螺旋らせん

螺旋らせん（らせん、羅ら: helice, 英えい: helix）とは、3次元じげん曲線きょくせんの一種いっしゅで、回転かいてんしながら回転かいてん面めんに垂直すいちょく成分せいぶんのある方向ほうこうへ移動いどう（上昇じょうしょうまたは下降かこう）する曲線きょくせんである。螺にし線せん（らせん）とも。英語えいごの helix はギリシャ語ごの ἕλιξ が語源ごげんで、ラテン語らてんごの helice（ヘリケー）を経由けいゆして英語えいごに導入どうにゅうされた。「螺にし」は「ラ」「にし」と読よみ、タニシ（田螺たにし）やサザエ（栄螺さざえ）のような巻まき貝がいの貝殻かいがらを意味いみする。

2次元じげん曲線きょくせんの渦巻うずまきも螺旋らせん・螺にし線せんと呼よぶことがある。渦巻うずまきと区別くべつするために、3次元じげん曲線きょくせんの螺旋らせんを弦巻つるまき線せんまたは蔓づる巻まき線せん（つるまきせん）と呼よぶことがある。

日本にっぽんの数学すうがく界かいでは、慣用かんよう的てきに螺旋らせんを弦巻つるまき線せん、螺にし線せんを渦巻うずまき線せんの意味いみで使つかっている^[1]。

以下いかでは弦巻つるまき線せん(ヘリックス）について述のべる。

数学すうがく的てき表現ひょうげん

媒介ばいかい変数へんすう $\theta \,$ を使つかって次つぎのように表あらわせる。 $\,ab>0$ では右みぎ手回てまわりを表あらわす。

x=a\cos \theta \,

y=a\sin \theta \,

z=b\theta \,

円筒えんとう座標ざひょうを使つかえば、もっと単純たんじゅんに表あらわせる。

r=a\,

z=b\theta \,

上記じょうきの設定せっていの場合ばあい、曲きょく率りつ $\kappa$ 及および捩もじ率りつ $\tau$ はそれぞれ

{\begin{aligned}\kappa &={a \over a^{2}+b^{2}}\\\tau &={b \over a^{2}+b^{2}}\end{aligned}}

となる。

渦巻うずまきと螺旋らせん

日本にっぽんでは螺旋らせんをヘリックスではなくスパイラルと捉とらえていることが多おおく、日常にちじょう的てきにも定着ていちゃくしている。

ヘリックスとスパイラルの混同こんどうは英語えいごでも見みられる。例たとえば、螺旋らせん階段かいだんの英語えいご表記ひょうきは「helix staircase」だけでなく「spiral staircase」もある。

また、螺旋らせんを平面へいめんに投影とうえいすると、渦巻うずまきの一種いっしゅの双そう曲きょく螺旋らせんとなる。

渦巻うずまきと螺旋らせんとの比較ひかく
	渦巻うずまき	螺旋らせん（弦巻つるまき線せん）
英語えいご	spiral	helix
ラテン語らてんご	spira	helice
次元じげん	2次元じげん曲線きょくせん	3次元じげん曲線きょくせん
例れい	蚊取かとり線香せんこう（一様いちよう螺にし線せん）、アンモナイトの殻から（対数たいすう螺にし線せん）、ロールケーキ	アサガオのつる、コイルばね（常つね螺旋らせん）、DNA（二に重じゅう螺旋らせん）、ねじ山やま

なお、各種かくしゅの代数だいすう螺旋らせんや対数たいすう螺旋らせんも英語えいごではスパイラルと呼よばれている。

代数だいすう螺旋らせん - 代数だいすう的てきな式しきで表あらわされる螺旋らせんを代数だいすう螺旋らせんという（以下いか参照さんしょう）^[2]。
- アルキメデスの螺旋らせん（Archimedes' spiral）
- 放ひ物もの螺旋らせん（Parabolic spiral）
- 双そう曲きょく螺旋らせん（hyperbolic spiral）
- リチュース螺旋らせん
対数たいすう螺旋らせん（logarithmic spiral） - 等角とうかく螺旋らせん（equiangular spiral）やベルヌーイの螺旋らせんともいう^[2]。特とくに黄金おうごん比ひに関連かんれんするものを黄金おうごん螺旋らせん（golden spiral）という^[2]。

