リスクプレミアム

リスクプレミアム（英えい: risk premium）とは、リスク資産しさんの期待きたい収益しゅうえき率りつにおいて価格かかく変動へんどうリスクの対価たいかとみなされる部分ぶぶんのことである。

概要がいよう

リスクプレミアムは以下いかの式しきで定義ていぎされる。

リスクプレミアム = 不ふ確実かくじつな価格かかく変動へんどうを伴ともなうリスク資産しさんの期待きたい収益しゅうえき率りつ - 無むリスク金利きんり（短期たんき国債こくさいなどの無むリスク資産しさんの金利きんり）

リスクプレミアムは通常つうじょう、正せいであり、金融きんゆう商品しょうひんが持もつ不ふ確実かくじつな価格かかく変動へんどうを受うけ入いれるために必要ひつような平均へいきん的てき収益しゅうえきと見みなすことが出来できる。もし、ある金融きんゆう商品しょうひんのリスクプレミアムが0または負まけであれば、多おおくの人ひとはリスクを避さけようとする傾向けいこうがあるため(リスク回避かいひ的てき)、そのような金融きんゆう商品しょうひんは購入こうにゅうせず、国債こくさいなどの安全あんぜんな資産しさんに投資とうしするであろう^[1]。ある金融きんゆう商品しょうひんのリスクプレミアムを計算けいさんするに当あたって、国債こくさいなどの無むリスク資産しさんの金利きんりはデータから分わかるものの、その金融きんゆう商品しょうひんの未来みらいに生しょうじる収益しゅうえき率りつは事前じぜんにはわからない。よってリスクプレミアムを求もとめるためには金融きんゆう商品しょうひんの期待きたい収益しゅうえき率りつを何なんらかのモデルで仮定かていする必要ひつようがある。

リスク中立ちゅうりつ確かく率りつとリスクプレミアム

リスク中立ちゅうりつ確かく率りつとは金融きんゆう商品しょうひんの価格かかくを金利きんりで割わり引びいたものがマルチンゲールとなるような仮想かそう上じょうの確かく率りつのことである。よってリスク中立ちゅうりつ確かく率りつで金融きんゆう商品しょうひんの収益しゅうえき率りつの期待きたい値ちを取とれば金利きんりと等ひとしくなる。つまりある金融きんゆう商品しょうひんの収益しゅうえき率りつを ${\widetilde {R}}$ 、金利きんりを $r$ とすると、

r=E^{*}[{\widetilde {R}}]

が成なり立たつ。ただし $E^{*}$ はリスク中立ちゅうりつ確かく率りつでの期待きたい値ちである。ここでこの金融きんゆう商品しょうひんのリスクプレミアムを $RP$ と表あらわすと

RP=E[{\widetilde {R}}]-r=E[{\widetilde {R}}]-E^{*}[{\widetilde {R}}]

となる。ただし $E$ は実際じっさいの確かく率りつでの期待きたい値ちである。つまりリスクプレミアムは金融きんゆう商品しょうひんの実際じっさいの確かく率りつでの期待きたい収益しゅうえき率りつからリスク中立ちゅうりつ確かく率りつでの期待きたい収益しゅうえき率りつを引ひいたものとして表現ひょうげんすることが出来できる。

エクイティリスクプレミアム

株式かぶしきのリスクプレミアムをエクイティリスクプレミアム(英えい: equity risk premium)と言いう。

CAPM

詳細しょうさいは「資本しほん資産しさん価格かかくモデル」を参照さんしょう

資本しほん資産しさん価格かかくモデル(CAPM)は適正てきせいなリスクプレミアムの大おおきさを測はかる指標しひょうになるモデルの一ひとつである。 CAPMにおいては株式かぶしき $i$ の期待きたい収益しゅうえき率りつ $R_{i}$ は次つぎの式しきで決定けっていされる。

R_{i}=r+\beta _{i}(R_{M}-r)

ここで $R_{M}$ は市場いちばポートフォリオとよばれるポートフォリオの期待きたい収益しゅうえき率りつであり、 $r$ は無むリスク資産しさんの金利きんりである。 $\beta _{i}$ はベータと呼よばれる各かく株式かぶしきに固有こゆうの係数けいすうである。すると株式かぶしき $i$ のリスクプレミアムは定義ていぎから

