分布ぶんぷ定数ていすう回路かいろ

分布ぶんぷ定数ていすう回路かいろ（ぶんぷじょうすうかいろ、ぶんぷていすうかいろ）は電気でんき回路かいろの一種いっしゅで、回路かいろ素子そしが有限ゆうげんの個数こすうで集中しゅうちゅうすることなく無限むげんに分布ぶんぷしている回路かいろ、そのようなモデルで表現ひょうげんされる回路かいろである。

ケーブルのように一様いちような形状けいじょう・電気でんき特性とくせいの箇所かしょにケーブルの長ながさよりも十分じゅうぶんに波長はちょうが短みじかくなるような高周波こうしゅうはの交流こうりゅう信号しんごうが加くわえられ、ケーブルの全体ぜんたいにわたって電圧でんあつ・電流でんりゅう分布ぶんぷが均一きんいつであるとみなせないような状況じょうきょうの下したでの振ふる舞まいを取とり扱あつかう。対たい義ぎの概念がいねんは集中しゅうちゅう定数ていすう回路かいろ（しゅうちゅうじょうすうかいろ）である。

特性とくせいを表あらわすためにSパラメータを用もちいることが多おおい。

概要がいよう

典型てんけい的てきな例れいとして平行へいこう二に線せん線路せんろ、同軸どうじくケーブルを考かんがえてみる。 長ながさ方向ほうこうに導通どうつうを前提ぜんていとした小ちいさい抵抗ていこう成分せいぶん、誘導ゆうどう成分せいぶんが、長ながさ方向ほうこうのある点てんでは導体どうたい間あいだに容量ようりょう成分せいぶん、絶縁ぜつえんを前提ぜんていとした大おおきい抵抗ていこう成分せいぶんが存在そんざいする。

直流ちょくりゅうまたは十分じゅうぶんに低ひくい周波数しゅうはすうでは、線路せんろを構成こうせいする導体どうたい全体ぜんたいで電圧でんあつ・電流でんりゅう分布ぶんぷは一様いちようと扱あつかうことができる。

周波数しゅうはすうが高たかい領域りょういきでは、誘導ゆうどう成分せいぶん、容量ようりょう成分せいぶんの影響えいきょうが顕在けんざい化かし、印加いんかした信号しんごうの線路せんろ上じょうでの進行しんこうをモデル化かした電信でんしん方程式ほうていしきで取とり扱あつかう必要ひつようがある。

分布ぶんぷ定数ていすう線路せんろは周波数しゅうはすうが高たかい領域りょういきでの電気でんき回路かいろの取とり扱あつかいである。 ここでいう周波数しゅうはすうが高たかいとは、信号しんごうの周波数しゅうはすうと回路かいろの寸法すんぽう的てき大おおきさから相対そうたい的てきに決きまるもので、一般いっぱんにはサイズがλらむだ/4程度ていどになる程度ていどから分布ぶんぷ定数ていすう回路かいろ的てきな取とり扱あつかいの必要ひつようがある。 すなわち、周波数しゅうはすう50Hzへるつ/60Hzへるつの商用しょうよう電源でんげんの送電そうでん網あみのように、電気でんき回路かいろ一般いっぱんとしては低てい周波しゅうはとして扱あつかわれる周波数しゅうはすうの電圧でんあつ・電流でんりゅうを扱あつかう場合ばあいであっても、その線路せんろ長ちょうが㎞単位たんいの長ながさで回路かいろ全体ぜんたいに亘わたって電圧でんあつ・電流でんりゅうが一定いっていと見みなせない場合ばあいには、分布ぶんぷ定数ていすう回路かいろとして扱あつかう必要ひつようがある。

低てい周波しゅうは回路かいろでは周波数しゅうはすうフィルタをつくるのに個別こべつ素子そしとしての誘導ゆうどう素子そしインダクタンス(＝コイル)・容量ようりょう素子そしキャパシタ(＝コンデンサ)・抵抗ていこう素子そし抵抗ていこうを用もちいるが、超ちょう高周波こうしゅうは回路かいろでは配線はいせん自体じたいの誘導ゆうどう性せい・容量ようりょう性せい・抵抗ていこう性せいが顕在けんざい化かするため、配線はいせんだけでフィルタ(LPF・BPF・HPF・BEF)を構成こうせいすることができる。