螺旋らせんの例れい

一覧いちらん

ねじの山やまと溝みぞ
つる植物しょくぶつのつる
螺旋らせん階段かいだん
ソレノイド
コイル
コイルばね
ドリル
螺旋らせん状じょうの分子ぶんし
- DNA分子ぶんし
- アミロース分子ぶんし（でんぷんの一種いっしゅ）
- タンパク質たんぱくしつのαあるふぁヘリックス構造こうぞう
スクリューやプロペラの軌跡きせき
三さん色しょくねじり棒ぼう（理容りよう店てんのサイン）
銃じゅうおよび砲ほうにおける、回転かいてんにより弾道だんどうを安定あんていさせ直進ちょくしん性せいを図はかるためのライフリング（溝みぞ）

ギャラリー

ねじ
つる植物しょくぶつのつる
クレモナ塔とうの螺旋らせん階段かいだん
コイルばね
アミロース
理容りよう店てんのサイン
ロイヤル・オードナンス L7 105mm戦車せんしゃ砲ほうのカットモデル。ライフリングが観察かんさつできる

象徴しょうちょうとしての螺旋らせん

螺旋らせんは、運動うんどう性せいや生命せいめい力りょくを感かんじさせる面めんがあるので、芸術げいじゅつ作品さくひんなどにおいては、様々さまざまな意味いみを込こめた象徴しょうちょう、シンボルとして用もちいられることも多おおく、作品さくひんのタイトルとなっている例れいも多おおい。

→詳細しょうさいは「螺旋らせん (曖昧あいまいさ回避かいひ)」を参照さんしょう

また、基本きほん的てきには繰くり返かえしの構造こうぞうでありながら、同おなじ位置いちをたどらず、例たとえば無限むげんに上昇じょうしょうする構造こうぞうを歴史れきしや生命せいめいになぞらえる例れいもある。

なお、無限むげん上昇じょうしょうのカノンは別名べつめいを螺旋らせんカノンと言いい、一ひとつの旋律せんりつが繰くり返かえす際さいに少すこしだけ音程おんていを高たかくして始はじまるようになっており、繰くり返かえすにつれてどんどん音程おんていがあがってゆくものである。バッハの「音楽おんがくの捧ささげもの」にその例れいがある。実際じっさいには1オクターブ上あがったところで終了しゅうりょうさせるか、そこで元もとの音おとに戻もどって終了しゅうりょうさせる。

もちろん実際じっさいに無限むげんに上昇じょうしょうするのは不可能ふかのうであるが、同時どうじ発音はつおん数すうが非常ひじょうに多おおいか、同おなじ音量おんりょうの多数たすうの倍音ばいおんを含ふくむ音色ねいろを合成ごうせいできるシンセサイザーなどを使つかい、旋律せんりつの音程おんていがあがるにつれて1オクターブ下かに新あたらしく旋律せんりつを追加ついかしつつ、聴覚ちょうかくにおける可聴かちょう域いきと最小さいしょう可聴かちょう値ちを考慮こうりょして十分じゅうぶんに広ひろい範囲はんいで旋律せんりつを演奏えんそうすれば、無限むげん上昇じょうしょうを実感じっかんできる。

これを使用しようした、日本にっぽんで知しられた作品さくひんには松まつ武秀たけひで樹じゅの「謎なぞの無限むげん音階おんかい」やその影響えいきょうによる「BGM」収録しゅうろくの「LOOM／来きたるべきもの」などがある。現在げんざいの機材きざいであれば、例たとえば携帯けいたい電話でんわ搭載とうさいのFM音源おんげんでも可能かのうなものもある。

出典しゅってん

^ 岩波書店いわなみしょてん『岩波いわなみ数学すうがく辞典じてん』第だい4版はん
^ ^a ^b ^c “いろいろな曲線きょくせんの確認かくにん”. 北海道ほっかいどう算数さんすう数学すうがく教育きょういく会かい高等こうとう学校がっこう部会ぶかい研究けんきゅう部ぶ. 2022年ねん12月がつ10日とおか閲覧えつらん。

外部がいぶリンク

『螺にし線せん』 - コトバンク

[1] 岩波書店いわなみしょてん『岩波いわなみ数学すうがく辞典じてん』第だい4版はん

[hokkaido-2] “いろいろな曲線きょくせんの確認かくにん”. 北海道ほっかいどう算数さんすう数学すうがく教育きょういく会かい高等こうとう学校がっこう部会ぶかい研究けんきゅう部ぶ. 2022年ねん12月がつ10日とおか閲覧えつらん。

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