R_{i}-r=\beta _{i}(R_{M}-r)

となる。市場いちばポートフォリオには通常つうじょう、その代理だいりとしてS&P500などの時価じか総額そうがく加重かじゅう平均へいきん型がた株価かぶか指数しすうが用もちいられる。CAPMは株式かぶしきに限かぎらずあらゆる金融きんゆう資産しさんについて成立せいりつするので、CAPMを用もちいたリスクプレミアムの評価ひょうかは株式かぶしきに限かぎらず可能かのうである。またCAPMと類似るいじのリスクプレミアム計算けいさん方法ほうほうとしてファーマ＝フレンチ3ファクターモデルが用もちいられることもある。

リスクの市場いちば価格かかく(market price of risk)

リスクの市場いちば価格かかくとはリスクプレミアムをボラティリティで除じょしたものである。特とくに数理すうりファイナンスの文脈ぶんみゃくで言及げんきゅうされる。

以下いかでブラック・ショールズモデルにおける例れいを記述きじゅつする。ある金融きんゆう商品しょうひんの価格かかく $S$ が次つぎの幾何きかブラウン運動うんどうに従したがうとする。

dS(t)=S(t)(\sigma dW(t)+\mu dt)

ただし $\mu ,\sigma$ は定数ていすうで $r$ は国債こくさいなどの無むリスク資産しさんの金利きんりであり、 $W$ はブラウン運動うんどうである。この時とき、リスクの市場いちば価格かかく $\lambda$ は次つぎのように定義ていぎされる。

\lambda ={\frac {\mu -r}{\sigma }}

ギルサノフの定理ていり（英語えいご版ばん）から次つぎの新あたらしい確かく率りつ過程かてい

W^{*}(t)=W(t)+\lambda t

はリスク中立ちゅうりつ確かく率りつ測度そくどの下したでブラウン運動うんどうに従したがい、更さらに

dS(t)=S(t)(\sigma dW^{*}(t)+rdt)

と表あらわされることから、確たしかにこの金融きんゆう商品しょうひんを金利きんりで割わり引びいたものはリスク中立ちゅうりつ確かく率りつ測度そくどの下したでマルチンゲールとなることが言いえる。この例れいでは無むリスク資産しさんと単一たんいつの価格かかく変動へんどうリスクが存在そんざいする金融きんゆう資産しさんのみが存在そんざいする場合ばあいを考かんがえたが、複数ふくすうの金融きんゆう資産しさんが存在そんざいする場合ばあいのブラック・ショールズモデルでは、リスクの市場いちば価格かかくは金融きんゆう商品しょうひんごとに定さだまるのではなくリスクの源泉げんせんとなるブラウン運動うんどうごとに定さだまる^[2]。

エクイティプレミアムパズル

詳細しょうさいは「エクイティプレミアムパズル」を参照さんしょう

エクイティプレミアムパズル(英えい: equity premium puzzle)とは実際じっさいの市場いちばで観測かんそくされるエクイティリスクプレミアムが新しん古典こてん派は経済けいざい学がくの標準ひょうじゅん的てきなモデルにおけるリスクへの対価たいかで正当せいとう化かされ得える範囲はんいより大おおきいという問題もんだいのことである。

Rajnish Mehra（英語えいご版ばん）とエドワード・プレスコットが1985年ねんに発表はっぴょうした論文ろんぶん^[3]により広ひろく知しられるようになった。

エクイティプレミアムパズルは新しん古典こてん派は経済けいざい学がくで広ひろく用もちいられる相対そうたい的てきリスク回避かいひ度ど一定いってい(CRRA)型がた効用こうよう関数かんすうを用もちいた際さいに起おこる。CRRA型がた効用こうよう関数かんすうを用もちいた経済けいざいモデルにおいて、実際じっさいに観測かんそくされるエクイティリスクプレミアムに対たいしてモデルのパラメータを推定すいていすると、投資とうし家かのリスクへの相対そうたい的てき忌避きひ度どを表あらわす相対そうたい的てきリスク回避かいひ度どと呼よばれるパラメータが高たかくなる。これは株式かぶしき以外いがいのデータから推定すいていされる相対そうたい的てきリスク回避かいひ度どや実験じっけん経済けいざい学がくにおける経済けいざい実験じっけんで確たしかめられる相対そうたい的てきリスク回避かいひ度どに比くらべると著いちじるしく高たかいことが知しられている。

