レベル表現ひょうげん

比ひの対数たいすう level
量りょう記号きごう
次元じげん	無む次元じげん量りょう
種類しゅるい	スカラー
SI単位たんい	併用へいよう単位たんい ベル（B）、ネーパ（Np）

レベル表現ひょうげん（レベルひょうげん、英語えいご: level）とは、おもに音響おんきょうや電信でんしんなどの信号しんごうを扱あつかう分野ぶんやで使つかわれる語かたりであり、対象たいしょうとするスカラー量りょうについて、基準きじゅんとなる量りょうとの比ひの対数たいすうをとって表あらわした量りょうである。。単位たんいはデシベル（記号きごう: dB）がよく用もちいられる。比ひの対数たいすう。対数たいすう尺度しゃくど。

レベル表現ひょうげんが多用たようされる場面ばめんには、量りょうの和わや差さよりも積せきと商しょうが優位ゆういとなりがちな増幅ぞうふくや減衰げんすいを扱あつかう領域りょういきがある。桁けたのかけ離はなれた量りょうが混在こんざいする場面ばめんでは対数たいすうを取とることでその扱あつかいは容易よういとなる。 レベル表現ひょうげんは一ひとつの表現ひょうげん形式けいしきであり、基準きじゅん量りょうの値ねを添そえることで元もとの表現ひょうげんと同一どういつの情報じょうほうとなる。分野ぶんや領域りょういきごとにレベル表現ひょうげんがもっぱら使用しようされる物理ぶつり量りょうがある。

定義ていぎ

正せいの量りょう A の基準きじゅん量りょう A₀ に対たいするレベル L は次つぎのように定義ていぎされる。

$L=c\ln {\frac {A}{A_{0}}}$

基準きじゅん量りょう A₀ は A と同種どうしゅの量りょうで同おなじ次元じげんをもつ。従したがって、対数たいすうの中なかの比ひ A/A₀ は無む次元じげんの量りょうとなり、冪べき級数きゅうすうとして解析かいせき的てきに定義ていぎされる対数たいすう関数かんすうとの次元じげんは整合せいごうしている。 国際こくさい量りょう体系たいけいにおいては係数けいすう c に次元じげんが与あたえられていないので、レベル L も無む次元じげん量りょうである。

係数けいすう c のベル（記号きごう: B）、デシベル（記号きごう: dB）及およびネーパ（記号きごう: Np）に対たいする値ねは

$c={\frac {1\ {\text{B}}}{\ln 10}}={\frac {10\ {\text{dB}}}{\ln 10}}=1\ {\text{Np}}$

である。係数けいすう c は対数たいすうの底そこを取とり換かえる働はたらきをして

$L/{\text{B}}=\lg {\frac {A}{A_{0}}}$

$L/{\text{dB}}=10\lg {\frac {A}{A_{0}}}\simeq \log _{1.259}{\frac {A}{A_{0}}}$

$L/{\text{Np}}=\ln {\frac {A}{A_{0}}}$

となる。つまりベルなら底そこが10の常用じょうよう対数たいすう、ネーパは底そこがeの自然しぜん対数たいすうで表あらわした値ねである。デシベルで表あらわした数値すうちはベルで表あらわした数値すうちを10倍ばいすれば得えられるが、10^1/10 ≒ 1.259 が底そこと考かんがえることもできる。

A や A₀ には任意にんいの物理ぶつり量りょうを選えらぶことができるが、（変位へんいでなく）エネルギー的てきな量りょうを選えらぶことが標準ひょうじゅんであり、音圧おんあつなど変位へんい的てきな量りょうには (a/a₀)² と二乗にじょうする。 A は一定いってい時間じかんに亘わたる実効じっこう値ち（エネルギー的てき平均へいきん値ち）であることが多おおいが、瞬時しゅんじ値ちであっても同様どうようにレベルを定義ていぎできる。

性質せいしつ

レベルシフト

「対数たいすう#基本きほん的てきな演算えんざん」も参照さんしょう

レベル表現ひょうげんの基準きじゅん量りょうを A'₀ へ変更へんこうしたとき、対数たいすうの基本きほん的てきな関係かんけい式しきにより

$L'=c\ln {\frac {A}{A'_{0}}}=c\ln {\frac {A}{A_{0}}}-c\ln {\frac {A'_{0}}{A_{0}}}=L-{\text{const.}}$

