ビオ・サバールの法則ほうそく

ビオ・サバールの法則ほうそく（ビオ・サバールのほうそく、英えい: Biot–Savart law）とは電流でんりゅうの存在そんざいによってその周まわりに生しょうじる磁場じばを計算けいさんする為ための電磁気でんじき学がくにおける法則ほうそくである。この法則ほうそくは静しずか電場でんじょうに対たいするクーロンの法則ほうそくに対応たいおうする。

この法則ほうそくによって磁場じばは距離きょり、方向ほうこう、およびその電流でんりゅうの大おおきさなどに依存いぞんすることが論ろんじられる。この法則ほうそくは静的せいてきな近似きんじの元もとではアンペールの法則ほうそくおよび磁場じばに対たいするガウスの法則ほうそくと同等どうとうである。

1820年ねんにフランスの物理ぶつり学者がくしゃジャン＝バティスト・ビオとフェリックス・サヴァールによって発見はっけんされた。

概要がいよう

微小びしょうな長ながさの電流でんりゅう要素ようそ I dl によって r 離はなれた位置いちに作つくられる微小びしょうな磁場じば dH は

$\mathrm {d} {\boldsymbol {H}}={\frac {I\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\times {\boldsymbol {r}}}{4\pi r^{3}}}$

で表あらわされる。ここで r := |r| である。

電流でんりゅうがある程度ていどの幅はばをもって流ながれているとき（すなわち、太ふとさ無限むげん小しょうの線せんでなく領域りょういき V を占しめているとき）、電流でんりゅう密度みつど j を使つかった積分せきぶん形がたで書かく必要ひつようがある：

${\boldsymbol {H}}=\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}}')\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'$

なお上うえ式しきでは左辺さへんの磁場じば H は微小びしょう量りょうではない。

この法則ほうそくは積分せきぶんを実行じっこうして初はじめて有効ゆうこうな値ねが出でる、すなわち実験じっけん的てき検証けんしょうが間接かんせつ的てきにならざるを得えない欠点けってんがある。

歴史れきし

1820年ねん4月がつ、デンマークの物理ぶつり学者がくしゃハンス・クリスティアン・エルステッドはコペンハーゲン大学だいがくでの講義こうぎ中ちゅう、電気でんき回路かいろをいじっていた時とき近ちかくにあった方位ほうい磁石じしゃくが北きたではない方角ほうがくを指さししていることに気きが付つき、電流でんりゅうと磁場じばの関係かんけいについて数すうか月げつの研究けんきゅうの末すえ、電流でんりゅうの磁気じき作用さようを発表はっぴょうした。 これを受うけ、ジャン・バティスタ・ビオとフェリックス・サバールは共同きょうどうで実験じっけんを行おこない、この法則ほうそくを発表はっぴょうするに至いたった。さらにこの数すうヵ月かげつ後ごにはフランソワ・アラゴーが電磁石でんじしゃくの原理げんりを、アンドレ・マリー・アンペールがアンペールの法則ほうそくを発見はっけんしている。これらの功績こうせきがエルステッドの発見はっけんから僅わずか一いち年ねん以内いないのことであったのは驚おどろくべきことである。

さらに3年ねん後ごの1823年ねんにスタージャンが実際じっさいに電磁石でんじしゃくを作成さくせいし、24年ねんにアラゴーは回転かいてん磁気じきを発見はっけんしている。この1820年ねんからの数すう年間ねんかんは科学かがく史上しじょう重要じゅうような期間きかんである。

その他たの形式けいしき

均一きんいつな電流でんりゅう

電流でんりゅうI が如何いかなる点てんにおいても一定いっていの場合ばあい磁場じばH は、

${\boldsymbol {H}}={\frac {I}{4\pi }}\int {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\times {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}$

となる。

等とう速度そくど運動うんどうする点てん電荷でんか

点てん電荷でんかq が一定いっていの速度そくどv で運動うんどうしているとき、特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんとマクスウェルの方程式ほうていしきより以下いかの電でん束たば密度みつどと磁場じばが与あたえられる。

${\begin{aligned}{\boldsymbol {D}}&={\frac {q}{4\pi }}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}{\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\\{\boldsymbol {H}}&={\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {D}}\end{aligned}}$

ただし、βべーた = v / c、θしーた は v とr のなす角かくであり、c は光速こうそく度どである。

v が c に対たいして十分じゅうぶんに小ちいさい（$v^{2}\ll c^{2}$）ときは、近似きんじ的てきに

${\begin{aligned}{\boldsymbol {D}}&={\frac {q}{4\pi }}\ {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\\{\boldsymbol {H}}&={\frac {q{\boldsymbol {v}}}{4\pi }}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\end{aligned}}$