設計せっけいには始はじめに、配線はいせんの特性とくせいを考慮こうりょして、信号しんごうの伝播でんぱに位相いそう遅おくれが生しょうじることを念頭ねんとうに伝播でんぱ速度そくど・反射はんしゃ係数けいすう・減衰げんすい率りつ・周波数しゅうはすう余裕よゆうなどを設定せっていする必要ひつようがある。 配線はいせん間あいだの容量ようりょう・信号しんごう透過とうか率りつも考慮こうりょしなければならないため非常ひじょうに高度こうどな設計せっけい法ほうを必要ひつようとする。

回路かいろ方程式ほうていしきと諸しょ特性とくせい

伝送でんそう線路せんろの基本きほんの構成こうせい要素ようその略図りゃくず

伝送でんそう線路せんろの回路かいろモデルを示しめす。

R:単位たんい長ながさあたりの抵抗ていこう成分せいぶん

L：単位たんい長ながさあたりのインダクタンス成分せいぶん

G：単位たんい長ながさあたりの導体どうたい間あいだのコンダクタンス成分せいぶん

C：単位たんい長ながさあたりの導体どうたい間あいだの容量ようりょう成分せいぶん

である。

分布ぶんぷ定数ていすう線路せんろの基本きほん方程式ほうていしき

図ずで示しめされる部分ぶぶんの電圧でんあつ・電流でんりゅう分布ぶんぷについての関係かんけいを示しめす以下いかの2式しきは分布ぶんぷ定数ていすう回路かいろにおける基本きほん方程式ほうていしきである。

$-{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)=L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)+RI(x,t)$

$-{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)+GV(x,t)$

さらにxで偏へん微分びぶんして

${\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}V+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV$

${\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI$

を得える。これは「電信でんしん方程式ほうていしき（Telegrapher's equations, Telegraphers equations）」と呼よばれる。

さらに上うえ式しきに $e^{j\omega t}$ なる電源でんげんを印加いんかした時ときの偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの定常ていじょう解かい（特殊とくしゅ解かい）は伝播でんぱ定数ていすう$\gamma$、特性とくせいインピーダンス$Z_{0}$を導入どうにゅうして

$V=K_{1}e^{-\gamma x}+K_{2}e^{\gamma x}$

$I={\frac {1}{Z_{0}}}(K_{1}e^{-\gamma x}-K_{2}e^{\gamma x})$

となる。$K_{1}$と$K_{2}$は境界きょうかい条件じょうけんによって決きまる定数ていすうである。

伝播でんぱ定数ていすう$\gamma$、特性とくせいインピーダンス$Z_{0}$は、

$\gamma ={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}$

$Z_{0}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}$

である。さらに、伝播でんぱ定数ていすう$\gamma$の実み部ぶである減衰げんすい定数ていすう$\alpha$および、虚きょ部ぶである位相いそう定数ていすう$\beta$は、以下いかのようになる。

$\gamma =\alpha +j\beta ={\sqrt {ZY}}={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}$

$\alpha ={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {(R^{2}+\omega ^{2}L^{2})(G^{2}+\omega ^{2}C^{2})}}+(RG-\omega ^{2}LC)\right)}}$

$\beta ={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {(R^{2}+\omega ^{2}L^{2})(G^{2}+\omega ^{2}C^{2})}}-(RG-\omega ^{2}LC)\right)}}$

そして、特性とくせいインピーダンス$Z_{0}$の実み部ぶ$R_{0}$と虚きょ部ぶ$X_{0}$を求もとめると以下いかのようになる。

$Z_{0}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}=R_{0}+jX_{0}$

$R_{0}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {\frac {R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}+{\frac {RG+\omega ^{2}LC}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}\right)}}$

$X_{0}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {\frac {R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}-{\frac {RG+\omega ^{2}LC}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}\right)}}$

無む損失そんしつ線路せんろ

伝送でんそう線路せんろに損失そんしつがない場合ばあい、$R=G=0$であり、

$Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$

$\gamma =\alpha +j\beta ={\sqrt {(j\omega L)(j\omega C)}}=j\omega {\sqrt {LC}}$

となる。

無むひずみ線路せんろ

伝送でんそう線路せんろにおいて以下いかの無むひずみ条件じょうけん

${\frac {R}{L}}={\frac {G}{C}}$

つまり、

$RC=LG$

を満みたすとき、

$\alpha ={\sqrt {RG}}$
$\beta =\omega {\sqrt {LC}}$

となる。

反射はんしゃ現象げんしょう

分布ぶんぷ定数ていすう回路かいろにおいて、伝送でんそう線路せんろの特性とくせいインピーダンスと伝送でんそう線路せんろの終端しゅうたんのインピーダンスが異ことなるなど、「入射にゅうしゃ波は」に対たいする「反射はんしゃ波は」が存在そんざいするとき、位置いちxにおける反射はんしゃ係数けいすう$\rho _{x}$は、電圧でんあつの場合ばあい、入射にゅうしゃ波はを$V_{i(x)}$、反射はんしゃ波はを$V_{r(x)}$とすると、

