振ふり子こ

振ふり子こ

振ふり子このアニメーション
v：速度そくどベクトル、a：加速度かそくどベクトル、θしーた：振ふり子こ角度かくど

振ふり子こ（ふりこ、英えい: pendulum）とは、空間くうかん固定こてい点てん（支点してん）から吊つるされ、重力じゅうりょくの作用さようにより、揺ゆれを繰くり返かえす物体ぶったいである。支点してんでの摩擦まさつや空気くうき抵抗ていこうの無ない、振ふり子こにとって理想りそうの環境かんきょうでは永久えいきゅうに揺ゆれ続つづけることが可能かのう。

時計とけいや地震じしん計けい、メトロノームや車体しゃたい傾斜けいしゃ式しき車両しゃりょうなどに用もちいられ、英語えいごの pendulum(振ふり子こ) は ラテン語らてんごの「pendo」を語源ごげんに持もつと考かんがえられる。（『Lexicon Latino－japonicum』田中たなか秀央ひでお）

振ふり子こについての最初さいしょの研究けんきゅう記録きろくはアリストテレス、ギリシャ人じんの哲学てつがく者しゃによる。さらに 17世紀せいき、ガリレオにはじまる物理ぶつり学者がくしゃらよる観測かんそくの結果けっか、等ひとし時とき性せいが発見はっけんされ時計とけいに使用しようされるようになった。

同おなじように等ひとし時とき性せいを示しめす装置そうちとして、ばね振ふり子こやねじれ振ふり子こなどがある。

基本きほん原理げんり

振ふり子こは、重おもりが左右さゆういずれかの位置いちにあるとき位置いちエネルギーを持もつ。重力じゅうりょくにより下したに引ひかれると加速かそくし運動うんどうエネルギーとなり、一番いちばん下かで最高さいこう速そくになる。反対はんたい側がわに揺ゆれるとき減速げんそくしつつ再度さいど位置いちエネルギーとして蓄積ちくせきされ一旦いったん停止ていしする。以後いごこれを繰くり返かえす。

揺ゆれの幅はばが十分じゅうぶんに小ちいさい場合ばあい、振ふり子この揺ゆれの周期しゅうきは、重おもりの重おもさや振幅しんぷくに関係かんけいなく一定いっていであるとみなすことができる。周期しゅうきは「等価とうか振ふり子この長ながさ」（これは支点してんから重心じゅうしんまでの距離きょりとは必かならずしも一致いっちしない）にのみ影響えいきょうされる。これを振ふり子この等とう時どき性せいという。

単たん振ふり子こ

単たん振ふり子こ

単たん振ふり子こは、振ふり子この運動うんどうを考かんがえるためのモデルである。重おもさが無なく伸のび縮ちぢみしない棒ぼうの一端いったんを固定こていし、他た端はしに質点しつてんを取とり付つけ、ひとつの鉛直えんちょく面めん内ないのみを重力じゅうりょくの作用さようで振動しんどうすると考かんがえる。（振ふり子こが一いち鉛なまり直面ちょくめん内ないではなく球面きゅうめん上うえを動うごく場合ばあいは「球面きゅうめん振ふり子こ」という）。振幅しんぷくが小ちいさければおもりの運動うんどうは単たん振動しんどうとみなすことができ、周期しゅうき T は、

$T=2\pi {\sqrt {l \over g}}$ … (1-1)

とあらわされる。

単たん振ふり子この運動うんどう方程式ほうていしき

単たん振ふり子こに作用さようする力ちから

長ながさ $l$ の糸いとの先さきに質量しつりょう $m$ のおもりをつけ、糸いとの他た端はしを固定こていしてつり下さげる。

おもりを少すこし横よこに引ひいて手てを放はなすと、おもりは糸いとの固定こてい点てんの真下ましたの振ふり子このつりあいの位置いち Ｏ を中心ちゅうしんとして往復おうふく運動うんどうを始はじめる。おもりは糸いとの上端じょうたんの固定こてい点てんを中心ちゅうしんとした円周えんしゅう上じょうを運動うんどうするから、振ふり子このつり合あいの位置いち Ｏ を原点げんてんとして、円周えんしゅうに沿そって$x$ 軸じくをとると、おもりの運動うんどうは $x$ 軸じく上じょうの一いち次元じげんの運動うんどうと見みることができる。このとき、おもりの運動うんどうに関かかわる力ちからはおもりに働はたらく重力じゅうりょく $mg$ の円周えんしゅうへの接線せっせん方向ほうこうだけである。ここで、重力じゅうりょく $mg$ の円周えんしゅうへの法線ほうせん方向ほうこうと糸いとの張力ちょうりょく重力じゅうりょく $T$ は、おもりの運動うんどうを円周えんしゅう上じょうに拘束こうそくする役割やくわりをしている。糸いとの鉛直えんちょく方向ほうこうとなす角かくが $\theta$ のとき、おもりの $x$ 軸じく上じょうにかかわる力ちから $F$ は、