と表あらわすことができる。

これらの電でん束たば密度みつどと磁場じばに関かんする式しきは、点てん電荷でんかに対たいするビオ・サバールの法則ほうそくと呼よばれ、1888年ねんにオリヴァー・ヘヴィサイドによって導みちびかれた。

計算けいさん例れい

無限むげんに長ながい直線ちょくせん電流でんりゅうの周まわりの磁場じば

ビオ・サバールの法則ほうそくは積分せきぶんすることによりアンペールの法則ほうそくの磁場じばと一致いっちする。 例たとえば無限むげんに長ながい直線ちょくせん電流でんりゅうであれば、図ずより、

$r={\frac {a}{\sin \theta }},\qquad s=-{\frac {a}{\tan \theta }}$

したがって

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {a}{\sin ^{2}\theta }}$

となるから、ビオ・サバールの法則ほうそくを積分せきぶんして、

${\begin{aligned}H&={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {I\sin \theta }{r^{2}}}\,\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {I\sin \theta }{r^{2}}}{\frac {a}{\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {I}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \theta }{a}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {I}{4\pi a}}\left[-\cos \theta \right]_{0}^{\pi }\\&={\frac {I}{2\pi a}}\end{aligned}}$

を得える。これはアンペールの法則ほうそくの磁場じばの大おおきさと一致いっちする。

立体りったい角かくを用もちいた解析かいせき

閉経へいけい路ろC1から回路かいろC2を俯瞰ふかんする立体りったい角かくをΩおめがとする。

以下いかのようにしてもビオ・サバールの法則ほうそくからアンペールの法則ほうそくが成なり立たつことを示しめすことができる。

閉回路ろC₁上うえの点てんPから回路かいろC₂を俯瞰ふかんする立体りったい角かくを Ωおめが とする。ここで回路かいろC₁上うえを点てんPから微小びしょう距離きょり ds だけ移動いどうした点てんをP′とすると、点てんP′から回路かいろC₂を俯瞰ふかんする立体りったい角かくΩおめが+dΩおめが は、−ds だけ平行へいこう移動いどうされた回路かいろを俯瞰ふかんする立体りったい角かくと等ひとしい。

このとき、回路かいろ上じょうの微小びしょう長ながさ ds′ と平行へいこう移動いどうした微小びしょう距離きょり −ds によって作つくられる面めんの面めん素もとベクトル dS は

$\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times (-\mathrm {d} {\boldsymbol {s}})=\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\times \mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}$

であるが、点てんPから回路かいろ上じょうの微小びしょう長ながさ ds′ へ向むかうベクトルを r とすると、点てんPから面めん素もと dS を見みる立体りったい角かくは

${\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}={\frac {(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\times \mathrm {d} {\boldsymbol {s'}})\cdot {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}={\frac {(\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times {\boldsymbol {r}})}{r^{3}}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}$

と表あらわすことができる。 これを ds′ に関かんして回路かいろ一周いっしゅう分ぶん線せん積分せきぶんすれば立体りったい角かくの変化へんかdΩおめがを得えることができる。

$\mathrm {d} \Omega \ =\left(\oint _{C_{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}$

回路かいろ上じょうの微小びしょう電流でんりゅう要素ようそが点てんPに作つくる磁場じばはビオ・サバールの法則ほうそくを積分せきぶんして、

${\boldsymbol {H}}=\oint _{C_{2}}{\frac {1}{4\pi }}{\frac {I\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times (-{\boldsymbol {r}})}{r^{3}}}$

と得えられるが、この両辺りょうへんに ds を内積ないせきで乗じょうじ、先さきの式しきを代入だいにゅうすると

${\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=-{\frac {I}{4\pi }}\mathrm {d} \Omega$

の関係かんけいが得えられる。 点てんPが閉曲線へいきょくせんC₁上うえを一周いっしゅうするようなΩおめがの変化へんかは

$\oint _{C_{1}}\mathrm {d} \Omega =-4\pi$

であるので、

$\oint _{C_{1}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=I$

とする、アンペールの法則ほうそくそのものが導みちびかれる。

この場合ばあい、C₁で囲かこむ領域りょういき D（図ず赤色あかいろ）の面積めんせきを S₁とすると、面めんS₁に対たいする電流でんりゅう面めん密度みつどの大おおきさj は

