中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり

中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり。辺あたり MN と BC の長ながさの比ひは 1:2 であり、2 つの辺あたりは互たがいに平行へいこうである。

中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり（ちゅうてんれんけつていり、英えい: midpoint theorem, midpoint connector theorem）とは、平面へいめん幾何きかの定理ていりの一ひとつ。

定理ていり

三角形さんかっけいの底辺ていへんを除のぞく2 辺へんのそれぞれの中点ちゅうてんを結むすんだ線分せんぶん「中点ちゅうてん連結れんけつ」は、底辺ていへんと平行へいこうであり、長ながさは底辺ていへんの半分はんぶんに等ひとしい。また、相似そうじ比ひが1:2の相似そうじな三角形さんかっけいができる。

証明しょうめい

以下いかにおいて、∥ は 2 つの線分せんぶんが平行へいこうであることを表あらわす。

三角形さんかっけい ABC について、辺あたり AB の中点ちゅうてんを M, 辺あたり AC の中点ちゅうてんを N とする。このとき、三角形さんかっけい ABC の中点ちゅうてん連結れんけつMN は、底辺ていへんBC と平行へいこうであり、かつ 中点ちゅうてん連結れんけつMN の長ながさを 2 倍ばいすると、底辺ていへんBC の長ながさに等ひとしくなることを示しめし、中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていりが成なり立たつことを証明しょうめいする。

補助ほじょ点てんDは▱AMCDと▱MBCDを形成けいせいする。

証明しょうめい — 線分せんぶん MN の延長えんちょう上じょうに、補助ほじょ点てん D をとって、 MN = ND とする。 ここで、MN = ND, AN = NC であり、四角形しかっけい AMCD の対角線たいかくせんは各々おのおのの中点ちゅうてん N で交まじわることから、平行四辺形へいこうしへんけいAMCDが成立せいりつする。平行四辺形へいこうしへんけいの定義ていぎより AM ∥ CD、平行四辺形へいこうしへんけいの対辺たいへんの性質せいしつより AM = CD が明あきらかになる。ところが、M は 辺あたりAB の中点ちゅうてんであることから AM = MB であることを用もちいると、MB= CD となり、MB ∥ CD とから、一いち組くみの対辺たいへんが平行へいこうかつ等とう長ちょうであることから 平行四辺形へいこうしへんけい MBCD が成立せいりつする。平行四辺形へいこうしへんけいの定義ていぎより、他方たほうの辺あたりの組くみについても互たがいに平行へいこうであること MD ∥ BC から MN ∥ BC が成なり立たつ。 また、平行四辺形へいこうしへんけい MBCD の対辺たいへんの性質せいしつから、 MD = BC が示しめされ、補助ほじょ点てん D の設定せっていより、MN = ND より 2MN =BC が成なり立たつから、底辺ていへん BC と、中点ちゅうてん連結れんけつ MN について中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていりが示しめされた。

なお、国内こくないの中学校ちゅうがっこうで用もちいられている教科書きょうかしょの多おおくで、図形ずけいの相似そうじ の単元たんげんの中なかで、三角形さんかっけいABC と 三角形さんかっけいAMN が相似そうじであることを用もちいた証明しょうめいの記述きじゅつがある。これは、学習がくしゅう課程かていの便宜べんぎから、証明しょうめいとして用もちいられている方法ほうほうであり、相似そうじの性質せいしつを利用りようして示しめす特殊とくしゅな例れいとして扱あつかわれている。これは中学ちゅうがく数学すうがくにおいて、相似そうじな図形ずけいに関かんする知識ちしきを、小学しょうがく算数さんすうの拡大かくだい・縮小しゅくしょうの操作そうさを通とおして得えられた、図形ずけいの計量けいりょうの知識ちしきの一部いちぶと捉とらえ（半なかば公理こうりとして）証明しょうめいなしで使用しようしている事情じじょうによる。数学すうがく的てきには、相似そうじな図形ずけいの性質せいしつ、成立せいりつ条件じょうけんを含ふくめ、あらゆる相似そうじに関かんする定理ていりはこの 中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり とその逆ぎゃく定理ていりを繰くり返かえし用もちいることで導みちびかれるものであるため、これでは循環じゅんかん論法ろんぽうとなって、教科書きょうかしょに証明しょうめいとして記載きさいされている一連いちれんの記述きじゅつは厳密げんみつには誤あやまりである。

中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていりの逆ぎゃく

中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていりは、三角形さんかっけいの2つの性質せいしつを含ふくんでいる。即すなわち、

• a. 三角形さんかっけいの中点ちゅうてん連結れんけつは、底辺ていへんと平行へいこうの方向ほうこうを持もつ。
• b. 三角形さんかっけいの中点ちゅうてん連結れんけつは、底辺ていへんの半分はんぶんの長ながさを持もつ。

の両方りょうほうをまとめて指さす定理ていりである。従したがってその逆ぎゃくは、それぞれの結論けつろんと仮定かていの一部いちぶを入いれ替かえて、

• a. 三角形さんかっけいの底辺ていへんを除のぞく一辺いっぺんの中点ちゅうてんから、残のこりの一いち辺へん上じょうの点てんに向むけて、底辺ていへんと平行へいこうな方向ほうこうに線分せんぶんを引ひくと、残のこりの辺あたり上じょうの点てんは、その辺あたりの中点ちゅうてんとなる。
• b. 三角形さんかっけいの底辺ていへんを除のぞく一辺いっぺんの中点ちゅうてんから、残のこりの一いち辺へん上じょうの点てんに向むけて、底辺ていへんの半分はんぶんの長ながさの線分せんぶんを引ひくと、残のこりの辺あたり上じょうの点てんは、その辺あたりの中点ちゅうてんとなる。