である。すなわち基準きじゅん量りょうの変更へんこうはレベルのシフトすなわち零れい点てんの変更へんこうに相当そうとうする。

各かく分野ぶんやにおいて基準きじゅん量りょう A₀ には標準ひょうじゅん的てきな設定せっていがされている。 例たとえば音響おんきょう学がくにおける諸しょ量りょうでは以下いかである。

音圧おんあつレベル

$L_{p}/{\text{dB}}=20\lg {\frac {p_{\text{rms}}}{p_{0}}}$

• 音圧おんあつの基準きじゅん量りょう： p₀ = 2.0×10⁻⁵ Pa

音響おんきょうパワーレベル

$L_{P}/{\text{dB}}=10\lg {\frac {P_{\text{m}}}{P_{0}}}$

• 音響おんきょうパワーの基準きじゅん量りょう： P₀ = 1×10⁻¹² W

騒音そうおん暴露ばくろレベル

$L_{E}/{\text{dB}}=10\lg {\frac {E}{E_{0}}}$

• 騒音そうおん暴露ばくろ量りょうの基準きじゅん量りょう： E₀ = 1 s × p₀²

レベル差さ

同おなじ基準きじゅん量りょうに対たいするレベル L₁ と L₂ の差さは

$L_{2}-L_{1}=c\ln {\frac {A_{2}}{A_{0}}}-c\ln {\frac {A_{1}}{A_{0}}}=c\ln {\frac {A_{2}}{A_{1}}}$

で表おもてさる。すなわちレベル差さは基準きじゅん量りょうには依よらない。基準きじゅん量りょうの変更へんこうはレベルのシフトにあたるため、2つのレベルが同おなじだけシフトされても差さが変かわらない（基準きじゅん量りょうに依よらない）とも説明せつめいできる。

例たとえば $(A_{0},A_{1},A_{2})=(1,10,1000)$ のとき $(L_{1},L_{2})=(10\ {\text{dB}}\times \lg 10^{1},10\ {\text{dB}}\times \lg 10^{3})=(10\ {\text{dB}},30\ {\text{dB}})$ で差さは20dBでしべるであり、$A_{0}=10$ に変更へんこうしても$(L_{1},L_{2})=(10\ {\text{dB}}\times \lg 1,10\ {\text{dB}}\times \lg 10^{2})=(0\ {\text{dB}},20\ {\text{dB}})$ となり差さは20dBでしべるで変化へんかしない。

対数たいすう尺度しゃくどを内包ないほうする単位たんい

特定とくていの数量すうりょう/物理ぶつり量りょうに対たいしレベル表現ひょうげんをする指標しひょうがある。身近みぢかな表現ひょうげんとしては「桁数けたすう」があり、巨大きょだいな数かずを簡潔かんけつに表あらわせる点てんなど本質ほんしつ的てきにレベル表現ひょうげんと同おなじである。

これらは定数ていすう倍ばいすることでデシベルやネーパに換算かんさんできる。なお、底そこが1より小ちいさい場合ばあい、指標しひょうが大おおきいほど実際じっさいの物理ぶつり量りょうは小ちいさくなる。

元もとの数量すうりょう/物理ぶつり量りょう	対数たいすう尺度しゃくど	底そこ
10進数しんすう	桁けた数かず	10
水素すいそイオン濃度のうど	水素すいそイオン指数しすう (pH)	10（負号ふごう省略しょうりゃくのため実質じっしつ1/10）
地震じしんのモーメント	マグニチュード (M)	101.5 ≒ 31.623
天体てんたいの光度こうど	等級とうきゅう	10−0.4 ≒ 1 / 2.512
周波数しゅうはすう	ディケード	10
音おとの周波数しゅうはすう	オクターブ	2
音おとの周波数しゅうはすう	半音はんおん	21/12 ≒ 1.059

関連かんれん項目こうもく

• デシベル
• オーダー (物理ぶつり学がく)