$j={\frac {I}{S_{1}}}$

となるが、例たとえば閉曲線へいきょくせんC₁が1周しゅうする間あいだに回路かいろC₂が3周しゅうするような場合ばあいには電流でんりゅう面めん密度みつどの大おおきさは 3j 、閉曲線へいきょくせんC₁が2周しゅうする間あいだに回路かいろC₂が1周しゅうするような場合ばあいには電流でんりゅう面めん密度みつどの大おおきさは j/2 である。このことを考慮こうりょすれば、

$\oint _{C_{1}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{D}{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S_{1}}}$

と書かくことができる。

円形えんけい電流でんりゅうの中心ちゅうしん付近ふきんに於おける磁場じば

中心ちゅうしんに生しょうじる磁場じば

アンペールの法則ほうそくを使つかった場合ばあいでは求もとめることが難むずかしい場合ばあいも、ビオ・サバールの法則ほうそくを用もちいることで簡易かんいに計算けいさんできる場合ばあいがある。例たとえば円形えんけい電流でんりゅうの中心ちゅうしん付近ふきんに発生はっせいする磁場じばを求もとめる場合ばあいがそうである。まず、右みぎ図ずのような半径はんけい a の円周えんしゅう上じょうP点てんに存在そんざいする電流でんりゅう I によって、中心ちゅうしんOに生しょうじる磁場じばについて考かんがえる。

ds と r の為なす角度かくどを φふぁい とおくと、図ずより

$\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\perp {\boldsymbol {r}}$

となり、また

$|{\boldsymbol {r}}|=a$

であるので、

$\mathrm {d} H={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I\sin \phi \,\!}{a^{2}}}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I\,\mathrm {d} s}{a^{2}}}\,$

である。これを円周えんしゅう上じょうで積分せきぶんして、

$H={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I}{a^{2}}}\,\int _{0}^{2\pi a}\mathrm {d} s={\frac {1}{4\pi }}{\frac {2\pi aI}{a^{2}}}={\frac {I}{2a}}$

となる。

中心ちゅうしんよりzだけずれた位置いちに生しょうじる磁場じば

次つぎに、右みぎ図ずのようなOより面めんに垂直すいちょくに z だけずれた位置いちQに生しょうじる磁場じばについて考かんがえる。図ずより、

$|{\boldsymbol {r}}|={\sqrt {a^{2}+z^{2}}},\quad \angle \mathrm {OPQ} =\alpha$

である。

dH はビオ・サバールの法則ほうそくより ds と r に垂直すいちょくで、面めんに平行へいこうな成分せいぶん $\mathrm {d} H_{\parallel }=\mathrm {d} H\sin \alpha$ は対称たいしょう性せいにより円周えんしゅう上じょうを積分せきぶんすると 0 になってしまうので、面めんに垂直すいちょくな成分せいぶん $\mathrm {d} H_{\perp }=\mathrm {d} H\cos \alpha$ のみを考かんがえればよい。

$\mathrm {d} H_{\perp }(z)=\mathrm {d} H(z)\cos \alpha ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I\mathrm {d} s}{a^{2}+z^{2}}}{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+z^{2}}}}$

ここで、ds = a dθしーた であることを用もちいて、

${\begin{aligned}H_{\perp }(z)&={\frac {1}{4\pi }}{\frac {Ia^{2}}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{4\pi }}{\frac {2\pi \,Ia^{2}}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}}={\frac {Ia^{2}}{2(a^{2}+z^{2})^{3/2}}}\end{aligned}}$

ここで、z = 0 とすれば、円えんの中心ちゅうしん部ぶに生しょうじている磁場じばH_O が得えられる。即すなわち、

$H_{\mathrm {O} }=H_{\perp }(0)={\frac {I}{2a}}$

であり、これは先さきほど求もとめたものに一致いっちする。

発散はっさんと回転かいてん

発散はっさん

ビオ・サバールの法則ほうそくの両辺りょうへんの発散はっさんを取とる。

$\operatorname {div} {\boldsymbol {H}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}\operatorname {div} \left({\boldsymbol {j}}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'$

ここで、ベクトル解析かいせきの恒等こうとう式しきより

$\operatorname {div} \left({\boldsymbol {j}}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\right)=-{\boldsymbol {j}}\cdot \operatorname {rot} {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}$

また、

${\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}=-\operatorname {grad} {\frac {1}{r}}$

なので、これを代入だいにゅうすると、

$\operatorname {div} {\boldsymbol {H}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\boldsymbol {j}}\cdot \operatorname {rot} \left(\operatorname {grad} {\frac {1}{r}}\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'=0$