双そう曲きょく割引わりびきなどの行動こうどうファイナンス理論りろんや習慣しゅうかん形成けいせいなどの伝統でんとう的てき手法しゅほう等とう、多おおくの代替だいたいモデルによってエクイティプレミアムパズルを説明せつめいしようとする試こころみがなされてきたが、統一とういつ的てきな説明せつめいは得えられていない。

クレジットスプレッド

クレジットスプレッド(英えい: credit spread)またはクレジットリスクプレミアム(英えい: credit risk premium)とは、ほぼ安全あんぜんと見みなせる経済けいざい大国たいこくの国債こくさいなどと比くらべた場合ばあいにデフォルトの危険きけん性せいが高たかい社債しゃさいなどの債券さいけんについてのリスクプレミアムである。クレジットスプレッドについての理論りろんモデルの例れいとしてDarrell Duffie（英語えいご版ばん）とKenneth Singleton（英語えいご版ばん）による価格かかくモデルがある^[4]。

バリアンスリスクプレミアム

バリアンスリスクプレミアム(英えい: variance risk premium)とは金融きんゆう商品しょうひんの収益しゅうえき率りつの分散ぶんさんに対たいするリスクプレミアムである。満期まんきを $T$ としたバリアンスリスクプレミアム $VRP$ は以下いかの式しきで定義ていぎされる。

VRP=E\left[{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}v^{2}(t)dt\right]-E^{*}\left[{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}v^{2}(t)dt\right]

ここで $E,E^{*}$ はそれぞれ現実げんじつの確かく率りつ測度そくどとリスク中立ちゅうりつ確かく率りつ測度そくどによる期待きたい値ちであり、 $v$ は金融きんゆう資産しさんのボラティリティである。実用じつよう上じょう、右辺うへん第だい1項こうは金融きんゆう商品しょうひんの時とき系列けいれつデータから計算けいさんされるヒストリカルボラティリティで代理だいりされ、第だい2項こうは店頭てんとうデリバティブの一ひとつであるバリアンススワップ（英語えいご版ばん）におけるバリアンススワップレートの無む裁定さいてい価格かかくと同おなじであることからバリアンススワップレート、もしくはVIXで代理だいりされる。その意味いみでバリアンスリスクプレミアムはバリアンススワップにおける買かい手てから見みた期待きたい収益しゅうえき率りつと見みなせる。バリアンスリスクプレミアムはその他たのリスクプレミアムと異ことなり負まけとなる場合ばあいが多おおい^[5]。また実際じっさいに観測かんそくされるバリアンスリスクプレミアムはCAPMやファーマ＝フレンチの3ファクターモデルなどの既存きそんの資産しさん価格かかくモデルで説明せつめいできないほどに負まけの方向ほうこうに大おおきいことが確認かくにんされている^[6]。

脚注きゃくちゅう

参考さんこう文献ぶんけん

Shreve, Steven E. (2004), Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models, New York: Springer, ISBN 9780387401010
Mehra, Rajnish; Prescott, Edward C. (1985), “The equity premium: A puzzle”, Journal of Monetory Economics 15 (2): 145-161, doi:10.1016/0304-3932(85)90061-3
Duffie, Darrell; Singleton, Kenneth J. (1999), “Modeling term structures of defaultable bonds”, The Review of Financial Studies 12 (4): 687-720, doi:10.1093/rfs/12.4.687
Carr, Peter; Wu, Liuren (2006), “A tale of two indices”, The Journal of Derivatives 13 (3): 13-29, doi:10.3905/jod.2006.616865
Carr, Peter; Wu, Liuren (2009), “Variance risk premiums”, The Review of Financial Studies 22 (3): 1311-1341, doi:10.1093/rfs/hhn038