$F=-mg\sin \theta$ … (1-2)

となる。おもりの座標ざひょう $x$ と $\theta$ は、

$\theta ={x \over l}$ … (1-3)

であるから、おもりについての運動うんどう方程式ほうていしきは、

$F=-mg\sin {x \over l}$ … (1-4)
$ma=-mg\sin {x \over l}$ … (1-5)
${d^{2}x \over dt^{2}}=-g\sin {x \over l}$ … (1-6)

ここで、微小びしょう角かく $\theta$ について成なり立たつ近似きんじ

$\sin \theta \approx \theta$ … (1-7)

を用もちいて、(1-6) 式しきを変形へんけいすると、

${d^{2}x \over dt^{2}}=-{g \over l}x$ … (1-8)

となる。(1-8) は単たん振動しんどうにおける運動うんどう方程式ほうていしきと同形どうけいである。t = 0において$\theta =\theta _{0}$ 、${\dot {\theta }}={\dot {\theta }}_{0}$ である場合ばあいは、θしーたの解かいは以下いかのようになる。

$\theta =C_{1}\sin \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t\right)+C_{2}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t\right)$ … (1-9)

ここで、$C_{1}={\dot {\theta }}_{0}{\sqrt {\frac {l}{g}}}$、$C_{2}=\theta _{0}$で、三角さんかく関数かんすうを合成ごうせいした場合ばあいは、

$\theta ={\sqrt {C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}}\sin \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\phi \right)$ … (1-10)

$\phi =\arcsin \left({\frac {C_{2}}{\sqrt {C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}}}\right)$ … (1-11)

したがって、周期しゅうきは前節ぜんせつ (1-1) 式しきのようになる。

単たん振ふり子この等とう時どき性せいの破やぶれ

振幅しんぷくが大おおきい場合ばあいの単たん振ふり子このアニメーション
θしーた₀が増加ぞうかするほど周期しゅうきが長ながくなっている

等ひとし時とき性せいの破やぶれを主眼しゅがんに置おき、式しきの近似きんじを用もちいない解法かいほうを考かんがえる。以下いかでは $d\theta /dt={\dot {\theta }}$と表記ひょうきする。

エネルギー保存ほぞん則そくより、

${\frac {1}{2}}m(l{\dot {\theta }})^{2}+mgl(1-\cos \theta )=mgl(1-\cos \theta _{0})$．

ここで$\omega ={\sqrt {g/l}}$と置おき上うえ式しきを整理せいりすると

${\dot {\theta }}^{2}=2\omega ^{2}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)$．

さらに$\cos \theta =1-2\sin ^{2}\left(\theta /2\right)$を用もちいると

${\dot {\theta }}=\pm 2\omega {\sqrt {\sin ^{2}(\theta _{0}/2)-\sin ^{2}(\theta /2)}}$．

上うえ式しきを積分せきぶんして $\theta =0$ から$\theta =\theta _{0}$となる時間じかんを計算けいさんすると

$t={\frac {1}{2\omega }}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\sin ^{2}(\theta _{0}/2)-\sin ^{2}(\theta /2)}}}$．

これの4倍ばい、すなわち4tが振ふり子この周期しゅうき T である。$\sin(\theta _{0}/2)=k$、$\sin(\theta /2)=k\sin \phi$と置換ちかんすると周期しゅうきは

$T={\frac {4}{\omega }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {4}{\omega }}K(k)$．

ただし$K$は第だい一種いっしゅ完全かんぜん楕円だえん積分せきぶんである。マクローリン展開てんかいすると周期しゅうきTは次つぎ式しきとなる。

${\begin{aligned}T&={\frac {2\pi }{\omega }}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}\right)^{2}k^{4}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}\right)^{2}k^{6}+\dotsb \right]\\&={\frac {2\pi }{\omega }}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\dotsb \right]\end{aligned}}$．

すなわち、重おもりを離はなす角度かくどθしーた₀が大おおきくなれば周期しゅうきTは長ながくなる（等とう時じ性せいの破やぶれ）。 θしーた₀ が十分じゅうぶんに小ちいさい場合ばあいは、$\lim _{\theta _{0}\to 0}T=2\pi /\omega$より$\sin \theta \approx \theta$と近似きんじしたときと同おなじ解かいが得えられる。 しかしながら、たとえばθしーた₀ = πぱい/4 のときの実際じっさいの値ねは

$T={\frac {4}{\omega }}K\left(\sin {\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {4}{\omega }}K\left({\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}\right)={\frac {2\pi }{\omega }}\times 1.040\dots$

で、周期しゅうきが4%伸のびている。

物理ぶつり振子ふりこ

ある形状けいじょうを持もった物体ぶったいを一いち点てんでつるした振ふり子こを、物理ぶつり振ふり子こ、あるいは実体じったい振ふり子こ、複ふく振子ふりこ と呼よぶ。通常つうじょうは、つるす物体ぶったいは剛体ごうたいと見みなせるものを指さす。単たん振ふり子こと異ことなり、質点しつてんと棒ぼうが分離ぶんりしていない分布ぶんぷ質量しつりょう系けいだが、周期しゅうきの等とう時どき性せいなどの特性とくせいは単たん振ふり子こと変かわらない。