を得える。これは、磁場じばに対たいするガウスの法則ほうそくより導みちびかれる結果けっかに等ひとしい。

回転かいてん

ビオ・サバールの法則ほうそくの両辺りょうへんの回転かいてんを取とる。

$\operatorname {rot} {\boldsymbol {H}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}\operatorname {rot} \left({\boldsymbol {j}}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'$

ここで、ベクトル解析かいせきの恒等こうとう式しきより

$\operatorname {rot} \left({\boldsymbol {j}}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\right)=\left(\operatorname {div} {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\right){\boldsymbol {j}}-(\operatorname {div} {\boldsymbol {j}}){\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}$

また、

$\operatorname {div} {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}=4\pi \delta (r)$

なので、

${\begin{aligned}\operatorname {rot} {\boldsymbol {H}}&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}4\pi \delta (r)\cdot {\boldsymbol {j}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'\\&={\boldsymbol {j}}\end{aligned}}$

が得えられる。これはアンペールの法則ほうそくそのものである。

ただし、この書かき換かえは静しずか磁場じばでのみ有効ゆうこうであることに留意りゅういしなければならない。

ベクトルポテンシャル

静せい磁場じばで、ベクトルポテンシャルが

${\boldsymbol {B}}=\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}$

と定義ていぎ出来できるとき、

${\frac {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|^{3}}}=-\operatorname {grad} {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}$

であるので、ベクトルの恒等こうとう式しき、

$\operatorname {rot} {\frac {\boldsymbol {j_{0}({\boldsymbol {r}}')}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}=-{\boldsymbol {j}}_{0}({\boldsymbol {r}}')\times \operatorname {grad} {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}$

からビオ・サバールの法則ほうそくはベクトルポテンシャル A によって

${\boldsymbol {A}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {j}}_{0}({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'$

と書かき換かえられることになる。ここで、$\mu _{0}$は真空しんくうの透とおる磁率、${\boldsymbol {j}}_{0}={\boldsymbol {j}}+{\boldsymbol {j}}_{\boldsymbol {M}}$は電流でんりゅう密度みつど+磁化じか電流でんりゅう密度みつどである。

また、ビオ・サバールの法則ほうそくは静しずか電場でんじょうにおけるクーロンの法則ほうそくに対応たいおうするものであるが、同様どうように電場でんじょうのスカラーポテンシャル φふぁい

${\boldsymbol {E}}=-\operatorname {grad} \phi \,\!$

によって静しずか電場でんじょうにおけるクーロンの法則ほうそく、あるいはガウスの法則ほうそくを書かき換かえると

$\phi \,\!={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{V}{\frac {\rho _{0}({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'$

となり対称たいしょう性せいを見みることができる。ここで$\varepsilon _{0}$は真空しんくうの誘電ゆうでん率りつ、$\rho _{0}=\rho +\rho _{\boldsymbol {P}}$は電荷でんか密度みつど+分極ぶんきょく電荷でんか密度みつどである。

マクスウェル方程式ほうていしきからの導出どうしゅつ

もちろん、電磁気でんじき学がくの法則ほうそくなのでマクスウェル方程式ほうていしきから導出どうしゅつすることができる。前節ぜんせつにおいて電場でんじょうと磁場じばのそれぞれがスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルによって記述きじゅつされ、しかもかたや電荷でんか密度みつど、かたや電流でんりゅう密度みつどを距離きょりの逆ぎゃく比ひで重おもみ付づけして積分せきぶんするという形式けいしきになっていることをみたが、その対称たいしょう性せいの説明せつめいもできる。

まずクーロンの法則ほうそくをマクスウェル方程式ほうていしきから導出どうしゅつするプロセスを考かんがえる。これは静しずか電場でんじょう仮定かていでのポテンシャルと電場でんじょうの関係かんけい

${\boldsymbol {E}}=-\operatorname {grad} \phi \,\!$

を用もちいて、ガウスの法則ほうそく

$\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho$

を変形へんけいすると

$\nabla ^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

が得えられる。これを$\phi$に対たいする微分びぶん方程式ほうていしきだと考かんがえると、グリーン関数かんすう法ほうによって解とくことができる。すなわち、方程式ほうていしきの両辺りょうへんをフーリエ変換へんかんして、各かくモードに対たいするウェイトの方程式ほうていしきとして読よみ替かえ、ウェイトがわかったところでフーリエ逆ぎゃく変換へんかんによって解かいを構成こうせいする。解かいは前節ぜんせつの通とおりで

$\phi \,\!={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{V}{\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'$