$\rho _{(x)}={\frac {V_{r(x)}}{V_{i(x)}}}={\frac {K_{2}e^{\gamma x}}{K_{1}e^{-\gamma x}}}={\frac {Z_{x}-Z_{0}}{Z_{x}+Z_{0}}}$

となる。

特とくに、伝送でんそう線路せんろの終端しゅうたん（$x=l$）における電圧でんあつの反射はんしゃ係数けいすうは

$\rho _{(l)}={\frac {V_{r(l)}}{V_{i(l)}}}={\frac {K_{2}e^{\gamma l}}{K_{1}e^{-\gamma l}}}={\frac {Z_{l}-Z_{0}}{Z_{l}+Z_{0}}}$

である。

このとき、伝送でんそう路ろの終端しゅうたんが開放かいほう（open）のとき、すなわち$Z_{l}=\infty$の場合ばあい、$\rho _{(l)}=1$である。（完全かんぜん反射はんしゃ）

また、伝送でんそう路ろの終端しゅうたんが短絡たんらく（short）のとき、すなわち$Z_{l}=0$の場合ばあい、$\rho _{(l)}=-1$である。（完全かんぜん反射はんしゃ）

さらに、伝送でんそう路ろの終端しゅうたんが$Z_{0}$で終端しゅうたんのとき、すなわち$Z_{l}=Z_{0}$の場合ばあい、$\rho _{(l)}=0$である。（インピーダンス整合せいごう、反射はんしゃ波なみなし）

透過とうか現象げんしょう

伝送でんそう線路せんろのインピーダンスが変化へんかする点てんなどにおいて、反射はんしゃと透過とうかの現象げんしょうが起おきる。入射にゅうしゃしてきた波なみが異ことなるインピーダンスの伝送でんそう線路せんろに透過とうかする波なみを「透過とうか波は」という。

電圧でんあつの入射にゅうしゃ波はを$V_{i}$、反射はんしゃ波はを$V_{r}$、透過とうか波はを$V_{t}$、電流でんりゅうの入射にゅうしゃ波はを$I_{i}$、反射はんしゃ波はを$I_{r}$、透過とうか波はを$I_{t}$とするとき、以下いかの関係かんけいが成なり立たつ。

$V_{t}=V_{i}+V_{r}$
$I_{t}=I_{i}-I_{r}$

また、透過とうか波はと入射にゅうしゃ波はの比ひを、それぞれ電圧でんあつ透過とうか係数けいすう、電流でんりゅう透過とうか係数けいすうという。

電圧でんあつ透過とうか係数けいすうは以下いかである。

${\frac {V_{t}}{V_{i}}}={\frac {V_{i}+V_{r}}{V_{i}}}=(1+\rho )$

電流でんりゅう透過とうか係数けいすうは以下いかである。

${\frac {I_{t}}{I_{i}}}={\frac {I_{i}-I_{r}}{I_{i}}}=(1-\rho )$

定てい在ざい波なみ

伝送でんそう線路せんろに電源でんげんをおいて奨励しょうれい波はを発生はっせいさせ、伝送でんそう線せん路上ろじょうに入射にゅうしゃ波はと反射はんしゃ波はの両方りょうほうの波なみが存在そんざいするとき、2つの波なみは互たがいに干渉かんしょうしあって合成ごうせいが起おき、伝送でんそう線せん路上ろじょうには時間じかんに無む関係かんけいで位置いちに固有こゆうな波なみができ、これを「定てい在ざい波なみ」という。

また、電圧でんあつの振幅しんぷくの最大さいだい値ちと最小さいしょう値ちの比ひを「定てい在ざい波なみ比ひ」（または「電圧でんあつ定てい在ざい波なみ比ひ」）という。定てい在ざい波なみ比ひ$\sigma$は以下いかで定義ていぎされる。

$\sigma ={\frac {|V_{max}|}{|V_{min}|}}={\frac {1+|\rho |}{1-|\rho |}}$

$|\rho |$はl点てんにおける反射はんしゃ係数けいすう。

関連かんれん項目こうもく

• アナログ回路かいろ
• 高周波こうしゅうは回路かいろ
• スタブ
• CPU
• 定てい在ざい波なみ - 定てい在ざい波なみ比ひ
• スミスチャート

外部がいぶリンク

• 1.分布ぶんぷ定数ていすう回路かいろとは何なにか