等価とうか振ふり子こ長ちょうさl

物理ぶつり振ふり子この周期しゅうきT は次つぎの式しきで表あらわされる。ここでl は等価とうか振ふり子この長ながさ、g は重力じゅうりょく加速度かそくどである。

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

等価とうか振ふり子この長ながさは、次つぎ式しきで表あらわされる。

$l={\frac {I}{md}}$

ここでI は支点してんまわりの慣性かんせいモーメント、m はおもりの全ぜん質量しつりょう、d は支点してんから重心じゅうしんまでの距離きょりである。

サイクロイド振ふり子こ

振幅しんぷくの異ことなる5つのサイクロイド振ふり子こ

詳細しょうさいは「等ひとし時とき曲線きょくせん」を参照さんしょう

単たん振ふり子この等とう時どき性せいは先述せんじゅつの通とおり振幅しんぷくが大おおきい場合ばあいに破やぶれてしまう。そこで、振幅しんぷくに依よらず厳密げんみつに等ひとしい時間じかんで振動しんどうさせるためには、おもりがどのような曲線きょくせんに沿そえばよいかを問とう問題もんだいを等ひとし時とき曲線きょくせん問題もんだいと呼よぶ。クリスティアーン・ホイヘンスによりこの問題もんだいの答こたえはサイクロイドであることが導みちびかれた。おもりがサイクロイド曲線きょくせんに沿そうよう作つくられた振ふり子こは「サイクロイド振ふり子こ」と称しょうされ、周期しゅうき T は振幅しんぷくに依存いぞんすることなく、正確せいかくに

$T=2\pi {\sqrt {l \over g}}$

となる。ここで、l は振ふり子この長ながさ、サイクロイドの動どう円えんの半径はんけいはl/4である。

応用おうよう

計時けいじ

振ふり子この最もっとも一般いっぱん的てきな利用りよう法ほうは振ふり子こ時計とけいである。今いまでは少すくなくなったが置おき時計どけい、柱時計はしらどけいなどでの調しらべ速そく機きとして利用りようされている。

重力じゅうりょく測定そくてい

前述ぜんじゅつの式しきのように重力じゅうりょくg の値ねにより周期しゅうきは変動へんどうする。そのことを利用りようし地上ちじょうの各地かくちの微妙びみょうな重力じゅうりょくの違ちがいを調しらべることが可能かのうである。ケーターの振ふり子こを参照さんしょう。

地震じしん計けい

棒ぼうを水平すいへいに置おく形式けいしきの振ふり子こはその重おもりの慣性かんせいにより早はやい振動しんどうに対たいし位置いちを保たもとうとする。これを利用りようして初期しょきの地震じしん計けいとして用もちいられた。

メトロノーム

一般いっぱん的てきな振ふり子こを上下じょうげ逆さかさまにしたと考かんがえればいい。重おもりを動うごかして周期しゅうきを調節ちょうせつする。なお、動力どうりょくはぜんまいばねでまかなわれている。

長ながさの基準きじゅん

ジョン・ウィルキンスの『真性しんせいの文字もじと哲学てつがく的てき言語げんごにむけての試論しろん』では、1秒びょうを刻きざむ（周期しゅうきが2秒びょうの）振ふり子こを長ながさの基本きほん単位たんいとすることを提案ていあんしている。この長ながさは、今日きょうの単位たんいでは994 mmになる。この提案ていあんは、フランスでメめートル法とるほうを定さだめるときのメートルの定義ていぎの候補こうほの一ひとつとなったが、振ふり子この振幅しんぷくがその場所ばしょの重力じゅうりょくに影響えいきょうされ一定いっていでないことから採用さいようされなかった。

参考さんこう文献ぶんけん

• 入江いりえ敏博としひろ・山田やまだ元はじめ『機械きかい工学こうがく基礎きそ講座こうざ　工業こうぎょう力学りきがく』（第だい1版はん）理工りこう学がく社しゃ、2003年ねん1月がつ25日にち。ISBN 4-8445-2137-3。 
• 日本にっぽん機械きかい学会がっかい 編へん『機械きかい工学こうがく辞典じてん』（第だい2版はん）丸善まるぜん、2007年ねん1月がつ20日はつか。ISBN 978-4-88898-083-8。 

関連かんれん事項じこう

• フーコーの振ふり子こ
• メトロノーム
• 振ふり子こ時計とけい
• 振ふり子こ式しき車両しゃりょう→車体しゃたい傾斜けいしゃ式しき車両しゃりょうを参照さんしょう
  • ペンドリーノ
• 倒立とうりつ振子ふりこ
• 二に重じゅう振ふり子こ
• ニュートンのゆりかご