となる。本題ほんだいのビオ・サバールの法則ほうそくの場合ばあいはアンペール・マクスウェルの法則ほうそく

$\operatorname {rot} {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {D}}$

をやはり静しずか電場でんじょう仮定かていで右辺うへん第だい二に項こうを無視むしした上うえで、ポテンシャル表示ひょうじ

${\boldsymbol {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}$

を適用てきようする。すると

$\operatorname {rot} \operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}$

となるが、$\operatorname {rot} \operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}=\operatorname {grad} \operatorname {div} {\boldsymbol {A}}-\nabla ^{2}{\boldsymbol {A}}$および、クーロンゲージ$\operatorname {div} {\boldsymbol {A}}=0$を適用てきようすることで

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {A}}=-\mu _{0}{\boldsymbol {j}}$

となる。今度こんどはベクトルになっているが、演算えんざん子こがスカラーなので各かくベクトル成分せいぶんに対たいして独立どくりつに同おなじ方程式ほうていしきを立たてているに過すぎず、また、式しきの形かたち上じょうもスカラーポテンシャルの時ときと係数けいすうを除のぞいて同おなじなので同おなじ方法ほうほうを使つかって構成こうせいすれば

${\boldsymbol {A}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'$

を得えることになる。これに回転かいてんを取とればビオ・サバールの法則ほうそくが得えられる。

以上いじょうのことをまとめると、

• 考かんがえているベクトル場じょう${\boldsymbol {H}}$が何なんらかのベクトル場じょう${\boldsymbol {A}}$の回転かいてんで記述きじゅつできる($\operatorname {div} {\boldsymbol {H}}=0$)
• ベクトル場じょう${\boldsymbol {H}}$の回転かいてんがベクトル場じょう${\boldsymbol {j}}$に比例ひれいする
• 空間くうかん次元じげんが3であるとき(グリーン関数かんすう法ほうの結果けっかがこのような重おもみ付づけになる上じょうで必要ひつよう)

ビオ・サバールの法則ほうそくが(比例ひれい係数けいすうを除のぞいて)得えられることになる。

流体りゅうたい力学りきがく

前節ぜんせつで説明せつめいしたように、数式すうしき上じょうの性質せいしつさえ共通きょうつうすればビオ・サバールの法則ほうそくを得えることになる。それは具体ぐたい的てきには流体りゅうたい力学りきがくが好例こうれいである。

流体りゅうたい力学りきがくにおける渦うず度どは流速りゅうそくの回転かいてんとして定義ていぎされている。

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\Omega }}&=\operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}\\&={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial z}},&{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial x}},&{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial y}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

したがって、渦うず度どの具体ぐたい的てきな場ば${\boldsymbol {\omega }}$を知しることができ(それ自身じしんなので比例ひれい係数けいすう1で比例ひれいしているとみなす)、$\operatorname {div} {\boldsymbol {v}}=0$を言いえる場合ばあいには、(もちろん空間くうかん次元じげん3の領域りょういきで問題もんだいを扱あつかうので)${\boldsymbol {\omega }}$からベクトル場じょう${\boldsymbol {v}}$をビオ・サバールの法則ほうそくによって記述きじゅつできる。

具体ぐたい的てきには

${\boldsymbol {v}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}\mathrm {d} V{\boldsymbol {\omega }}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}$

という結果けっかを得えることができる。

上記じょうき結果けっかを渦うず糸いとに適用てきようしてその微小びしょう部分ぶぶんの寄与きよを取とり出だすことで次つぎのように記述きじゅつされるビオ・サバールの法則ほうそくをみる。

$dv={\frac {\Gamma \sin \theta \mathrm {d} s}{4\pi r^{2}}}$

ただし変数へんすうの意味いみを以下いかのように読よみ替かえる。

• dv ：観測かんそく点てんで誘導ゆうどうされる速度そくど
• Γがんま：渦うず糸いとまわりの循環じゅんかん
• ds ：渦うず糸いとの微小びしょう部分ぶぶん
• θしーた：ds の方向ほうこうとそこから観測かんそく点てんを結むすぶ直線ちょくせんとのなす角かく
• r ：ds と観測かんそく点てんの距離きょり

関連かんれん項目こうもく

• 物理ぶつり学がく
• 電磁気でんじき学がくの年表ねんぴょう
• 気象庁きしょうちょう地磁気ちじき観測かんそく所しょ - 当とう法則ほうそくが直流ちょくりゅう電化でんかによる悪影響あくえいきょうの根拠こんきょとなった。
• 電磁でんじポテンシャル