となるが、このうち b. の内容ないようは、反例はんれいを示しめすことで、容易よういに否定ひてい的てきに証明しょうめいされる。このことから、一般いっぱんに中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていりの逆ぎゃくと呼よばれる定理ていりは、a. の内容ないようであり、より簡単かんたんに「三角形さんかっけいの底辺ていへんを除のぞく一辺いっぺんの中点ちゅうてんから、底辺ていへんの平行へいこう線せんを引ひくと、残のこりの辺あたりの中点ちゅうてんを通とおる」と表現ひょうげんされる。この内容ないようは真しんである。 三角形さんかっけい ABC において、辺あたり AB の中点ちゅうてん M から引ひいた底辺ていへん BC の平行へいこう線せんと、残のこりの辺あたり AC との交点こうてんを N とするとき、点てん N は辺あたり AC の中点ちゅうてんとなることを示しめそう。

証明しょうめい — 線分せんぶん MN の延長えんちょう上じょうに、MD = BC となる点てん D をとる。四角形しかっけい MBCD は、一いち組くみの対辺たいへん MD, BC が平行へいこうかつ等とう長ちょうであることから、平行四辺形へいこうしへんけいである。よって AB ∥ CD であり、また CD = MB と AM = MB とから AM = CD。一いち組くみの対辺たいへん AM, CD が平行へいこうかつ等とう長ちょうであることから、四角形しかっけい AMCD は平行四辺形へいこうしへんけい。平行四辺形へいこうしへんけい AMCD の対角線たいかくせんは中点ちゅうてんで交まじわることから、AN = NC。

また、これとは別べつに、中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていりの2つの結論けつろんの両方りょうほうを仮定かていに盛もり込こんだ「三角形さんかっけいの、底辺ていへんを除のぞく 2 辺へんの上うえに端点たんてんを持もつ線分せんぶんが、底辺ていへんと平行へいこうかつ長ながさがその辺あたりの半分はんぶんとなるとき、その線分せんぶんの端点たんてんは各かく辺あたりの中点ちゅうてんになる」の内容ないようも真しんであり、これを中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていりの逆ぎゃくと呼よんで、定理ていりの一ひとつとして扱あつかうことがある。

三角形さんかっけい ABC において、辺あたり AB 上うえの点てん M と辺あたり AC 上うえの点てん N を結むすぶ線分せんぶんMNが、底辺ていへん BC と平行へいこうで、かつ長ながさが半分はんぶんであるとき、線分せんぶん MN は中点ちゅうてん連結れんけつとなることを示しめそう。

証明しょうめい — 底辺ていへん BC の中点ちゅうてんをLとすると、MN = BL かつ MN ∥ BLより、一いち組くみの対辺たいへんが平行へいこうかつ等とう長ちょうであるから、四角形しかっけい MBLN は平行四辺形へいこうしへんけい。平行四辺形へいこうしへんけいの定義ていぎから、MB ∥ LN。すると中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていりの逆ぎゃく（前述ぜんじゅつ）より、点てん N は AC の中点ちゅうてん。さらに MN ∥ BCより、中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていりの逆ぎゃく（前述ぜんじゅつ）より、点てん M は AB の中点ちゅうてん。このことから、線分せんぶんMN は三角形さんかっけい ABC の中点ちゅうてん連結れんけつであることが示しめされた。

台形だいけいの中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり

台形だいけいでは、脚あしの中点ちゅうてんを結むすぶ線分せんぶんを「中点ちゅうてん連結れんけつ」と呼よび、三角形さんかっけいの場合ばあいと同様どうよう、方向ほうこうは底辺ていへんと平行へいこうになるが、長ながさは底辺ていへんの相加平均そうかへいきんとなる。

定理ていり

台形だいけい ABCD (BC ∥ DA) において、脚あし AB,CDの中点ちゅうてんをそれぞれM,Nとするとき、中点ちゅうてん連結れんけつ MN が底辺ていへん BC や DA と平行へいこうで、その長ながさの 2倍ばいが底辺ていへん BC と DA の和わに等ひとしい。

証明しょうめい

底辺ていへん BC を延長えんちょうし、直線ちょくせん AN との交点こうてんをEとすると、点てんNの設定せっていからND = NC, BC ∥ DAの錯角さっかくより∠NDA=∠NCE, 対頂角たいちょうかくより∠AND=∠ENC,これより一いち組くみの辺あたりとその両りょう端はしの角かくがそれぞれ等ひとしいことが示しめされたので、△NDA≡△NCE、合同ごうどうな図形ずけいの対応たいおうする辺あたりでDA = CE、また、AN = EN 即すなわち点てんNは線分せんぶんAEの中点ちゅうてんであることがわかる。線分せんぶんMNが△ABEの中点ちゅうてん連結れんけつであることから、中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていりを用もちいてMN ∥ BE, 2MN = BE 即すなわち、2MN = BC + DA

関連かんれん項目こうもく

• 三角形さんかっけい
• 平行四辺形へいこうしへんけい
• 台形だいけい
• 中点ちゅうてん
• 平行へいこう
• 相似そうじ
• 角度かくど