上述じょうじゅつのように、$V=H_{0}^{1}(\Omega )$ とし、ノルムは次つぎで定さだめる。

$\|v\|_{V}:=\|\nabla v\|$

ここで右辺うへんのノルムは $\Omega$ 上うえでの $L^{2}$-ノルムである（ポアンカレ不等式ふとうしきにより、これは正まさしく $V$ 上うえのノルムを与あたえる）。しかし、$|a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}$ であり、コーシー＝シュワルツの不等式ふとうしきより次つぎが成なり立たつ：$|a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|$。

したがって、任意にんいの $f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'$ に対たいして、ポアソン方程式ほうていしきの唯ただ一ひとつの解かい $u\in V$ が存在そんざいし、次つぎの評価ひょうかが得えられる。

$\|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.$

関連かんれん項目こうもく

• バフスカ＝ラックス＝ミルグラムの定理ていり
• リオンス＝ラックス＝ミルグラムの定理ていり

参考さんこう文献ぶんけん

• Lax, Peter D.; Milgram, Arthur N. (1954). “Parabolic equations”. Contributions to the theory of partial differential equations. Annals of Mathematics Studies, no. 33. Princeton, N. J.: Princeton University Press. pp. 167–190  MR0067317

外部がいぶリンク

• MathWorld page on Lax–Milgram theorem